Erro na Regra de Simpson

O erro de integração numérica é definido como \begin{equation}\label{erro} E_S = \int_a^bf(x)\:dx - Q_S[f], \end{equation} onde $Q_S[f] = {h\over 3}[f(a) + 4f(m) + f(b)],$ para $m=(a+b)/2$ e $h=(b-a)/2.$

Para poder estimar $E_S$ vamos expandir em Taylor todas as quantidades envolvidas, em torno do ponto $m.$ Desta forma ficará mais simples compará-las.

Se $f$ tiver até quatro derivadas contínuas, então usando o polinômio de Taylor de ordem 4, podemos escrever $f(x)$ como \begin{align} f(m+t) = & f(m) + f'(m)t+{f''(m)\over 2!}t^2 +\nonumber \\\ &{f'''(m)\over 3!}t^3+{f^{(4)}(m)\over 4!}t^4 + {\cal O}(t^5). \label{taylor} \end{align} Com isso, observe que \begin{align} \int_a^b f(x)\:dx = & \int_{-h}^{h} f(m+t)\:dx \nonumber \\\ = & \int_{-h}^{h}f(m) + f'(m)t+{f''(m)\over 2!}t^2 + {f'''(m)\over 3!}t^3+{f^{(4)}(m)\over 4!}t^4 \:dt \nonumber \\\ & + \int_{-h}^{h} {\cal O}(t^5)\:dt \nonumber \\\ =& 2hf(m) + {h^3\over 3} f''(m) + {h^5\over 60}f^{(4)}(m) + {\cal O}(h^6). \end{align}

Usando novamente \eqref{taylor}, temos $$ \begin{array}{rcl} f(a) = f(m-h) & = & f_m -hf_m'+ {h^2\over 2!}f_m''-{h^3\over 3!}f_m'''+{h^4\over 4!}f_m^{(4)} + {\cal O}(h^5)\\\ 4f(m) &=&4f_m\\\ f(b) = f(m+h) & = & f_m +hf_m'+ {h^2\over 2!}f_m''+{h^3\over 3!}f_m'''+{h^4\over 4!}f_m^{(4)} + {\cal O}(h^5)\\\\ \hline f(a)+4f(m)+f(b) & = & 6f_m \hphantom{+hf_m'} + h^2f_m'' \hphantom{ +\; {h^3\over 3!}f_m''' } + {h^4\over 12}f_m^{(4)} + {\cal O}(h^5) \end{array} $$ Multiplicando o resultado acima por $h/3,$ obtemos que \begin{equation} Q_S[f] = 2hf(m) + {h^3\over 3}f''(m) + {h^5\over 36}f^{(4)}(m) + {\cal O}(h^6). \end{equation}

Da definição do erro de integração, \eqref{erro}, podemos ver que $$ E_S = - {h^5\over 90}f^{(4)}(m) + {\cal O}(h^6). $$ Este erro para a regra de Simpson também pode ser escrito como $$ - {h^5\over 90}f^{(4)}(m) + {\cal O}(h^6) = - {h^5\over 90} \left[f^{(4)}(m) + {\cal O}(h)\right] = - {h^5\over 90}f^{(4)}(\xi), \quad \xi \in (a,b). $$

Se o intervalo $[a,b]$ for particionado em $n=2k$ subintervalos de tamanhos regulares, podemos aplicar a regra de Simpson simples a cada par de subintervalos. Neste caso, $$ \int_a^bf(x)\:dx = \sum_{k=1}^{n/2}\int_{x_{2(k-1)}}^{x_{2k}}f(x)\:dx. $$ Logo, o erro será \begin{align*} E_{SC}[f] & = \sum_{k=1}^{n/2} - {h^5\over 90}f^{(4)}(\xi_k) = - {h^5\over 90}\sum_{k=1}^{n/2}f^{(4)}(\xi_k) \\\ & = - {n\over 2} {h^5\over 90}\left[{\sum_{k=1}^{n/2}f^{(4)}(\xi_k)\over n/2}\right]\\\ & = - {n\over 2} {h^5\over 90}f^{(4)}(\xi) = - {(b-a)h^4\over 180} f^{(4)}(\xi). \end{align*} Aqui, usamos que a média de valores de uma função contínua é igual ao valor da função em algum ponto intermediário, e que $nh=(b-a).$

Da mesma forma que na quadratura do trapézio, a fórmula para o erro da quadratura de Simpson, seja a simples ou a composta, não pode ser utilizada na prática para de fato determinar o erro de integração, uma vez que $\xi$ não é conhecido. Estas fórmulas, quanto muito, são utilizadas como majorantes para o erro de integração numérica. Até isto pode ser difícil, pois depende de avaliar (ou estimar) majorantes para derivadas da função integrando.

1. Se $g$ é uma função contínua, mostre que $\sum_{k=1}^m g(x_k) = m g(x),$ para algum $x$ entre os pontos $x_k.$

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2. Aproxime $\displaystyle{\int_2^3 {1 \over 1 + t}\: dt},$ usando 4 subintervalos.

1. Qual a estimativa para o erro?
2. Qual o erro de fato cometido?
3. Quantos pontos devem ser usados na regra do Simpson para garantir que o erro seja menor que $10^{-5}$?

3. Aproxime a integral $\displaystyle{I = \int_1^2 [x^3 + \ln(x)] \, dx},$ pela regra de Simpson, usando a menor quantidade de subintervalos necessária para garantir um erro inferior a $10^{-3}.$

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