Passo a passo para computar a decomposição LU com pivoteamento parcial em um exemplo
Vamos lá?
Na aula passada vimos como incorporar a estratégia de pivoteamento parcial na decomposição LU, mas é bem verdade que o algoritmo fica meio indigesto. Nesta aula, vamos fazer um exemplo passo a passo para melhorar essa sensação de desconforto!
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Após o escalonamento da primeira coluna, se um novo pivoteamento for realizado, que cuidado temos que tomar?
A. Não trocar a linha do pivô com alguma linha anterior.
B. A mesma troca feita na matriz de coeficientes deve ser replicada na matriz $P.$
C. A mesma troca feita na matriz de coeficientes deve ser replicada na matriz $L,$ exceto pela diagonal.
Em relação à decomposição LU sem pivoteamento, o cálculo da decomposição LU com pivotem-anto consome
A. menos operações de ponto flutuante.
B. a mesma quantidade de operações de ponto flutuante.
C. mais operações de ponto flutuante.
No Octave, o cálculo da decomposição LU com pivoteamento parcial é feito através da função lu. A sintaxe para isso é [L,U,P]=lu(A). Desta forma, quando você for fazer um exercício (na mão) para treinar, você pode conferir os fatores que descobriu, comparando-os com os obtidos pelo Octave.
No Octave, o exemplo do vídeo seria resolvido assim:
> A = [ -2.4 -0.8 2.0 2.8
12.0 2.0 4.0 1.0
6.0 0.0 4.0 5.5
3.6 0.6 2.2 3.8];
> b = [5.4 -9.0 4.5 6.3]';
> [L,U,P] = lu (A)
L =
1.00000 0.00000 0.00000 0.00000
0.50000 1.00000 0.00000 0.00000
-0.20000 0.40000 1.00000 0.00000
0.30000 -0.00000 0.50000 1.00000
U =
12.00000 2.00000 4.00000 1.00000
0.00000 -1.00000 2.00000 5.00000
0.00000 0.00000 2.00000 1.00000
0.00000 0.00000 0.00000 3.00000
P =
Permutation Matrix
0 1 0 0
0 0 1 0
1 0 0 0
0 0 0 1
> y = L \ (P*b)
y =
-9
9
0
9
> x = U\y
x =
-1.0000
3.0000
-1.5000
3.0000
Referência
David S. Watkins. Fundamentals of Matrix Computations. John Wiley & Sons, 2ª ed., 2002.
1. Resolva o sistema linear abaixo, computando para isso a decomposição LU com pivoteamento. $$ \left[ \begin{array}{rrr} 2 & 1 & -3 \\ 4 & 0 & 1 \\ 6 & -2 & 0 \end{array}\right] x = \left[ \begin{array}{r} -7\\\ -2\\\ -8 \end{array}\right]. $$
2. Suponha que os fatores $L$ e $U$ de uma matriz $A$ estão empacotados uma única matriz $B,$ da seguinte forma: a porção triangular inferior de $B$ armazena $L$ (sem a diagonal) e a porção triangular superior de $B$ armazena $U$ (com a diagonal). Além disso uma segunda matriz $P$ armazena as trocas de linha por conta do pivoteamento. Escreva um algoritmo para resolver o sistemas linear $Ax=b,$ usando $B$ e $P.$