Existência e unicidade de solução para PVC
O que é um PVC e quando é garantida a existência de solução
Vamos lá?
Nesta aula vamos definir o problema de valor de contorno que nos interessa estudar e apresentar alguns resultados que garantem a existência e a unicidade de solução.
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Os resultados teóricos vistos no vídeo...
Um problema de valor de contorno (PVC) é uma equação diferencial com condições adicionais prescritas não todas em um único ponto. Neste curso, vamos lidar apenas com equações diferenciais ordinárias e PVC's de segunda ordem e com condições de contorno prescritas em dois pontos distintos. Desta forma, nosso protótipo de PVC é
Um exemplo de um PVC deste tipo é
Como não parece ser simples resolver analiticamente o PVC acima, surge o apelo por tentar resolvê-lo numericamente. Mas será que ele tem solução? Se tiver, será que é única? Sem saber isto, podemos interpretar errado o resultado de um método numérico ou mesmo não entender uma possível falha.
O estudo da existência e unicidade de solução de PVC's como os descritos acima é feito com bastante rigor e cuidado em Keller (1992).
Teorema 1: Para o PVC
Para o exemplo anterior,
O caso particular de equações diferenciais lineares é muito importante e merece atenção. Para
Corolário: Sejam
Observe que tanto o Teorema 1, quanto seu corolário, fornecem condições suficientes para a existência e unicidade de solução. Nada é dito quando as hipóteses desses resultados não se verificam.
Para além do teorema anterior, ainda no caso de um PVC linear, há também um resultado, que apresenta uma equivalência entre a unicidade de solução para os PVC's homogêneo e não homogêneo.
Teorema 2: Sejam
Como exemplo, considere a equação diferencial ordinária que descreve um sistema massa—mola, dada por
Referências
Hebert B. Keller. Numerical Methods for Two-Point Boundary-Value Problems. Dover, 1992.
1. Considere o PVC
- Identifique a função
, tal que o a equação diferencial se escreva como - É possível garantir a existência e unicidade de solução para este PVC?
2. Considere o PVC
- Este PVC linear satisfaz as hipóteses do corolário que garante a existência e unicidade de solução?
- Verifique que a solução geral da equação diferencial é
para e constantes arbitrárias. - Se
mostre que o PVC tem solução única. - Se
mostre que o PVC tem infinitas soluções.
3. Tente demonstrar o corolário visto.