Existência de solução para equações não lineares
Sobre como usar o Teorema de Bolzano para assegurar a existência de soluções para equações não lineares
Vamos lá?
Antes de sair buscando uma solução para uma equação não linear $f(x) = 0$ é importante saber se a equação de fato tem solução. O Teorema de Bolzano é uma ferramenta teórica para isso. Nesta aula, eu relembro esse teorema e mostro um exemplo de como utilizá-lo.
Resolver uma equação não linear da forma $f(x)=0$ é o mesmo que buscar os zeros da função $f,$ isto é, os valores de $x$ para os quais a função se anula. Existem diversos métodos numéricos para estimar as soluções da equação (ou os zeros de função). Porém, antes de aplicar um método numérico, pode ser importante localizar o zero, ou seja, identificar um intervalo $[a,b]$ que certamente contenha um zero da função. O teorema de Bolzano é uma ferramenta teórica que permite isto.
Teorema de Bolzano: Seja $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ uma função contínua, tal que $f(a)\cdot f(b) \lt 0.$ Então existe $c\in(a,b)$ tal que $f(c) =0$.
Este teorema tem uma interpretação geométrica bem clara. Uma função contínua que troca de sinal nos extremos de um intervalo tem que ter atravessado o eixo das ordenadas. Esta é a essência do teorema de Bolzano .
Mesmo que a função não troque de sinal nos extremos de um intervalo, ainda pode haver pontos onde a função se anula. Ou seja, as hipóteses do teorema de Bolzano não são necessárias, mas sim suficientes para a existência de um zero da função. No exemplo da figura abaixo, veja que a função é positiva tanto em $a$ quanto em $b,$ mas mesmo assim se anula em dois pontos no interior do intervalo.
Para aplicar esse teorema na tentativa de localizar a solução de uma equação, uma dificuldade pode ser obter um intervalo $[a, b]$ onde $f(a)$ e $f(b)$ têm sinais opostos. Caso não haja uma escolha indicada pela interpretação do problema, resta obter este intervalo por tentativa e erro.
Ainda que o teorema de Bolzano nos permita analisar a existência de solução para uma equação em um intervalo, ele nada nos diz sobre a unicidade dessa solução. Para isso, precisamos de hipóteses mais fortes e de outra aula.
1. Prove que cada equação abaixo tem solução e exiba um intervalo finito contendo pelo menos uma solução da equação.
- $\cos\left(\frac{x+2}{x+6}\right)+ \frac{x}{6}=0$
- $4\cos(x) - e^{2x} = 0$
- $(x+2)^4=e^{-x^2+2}$
- $1 - x\ln(x) = 0$
- $\frac{x}{2} = \tan(x)$
2. Um valor $p$ tal que $f(p) = p$ é dito um ponto fixo da função $f.$ Mostre que existe ponto fixo para a função $$f(x) = {3 + \sin (2x^2) \over 2 + \cos(x^2)}. $$