Regra do trapézio

Fórmulas de quadratura, ou regras de integração numérica, é o nome que se dá às aproximações para o cálculo de integrais definidas de uma função $f$ contínua, isto é, para $$ I = \int_a^b f(x)\, dx. $$

Uma aproximação bem simples para a área abaixo do gráfico de $f,$ que pode ser calculada sem dificuldade, é a área do trapézio.

Da figura observa-se que as "bases" do trapézio medem $f(a)$ e $f(b)$ e a "altura" do trapézio é $h=(b − a).$ Veja porém que, no exemplo da figura, essa aproximação deixou muito a desejar, visto que uma parte expressiva da área sob o gráfico da função foi negligenciada.

A estratégia para melhorar a qualidade da aproximação é dividir o intervalo de integração em diversos subintervalos menores, aproximando a integral em cada um desses subintervalos pela área dos respectivos trapézios.

No exemplo da figura, o intervalo original foi repartido em três subintervalos de tamanhos iguais. Em cada um deles, a área foi aproximada pelo área do trapézio. Observe que o erro da aproximação como um todo melhorou bastante.

A essa estratégia de aplicar repetidamente a regra do trapézio, repartindo o intervalo original em subintervalos, damos o nome de regra do trapézio composta (ou repetida) . De forma geral, é fácil perceber que a aproximação da integral pela regra do trapézio composta é dada por \begin{equation} Q_{TC}[f] = \sum_{j=1}^n h_j \left({f(x_{j-1})+f(x_j)\over 2}\right), \label{qtcomp1} \end{equation} onde $h_j$ é o comprimento do $j$-ésimo subintervalo. No caso de uma partição regular do intervalo de integração, $h_j = {(b-a)\over n} \equiv h,$ para $j=1,2,\ldots,n$, e a fórmula se escreve como \begin{equation} Q_{TC}[f] = h \left({f(x_0)\over 2} +f(x_1) +\cdots + f(x_{n-1}) + {f(x_n)\over 2}\right). \label{qtcomp2} \end{equation}

Há que se destacar que uma grande vantagem da regra do trapézio é que ela pode ser aplicada mesmo que o intervalo de integração não tenha sido particionado em subintervalos de tamanhos regulares. Porém, neste caso, ao invés de aplicar a fórmula $\eqref{qtcomp2},$ precisamos usar $\eqref{qtcomp1}.$

Como apenas os valores da função $f$ sobre os pontos da malha são utilizados, a regra do trapézio pode ser aplicada também a funções que estejam amostradas. Nesta situação, entretanto, a malha não é escolhida mas sim definida pelos pontos onde a função está amostrada.

Do ponto de vista prático, a regra do trapézio é muito simples de ser utilizada. No Octave, faríamos

> f = @(x) 1./x .* exp(x/2);  # declaração da função a ser integrada
> n = 100;                    # quantidade de subintervalos
> x = linspace (1,4,n+1);     # malha de pontos
> h = x(2)-x(1)               # espaçamento entre pontos consecutivos
h =  0.030000
> y = f(x);
> Q = h *(y(1)/2 + sum(y(2:end-1)) + y(end)/2)
Q =  4.5001

Para efeito de comparação, podemos estimar o valor da integral usando também a rotina quad do Octave. Essa rotina, em seu uso mais simples, recebe como entrada a função a ser integradae os limites do intervalo de integração. Como critério de qualidade, a aproximação produzida pela rotina quad satisfaz $$ |I - R| \le \max\{\epsilon_A,\epsilon_R I\}, $$ onde $R$ representa a aproximação numérica e $\epsilon_A$ e $\epsilon_R$ são tolerâncias absoluta e relativa, respectivamente. Essas tolerância, quando não informadas, são tomadas por padrão como $\sqrt{u}\approx 1.5\cdot 10^{-8}$, onde $u$ é a unidade de arredondamento da máquina. O bloco abaixo, compara a estimativa da regra do trapézio composto com a estimativa retornada pela rotina quad.

> R = quad(f,1,4);
> E = abs(R-Q)
E =  0.000096456

Pelo exemplo apresentado no vídeo, percebemos que ao reduzir o valor de $h,$ a qualidade da aproximação melhorou. Em particular, no exemplo acima, para $h=3\cdot 10^{-2}$ o erro absoluto foi da ordem de $10^{-4}$, e para isso precisamos usar 101 pontos. Na próxima aula, vamos estudar a qualidade da aproximação computada pela regra do trapézio e ver alternativas que fornecem resultados mais precisos sem a necessidade de reduzir tanto o valor de $h.$

Referência

Anne Greenbaum e Timothy P. Chartier. Numerical Methods: Design, Analysis, and Computer Implementation of Algorithm. Princeton University Press, 2012.

R. Piessens, E. de Doncker-Kapenga, C.W. Überhuber e D.K. Kahaner. QUADPACK: A Subroutine Package for Automatic Integration. Springer-Verlag, 1983.

1. Utilize a regra do trapézio composta, com uma malha regular, para estimar $$ \int_0^{0.5} {1\over x}\mbox{arcsinh} x\, dx. $$ Experimente com diferentes valores de $n$ (quantidade de subintervalos) e determine qual o valor mínimo para o qual a diferença entre sua estimativa e a estimativa produzida pelo comando quad do Octave fica abaixo de $10^{-6}.$

Dica: $\displaystyle{\lim_{x\to 0} {1\over x}\mbox{arcsinh} x =1}.$