Projeto: Integral de funções singulares

$\newcommand{\R}{\mathbb{R}}$

Seja $f:(0,\infty)\to\R$, definida por $f(x) = 1/\sqrt{x}$. Com os métodos do trapézio ou de Simpson não é possível computar $$ I = \int_0^b f(x)\, dx, $$ uma vez que $f$ não está definida em $x=0$. Apesar disto, sua primitiva, $F(x) = 2\sqrt{x} + c,$ está bem definida e $I=2\sqrt{b}$. Claro que sempre podemos aproximar $I$ por $\int_\epsilon^b f(x)\, dx,$ para $\epsilon \gt 0$, tão pequeno quanto se queira, e então usar uma das regras de integração vistas anteriormente. Mas deve ser melhor construir um método específico para esse caso.

Neste projeto, você vai construir uma regra de integração numérica capaz de lidar com uma função que seja singular em um dos extremo do intervalo de integração. Para isso, siga o roteiro, no menu lateral.

Seja $f:(0,1]\to\R$, uma função contínua tal que $$ f(x) \approx {c\over \sqrt{x}}, $$ para $x$ próximo de zero. Dizemos que $0$ é um ponto de singularidade de $f$, uma vez que $\lim_{x\to 0^+}f(x) = \mbox{sign}(c)\cdot \infty.$

Defina $g:[0,1]\to\R$ como $$ g(x) = \begin{cases} \sqrt{x}f(x), & x\neq 0\\[8pt] \displaystyle{\lim_{x\to 0^+}}\sqrt{x}f(x), & x =0 \end{cases} $$ de modo que $g$ seja contínua. Desta forma $g(x)\approx c,$ quando $x$ se aproxima de zero. Com isto, $$ I = \int_0^1 f(x)\,dx = \int_0^1 g(x)x^{-1/2}\, dx. $$

O propósito deste projeto é construir e analisar uma regra de integração numérica para a integral \begin{equation}\label{int} \int_0^1 g(x)x^{-1/2}\, dx, \end{equation} na esperança de que isto seja melhor que aplicar uma regra de integração construída para funções bem comportadas.

1. Inicie construíndo uma regra de integração numérica, $Q$, para aproximar a integral em \eqref{int}, que seja exata pelo menos quando a função $g$ for um polinômio de grau 1. Para isso, determine coeficientes $\alpha$ e $\beta$ tais que $$ Q[g] \equiv \alpha g(1/4) + \beta g(3/4) = \int_0^1 g(x)x^{-1/2}\, dx, $$ quando $g(x)=1$ e quando $g(x)=x.$
2. Fazendo mudanças de variáveis, explique como utilizar essa regra para aproximar as integrais $$ \int_0^h f(x)\,dx\qquad \mbox{e}\qquad \int_{-h}^0 f(x)\,dx, \qquad h\gt 0. $$
3. Aplique sua regra de integração para estimar $$ A = \int_0^{0.1} {\cos(x)\over 2\sqrt{x}}-\sqrt{x}\sin(x)\, dx. $$
4. Compare o resultado acima com a aproximação obtida pela regra do trapézio^* e com o valor exato da integral, sabendo que $\sqrt{x}\cos(x)$ é uma primitiva do integrando.
   
   ^*A regra do trapézio construída sobre os pontos $1/4$ e $3/4$ é $$ Q_T[f] = {h\over 2}[f(h/4) + f(3h/4)] \approx \int_0^hf(x)\,dx. $$
5. Caso a singularidade não esteja em $0$, mas em $\hat{x}$, pode proceder como acima para obter uma regra de quadratura, definindo $g(x) = \sqrt{x-\hat{x}}f(x)$. Neste caso, como ficaria uma regra de integração numérica para a situação em que o ponto singular é interno ao intervalo de integração (utilize o resultado do item (b))?