Quadrados mínimos e sistemas sobredeterminados
Como encontrar a solução de um sistema linear que não tem solução?
Vamos lá?
Já vimos um exemplo trabalhado e construímos a teoria. Nesta aula vamos aplicar tudo isto a um exemplo real. Nesta aula vamos relacionar o problema de ajuste de curvas pelo método de quadrados mínimos à tentativa de resolver um sistema linear sobredeterminado.
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O que é o resíduo em um problema de ajuste?
Sobre o sistema linear podemos dizer que
A solução de quadrados mínimos de um sistema sobredeterminado é
No Octave, a função foi definida como phi1 = @(x) ones(length(x),1)
. Podemos afirmar que...
No Octave, para que serve o operador \
(barra invertida)?
Vimos, em um exemplo e no caso geral, que a resolução do problema de ajuste de curva recai em buscar o vetor de coeficientes
Como o vetor
Esquecendo a motivação inicial (o ajuste de curvas), podemos considerar um sistema linear sobredeterminado
No vídeo, vimos também que o Octave tem um operador muito conveniente para resolver sistemas lineares. Para um sistema linear \
(barra invertida), usado como A\b
, fornece a solução do sistema linear, caso este tenha solução, ou a solução de quadrados mínimos quando o sistema não tiver solução. A vantagem em usar o operador \
é não precisar montar o sistema normal. Internamente, o Octave analisará o sistema linear e decidirá qual método é mais adequado para proceder, do ponto de vista numérico. Por conta desta facilidade, certo cuidado deve ser tomado ao usar esse operador. Não necessariamente o vetor computado por A\b
é solução do sistema linear, no sentido clássico.
Considere os sistemas lineares a seguir. Para cada um deles, construa o sistema normal, encontre a solução de quadrados mínimos e compute o resíduo quadrático, isto é,