Método de Shooting
Trocando um PVC por dois PVI's
Vamos lá?
O que matemático adora fazer é converter um problema novo em outro já conhecido. Nesta aula vamos ver como converter um problema de valor de contorno em um problema de valor inicial, abrindo a porta para utilizar métodos para PVI já conhecidos.
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Quais afirmações são verdadeiras?
- A. Nem sempre existe um PVI que tenha a mesma solução de um PVC
- B. Sempre existe um PVC que tenha a mesma solução de um PVI
- C. Dado um PVC é possível construir um PVI que tenha mesma solução.
- D. Dado um PVI é possível construir um PVC que tenha mesma solução.
- E. Dado um PVC existem dois PVI's com a mesma solução
Considere o problema de valor de contorno
Suponha que este PVC tenha solução única (discutido na de aula anterior). A figura a seguir ilustra o que poderia ser o gráfico da solução do PVC.
Como estamos considerando equações diferenciais de segunda ordem, a solução de equação diferencial é determinada pela imposição de duas condições adicionais, sejam elas condições iniciais ou de contorno. Sendo assim, a mesma função exibida no gráfico acima é determinada com as condições de contorno impostas nos extremos ou com condições iniciais impostas em
Tome por exemplo o PVC
Esta equivalência entre um PVC e um PVI, desde que conhecida a condição inicial adequada, é a ideia por detrás do método de shooting. Neste método, a inteção é descobrir qual a condição inicial que, atrelada à equação diferencial, determina a mesma solução do PVC original. A vantagem de estabelecer uma equivalência como essa é que passamos a ter a disposição para a resolução de um PVC os métodos já estudados para PVI.
Considere o PVI, construído a partir do PVC
PVC linear
A situação fica mais simples no caso de um PVC linear
Vejamos como essa estratégia se aplica ao problema de exemplo em
Sobre este exemplo, você pode estar se perguntando: Resolver os problemas
PVI e o formato padrão
Lembre que quando estudamos métodos numéricos para resolver um problema de valor inicial era necessário que o problema estivesse no formato padrão. Como os PVI's
Na próxima aula, veremos como esta estratégia se comporta do ponto de vista numérico.
Referências
Hebert B. Keller. Numerical Methods for Two-Point Boundary-Value Problems. Dover, 1992.
Para os PVC's abaixo, exiba quais os dois PVI's associados, considerados pelo método de shooting.
(a)
2. Considere o problema de valor de contorno
A solução do PVC é