Sistemas Dinâmicos

 

Pesquisadores

 

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Linhas de Pesquisa

Este grupo de pesquisa é voltado ao estudo dos sistemas dinâmicos, tanto em tempo discreto quando em tempo contínuo. A teoria dos Sistemas Dinâmicos estuda a evolução de um fenômeno com o passar do tempo e também suas propriedades locais e globais. As áreas envolvidas se entrelaçam frequentemente pelo emprego de métodos semelhantes. Aspectos geométricos e analíticos de vários tipos de sistemas dinâmicos são estudados por membros do grupo, tanto em dimensão finita quanto em dimensão infinita. Um dos objetivos do grupo é integrar, no IMECC/Unicamp, diferentes pessoas que pesquisam aspectos geométricos e topológicos de fenômenos dinâmicos.

 

Sistemas Dinâmicos Suaves Por Partes 

Esta linha de pesquisa tem se desenvolvido rapidamente nos últimos anos, principalmente devido à sua beleza matemática e sua forte relação com outros ramos da ciência. Além disto, existe um grande desafio em estabelecer definições que sejam consistentes com as aplicações. A teoria dos Sistemas Dinâmicos Suaves por Partes está na fronteira entre matemática, física e engenharia. Modelos em teoria de controle, sistemas mecânicos com impacto e oscilações não-lineares são as principais fontes de motivação desta linha de pesquisa. O objetivo é estudar aspectos locais e globais que contemplem os modelos existentes e também que desenvolvam a matemática por si só.

 

Sistemas Dinâmicos Reversiveis e Equivariantes 

Grande parte dos sistemas dinâmicos oriundos de problemas físicos apresentam simetria nas soluções. O estudo destas simetrias, e dos sistemas que as admitem, é o objetivo principal desta linha de pesquisa. Em particular, estamos interessados em sistemas com simetria que podem ser levados a sistemas hamiltonianos/integráveis, e também na existência e persistência de toros invariantes para tais sistemas.

 

Sistemas Dinâmicos Topológicos 

O interesse principal  reside em descrever via topologia diferencial a dinâmica de um sistema - as componentes recorrentes por cadeia (e.g. singularidades, órbitas periódicas, SSFT) e suas variedades instáveis. Isto é feito obtendo um complexo de cadeia que descreve a dinâmica e a utilização de ferramentas homológicas como sequências espectrais. Usando a teoria de Morse Conley-Floer invariantes homotópicos associados a invariantes dinâmicos são obtidos, bem como informações sobre bifurcação, nascimento e morte de conexões. Sistemas discretos, contínuous e descontínuos são estudados: por exemplo, Sistemas Morse-Bott, Hamiltonianos, fluxos de Novikov associado a funções de Morse circulares, fluxos estratificados etc.

 

Otimização Ergódica 

A teoria ergódica é o ramo da dinâmica interessado no estudo das iterações de aplicações mensuráveis preservando uma medida dada. A evolução do estudo de probabilidades invariantes maximizantes tem dado origem a um instigante campo de pesquisa neste ramo, conhecida como otimização ergódica. Esta nova área se interessa em analisar sobretudo as probabilidades invariantes com máxima ou mínima média ergódica em relação a um dado potencial definido no espaço de fase do sistema dinâmico.

 

Teoria Ergódica Suave, Difeomorfismos de Anosov e Difeomorfismos Parcialmente Hiperbólicos

O objetivo principal deste ramo é estudar a dinâmica de difeomorfismos parcialmente hiperbólicos e difeomorfismos de Anosov usando técnicas de teoria ergódica abstrata e as estruturas regulares invariantes associadas a uma dada dinâmica como as folheações estável e instável. Entre as principais ferramentas estão as técnicas de desintegração de medidas ao longo de folheações invariantes e expoentes de Lyapunov.

 

Homologia de Morse para o fluxo de calor 

A teoria dos sistemas dinâmicos hiperbólicos permite construir um complexo de Morse associado ao gradiente em variedades M fechadas, suaves e de dimensão finita. A homologia correspondente é chamada de homologia de Morse, e representa a homologia singular de M. O fluxo deste gradiente é chamado de fluxo de calor. Estamos interessados na análise global envolvendo EDPs elípticas e parabólicas que definem as homologias de Morse e de Floer. Além disto, nos interessam também as relações entre sistemas Hamiltonianos e geodésicas fechadas em variedades Riemannianas.

 

 

 

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