Polinômios de Lagrange em exemplos

Na aula passada, motivados pelo problema de interpolação no nós $x_0\lt x_1\lt \cdots \lt x_n,$ construímos a base $\{\ell_0,\ell_1,\ldots, \ell_n\}$ para o espaço do polinômios de grau menor ou igual a $n,$ denotado por ${\cal P}_n.$ Essa base, conhecida como base dos polinômios de Lagrange, foi construída a partir dos nós de interpolação, para ter a propriedade muito especial de que \begin{equation} \ell_j(x_j) = 1, \quad \mbox {e} \quad \ell_j(x_i) = 0, \quad i\neq j. \end{equation} Deduzimos ainda a expressão explícita para cada polinômio $\ell_j$ como \begin{equation}\label{ellj} \ell_j (x) = {(x-x_0)\cdots(x-x_{j-1})(x-x_{j+1})\cdots(x-x_n) \over (x_j-x_0)\cdots(x_j-x_{j-1})(x_j-x_{j+1})\cdots(x_j-x_n)}. \end{equation}

Considere agora o problema interpolação polinomial, isto é, o problema de determinar um polinômio $p$ em ${\cal P}_n,$ tal que \begin{equation}\label{condinterp} p(x_j) = y_j, \quad j=0,1,\ldots,n. \end{equation} Se $p$ é escrito em termos da base dos polinômios de Lagrange, então $p(x_j)$ resulta em \begin{align*} p(x_j) & = a_0\ell_0(x_j) + a_1\ell_1(x_j) + \cdots + a_n \ell_n(x_j) \\ & = a_j \ell_j(x_j) \\ & = a_j. \end{align*} Portanto, a condição de interpolação \eqref{condinterp} imediatamente implica que $a_j = y_j$ e assim o polinômio interpolador é dado por \begin{equation}\label{pinterp} p(x) = y_0\ell_0(x) + y_1\ell_1(x) + \cdots + y_n \ell_n(x). \end{equation}

No primeiro exemplo do vídeo, a intenção foi construir o polinômio que interpola a função $f(x) = \sqrt{x},$ nos pontos $$ \begin{array}{c|ccc} x_j & 1 & 2 & 4 \\ \hline y_j & 1 & \sqrt{2} & 2 \end{array} $$ Para a interpolação em três pontos, o polinômio interpolador será de grau 2. Para expressá-lo na base dos polinômio de Lagrange basta usar \eqref{ellj} e \eqref{pinterp}. Com efeito, \begin{align*} \mbox{associado a } x_0=1, & \quad \ell_0(x) = {(x-x_1)(x-x_2)\over(x_0-x_1)(x_0-x_2)} = {(x-2)(x-4)\over(1-2)(1-4)}\\[2mm] \mbox{associado a } x_1=2, & \quad \ell_1(x) = {(x-x_0)(x-x_2)\over(x_1-x_0)(x_1-x_2)} = {(x-1)(x-4)\over(2-1)(2-4)}\\[2mm] \mbox{associado a } x_2=4, & \quad \ell_2(x) = {(x-x_0)(x-x_1)\over(x_2-x_0)(x_2-x_1)} = {(x-1)(x-2)\over(4-1)(4-2)} \end{align*} e, com isso, o polinômio interpolador é $$ p(x) = 1{(x-2)(x-4)\over(1-2)(1-4)}+\sqrt{2}{(x-1)(x-4)\over(2-1)(2-4)}+2{(x-1)(x-2)\over(4-1)(4-2)}. $$ Esse polinômio pode ser utilizado como uma aproximação para $f,$ dentro do intervalo $[1,4].$

No segundo exemplo, a intenção foi aproximar o valor da função seno em $x=1,$ conhecendo apenas os valores de seno em alguns ângulos notáveis. $$ \begin{array}{r|cccc} x_j & 0 & \pi/4 & \pi/3 & \pi/2 \\ \hline \sin(x_j) = y_j & 0 & \sqrt{2}/2 & \sqrt{3}/2 & 1 \end{array} $$ Como só queríamos utilizar um polinômio de grau 2, primeiro é necessário escolher dos 4 pontos disponíveis, quais 3 pontos utilizar. Para reduzir o erro de interpolação, devemos sempre escolher os pontos mais próximos ao ponto onde se pretende avaliar o polinômio (a justificativa para essa escolha será tema de outra aula). Neste caso, os nós de interpolação mais próximos de $1$ são, $\pi/4,$ $\pi/3$ e $\pi/2.$ Desta forma, o polinômio interpolador é \begin{equation}\label{pseno} p(x) = {\sqrt{2}\over 2} {(x-{\pi\over 3})(x-{\pi\over 2})\over({\pi\over 4}-{\pi\over 3})({\pi\over 4}-{\pi\over 2})} + {\sqrt{3}\over 2} {(x-{\pi\over 4})(x-{\pi\over 2})\over({\pi\over 3}-{\pi\over 4})({\pi\over 3}-{\pi\over 2})} + 1 {(x-{\pi\over 4})(x-{\pi\over 3})\over({\pi\over 2}-{\pi\over 4})({\pi\over 2}-{\pi\over 3})}. \end{equation} Para obter a aproximação para $\sin(1),$ é preciso avaliar o $p$ em $x=1.$ Ao olhar para expressão acima, já dá até um certo desânimo em pensar em substituir $x=1$ e realizar todas as operações, não? Realmente são muitas operações aritméticas.

No caso de um polinômio de grau $n,$ ao observar a expressão \eqref{ellj} é fácil concluir que avaliar $\ell_j(x)$ consome $2n$ subtrações e $2n-2$ produtos, além de uma divisão, totalizando $4n-1$ operações. Portanto, avaliar o polinômio $p,$ dado por \eqref{pinterp}, consome $4n^2+n$ operações aritméticas. Um polinômio de grau $n,$ escrito em termos da base canônica, consumiria apenas ${\cal O}(n)$ operações para ser avaliado.

Outra complicação prática de usar a base de Lagrange é que a cadeia de produtos necessária para computar $\ell_j(x)$ pode levar a problemas de overflow (obter um número maior que o maior número representável pelo sistema de ponto flutuante) ou underflow (obter um número menor que o menor número representável pelo sistema de ponto flutuante). Por exemplo se $x\approx x_n,$ os primeiros termos $(x-x_0),$ $(x-x_1)$, ..., podem gerar número muito grandes. É verdade que os termos do final, $(x-x_{n-1}),$ $(x-x_n)$ seriam bem pequenos. Mas se o produto acumulado do início já ultrapassar o máximo representável, o overflow não poderá ser recuperado pelos produtos seguintes.

Essa duas aparentes dificuldades não são inerentes aos polinômios de Lagrange, mas sim a um uso ingênuo deles. Observe novamente o polinômio \eqref{pseno}. É claro que ao computar $p(1)$ várias operações podem ser economizadas, observando que há muitos termos comuns. Uma implementação cuidadosa para o cálculo do polinômio interpolador \eqref{pinterp} conhecida como forma baricêntrica evita todos esses problemas.

No vídeo vimos que nos dois exemplos apresentados o polinômio interpolador pareceu ser uma boa aproximação para a função. Mas o quão boa? E se a aproximação não for razoável, como seria possível melhorá-la? Este assunto é interessante e merece outra aula.

1. Considere a função $f(x)=e^x.$

1. Encontre o polinômio interpolador $p$ para $f$ em $0,$ ${1\over 2}$ e $1.$
2. Faça o gráfico de $f$ e de $p,$ no intervalo $[-1,2].$ Você acha seguro utilizar o polinômio interpolador para prever o comportamento da função fora do intervalo de interpolação (extrapolação)? Se ficar na dúvida, faça alguns experimentos para poder formar uma opinião.
3. Aparentemente, em qual ponto do intervalo $[0,1]$ a aproximação de $f$ pelo polinômio interpolador foi pior?

2. Encontre o ponto de intersecção das duas funções tabeladas, utilizando interpolação quadrática. $$ \begin{array}{c|rcccccc} x & 0.000 & 0.600 & 1.200 & 1.800 & 2.400 & 3.000 \\ \hline f(x)& 1.300 & 1.383 & 1.223 & 0.919 & 0.626 & 0.435 \end{array} $$ $$ \begin{array}{c|rcccccc} x & 0.400 & 0.900 & 1.400 & 1.900 & 2.400 & 2.900 \\ \hline g(x)& 0.615 & 0.810 & 1.079 & 1.425 & 1.786 & 1.993 \end{array} $$

3. Considere os pontos tabelados $$ \begin{array}{c|ccccccc} x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline f(x) & 0.91 & 1.43 & 1.58 & 1.55 & 1.44 & 1.30 & 1.18 \end{array} $$

1. Obtenha uma aproximação para o valor máximo de $f$ usando interpolação quadrática.
2. Usando interpolação quadrática aproxime a solução de $f(x) = 1.15.$