Linearizar ou não?

Ao observar os dados, pareceu razoável ajustá-los por uma gaussiana.

Os parâmetros a determinar são, a amplitude da gaussiana, sua média e variância. Ou seja, queremos determinar coeficientes $c_1,c_2$ e $c_3$ tais que $$y\approx \varphi (x)=c_1\exp (-(c_{2}x-c_3{)}^2).$$

Como $c_1,c_2$ e $c_3$ não são coeficientes de uma combinação linear de funções, o problema de ajuste não recai em um problema de quadrados mínimos linear. Porém, é possível linearizá-lo, utilizando a transformação $z=\log (y)$. Com efeito, $$\begin{array}{rl}z=\log (y)& \approx \log (\varphi (x))\\ & =\log [c_1\exp (-(c_{2}x-c_3{)}^2)]\\ & =\log c_1-(c_{2}x-c_3{)}^2\\ & =[\log c_1-c_3^2]+(2c_2{c}_3)x-c_2^2{x}^2\\ & ={\alpha }_1+{\alpha }_{2}x+{\alpha }_3{x}^2,\end{array}$$ onde ${\alpha }_1=[\log c_1-c_3^2],$ ${\alpha }_2=2c_2{c}_3$ e ${\alpha }_3=-c_2^2.$

Com esta transformação, o problema de ajuste linear torna-se determinar o polinômio de grau 2 que melhor se ajusta aos dados $\{(x_1,z_1)\dots ,(x_n,z_n)\},$ no sentido de quadrados mínimos.

Na figura abaixo é possível ver os dados transformados e o polinômio de grau 2 que melhor os ajusta. O resíduo deste ajuste foi $\sum _{k=1}^n[z_k-\log (\varphi (x_k)){]}^2\approx 400.$

Como o domínio $(x,z)$ foi utilizado apenas como um recurso para permitir utilizar a estratégia de ajuste por quadrados mínimos lineares, precisamos retornar para as variáveis originais do problema. Observe que $$c_2=\sqrt{-{\alpha }_3},c_3=\frac{{\alpha }_2}{2c_2},c_1=\exp ({\alpha }_1+c_3^2).$$

Nas variáveis originais, o ajuste obtido está exibido na figura a seguir. O resíduo deste ajuste foi $\sum _{k=1}^n[y_k-\varphi (x_k){]}^2\approx 55.$

Ao observar esta figura ficamos com a sensação de que deve haver uma gaussiana que se ajuste melhor aos dados $\{(x_1,y_1)\dots ,(x_n,y_n)\},$ apesar de não haver um polinômio de grau 2 que se ajuste melhor aos dados $\{(x_1,z_1)\dots ,(x_n,z_n)\}.$ De fato, a gaussiana de melhor ajuste está exibida na figura abaixo. O resíduo deste ajuste foi $\sum _{k=1}^n[y_k-\varphi (x_k){]}^2\approx 0.09.$

Será que esta gaussiana, que teve um ajuste tão melhor que a anterior, quando convertida novamente para o domínio $(x,z),$ não teria produzido uma parábola melhor que a encontrada acima? De fato, o resíduo nesse caso é $\sum _{k=1}^n[z_k-\log (\varphi (x_k)){]}^2\approx 1.5\cdot {10}^5.$

Desta forma, concluímos que a propriedade de otimalidade do ajuste não é preservada por transformações não lineares. Em outras palavras, um ajuste ótimo em um domínio pode não ser ótimo em outro, quando a relação entre os domínios for não linear.

Como aprendizado, devemos ficar conscientes de que o ajuste obtido pela linearização do problema deve ser utilizado com cautela. Se a solução obtida desta forma não for aceitável, ou quando nem é possível realizar a linearização do problema, só nos resta resolver diretamente o problema de ajuste não linear. Como fazer isto é assunto para outra aula.

Neste exercício você deve perceber que o mínimo de uma função pode não ser preservado por transformações. Considere $y=f(x)\equiv x^2$. Seja $x^{\ast }$ o minimizador de $f.$ Quem é $x^{\ast }$? Para as transformações abaixo, determine $\hat{x}$ que minimiza $z$ e compare-o com $x^{\ast }.$

1. $z=Af(x)+B,$ para $A>0$
2. $z=(f(x)-4{)}^2$
3. $z=\cos (f(x))$