Sistemas não lineares

$\newcommand{\R}{\mathbb{R}}$

Uma equação não linear é definida como uma equação que não é linear, ou seja, só definimos o que é uma equação linear, e qualquer equação que não satisfaça essa definição será não linear. Uma equação linear tem a forma \begin{equation}\label{eqlinear} a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n = b, \end{equation} onde $a_1,a_2,\ldots,a_n$ e $b$ não dependem das incógnitas $x_1,x_2,\ldots,x_n.$ Um sistema não linear é um conjunto de equações em que pelo menos uma delas é não linear.

No que se segue, consideraremos apenas o caso de sistemas não lineares quadrados, ou seja, sistemas com $n$ equações e $n$ incógnitas. Cada uma das $n$ equações é representada genericamente por uma função $f_j:\R^n \rightarrow \R,$ $j=1,\ldots,n,$ que para cada $n$-upla de variáveis $x_1,\ldots,x_n,$ produz um valor escalar, ou seja $(x_1,x_2,\ldots,x_n)\mapsto f_j(x_1,x_2,\ldots,x_n)\in\R.$ Com isso, resolver um sistema não linear consiste em buscar a $n$-upla $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ que satisfaz $$ \left\{ \begin{array}{ccc} f_1(x_1,x_2,\ldots,x_n) & = & 0,\\ f_2(x_1,x_2,\ldots,x_n) & = & 0,\\ \vdots\\ f_n(x_1,x_2,\ldots,x_n) & = & 0. \end{array} \right. $$

No vídeo, vimos o seguinte exemplo de um sistema não linear, $$ \left\{ \begin{array}{ccc} (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 - 1 & = & 0\\ ax + by + c & = & 0 \end{array} \right. $$ onde as incógnitas são $x$ e $y,$ e todas as demais quantidades são parâmetros assumidos conhecidos. A primeira equação é não linear, uma vez que não é da forma \eqref{eqlinear}. Graficamente, cada equação representa uma curva no plano $xy.$ Uma possível situação está esboçada no gráfico abaixo.

Neste exemplo, o sistema teria duas soluções, dada pela intersecção do círculo (gráfico da primeira equação) com a reta (gráfico da segunda equação). Porém, também seria possível que a reta apenas tangenciasse o círculo, ou nem mesmo o interceptasse, resultando em situações com uma única solução ou sem solução, respectivamente.

Também pode acontecer de um sistema não linear ter infinitas soluções. Considere por exemplo $$ \left\{ \begin{array}{ccc} \cos(x) - y & = & 0,\\ y - 0.5 & = & 0. \end{array} \right. $$

Se no caso de uma única equação não linear temos o teorema de Bolzano para auxiliar a identificar intervalos onde seguramente há raízes da equação, o mesmo não é verdade quando temos várias equações em simultâneo. O teorema de Bolzano utiliza o sinal de $f(x)$ nos extremos de um intervalo para decidir se era garantida a existência de solução no intervalo. Quando há mais de uma equação, uma região provável deixa de ser um intervalo e passa a ser um região do $\R^n.$ No exemplo do sistema não linear acima, teríamos que analisar regiões do plano $xy.$ Mesmo que definíssemos, digamos, o interior de um retângulo no plano, como concluir pela existência de solução do sistema não linear, examinando apenas o que acontece na borda da região. Repare que nesse caso, a "borda da região" não são mais dois pontos extremos, mas todo a fronteira definida pelo retângulo. Além disso, não há uma única função escalar $f,$ mas sim duas. Como tirar conclusões com base no sinal de duas funções?

Em suma, não há uma forma simples concluir se em uma determinada região do $\R^n$ há soluções para um sistema não linear. Portanto, também não teremos um método para sistemas não lineares que seja uma extensão do método da bissecção para uma equação não linear. Sendo assim, na próxima aula, veremos como generalizar o método de Newton para aplicá-lo a um sistema não linear.

1. Represente graficamente os sistemas não lineares abaixo e veja se consegue identificar quantas soluções casa sistema tem.

1. $\left\{ \begin{array}{ccc} x_1^2+x_2^2&=&2 \\ e^{x_1-1}+x_2^3&=&2 \end{array} \right. $
2. $\left\{ \begin{array}{ccc} 10(x_2-x_1^2)&=&0\\ 1-x_1&=&0 \end{array} \right. $
3. $\left\{ \begin{array}{ccl} y - \sin x &=& 0.5 \\ y^2 - \cos 2x &=&2 \end{array} \right. $