Erro de interpolação

$\newcommand{\R}{\mathbb{R}}$

Na aula passada vimos dois exemplos de problemas de interpolação. No primeiro interpolamos a função raiz quadrada e no segundo exemplo interpolamos a função seno. Será que os polinômios interpoladores podem ser considerados boas aproximações para essas funções? Para responder essa pergunta temos o seguinte teorema, que quantifica o erro.

Teorema: Seja $f:[a,b]\to\R,$ uma função com $(n+1)$ derivadas contínuas em $[a,b],$ e seja $p$ o polinômio de grau menor ou igual a $n,$ que interpola $f$ em $a\le x_0\lt x_1 \lt \cdots\lt x_n\le b.$ Então, para cada $x\in[a,b],$ com $x\neq x_j,$ existe $\xi\in(a,b)$ tal que $$ f(x) - p(x) = {f^{(n+1)}(\xi)\over (n+1)!}\omega(x), $$ onde $\omega(x) = (x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_n).$

Este teorema apresenta uma expressão para o erro de interpolação, entretanto o detalhe é que, apesar da existência de $\xi$ estar assegurada, não há como determiná-lo em geral. Isto torna a aplicação deste resultado menos óbvia.

Isso já era esperado, pois se $\xi$ pudesse ser facilmente determinado, conseguiríamos reduzir o cálculo de $f(x)$ ao cálculo de $p(x)$ e à determinação de $\xi, o que seria quase como dizer que todas as funções seriam simples como polinômios.

Mesmo que o erro de interpolação não possa ser computado explicitamente, ainda podemos usar o teorema para conseguir majorantes para o erro. Por exemplo, considere a interpolação da função raiz quadrada, nas abscissas $1,$ $2$ e $4.$ Neste caso, $n=2$ (três pontos de interpolação) e o teorema acima garante que $$ |f(x) - p(x)| = \left|{f'''(\xi)\over 3!}\omega(x)\right| \le {M_3\over 3!}\max_{1\le x\le 4}|\omega(x)|, $$ onde $\omega(x) = (x-1)(x-2)(x-4)$ e $M_3 = \max_{1\le x\le 4}|f'''(x)|.$

Se $f(x) =\sqrt{x},$ então $f'''(x) = {3\over 8}x^{-5/2}.$ Portanto, $M_3 = 3/8$. Para encontrar o máximo de $\omega$ vamos computar os pontos críticos e avaliar $\omega$ em cada um deles para decidir qual em qual deles $\omega$ assume o maior valor em módulo. Sabemos que isso é suficiente, uma vez que o maior valor não pode estar nos extremos do intervalo, visto que $\omega(1) = \omega(4) =0.$

Os pontos críticos de $\omega$ são $(7\pm\sqrt{7})/3$ e o máximo se realiza em $(7+\sqrt{7})/3$ e vale $2.1126.$ Com isso, conseguimos limitar o erro de interpolação em $$ |f(x) - p(x) \le {3/8 \cdot 2.1126\over 3|} = 0.13204. $$ De fato, observando o gráfico do polinômio interpolador e da função $f,$ exibido no vídeo ficou evidente que o erro máximo de fato foi menor.

A pergunta que nos resta responder é: Se após resolvermos o problema de interpolação o erro ficar acima do aceitável, o que podemos fazer para melhorar a qualidade da interpolação? Esse assunto fica para uma próxima aula.

Na aula seguinte faço a demonstração do teorema acima. Essa aula pode ser ignorada, se você não tem interesse nos detalhes técnicos que levam a esse teorema. Mas não precisa ter receio. A demonstração é simples e elegante.

1. Com que grau de precisão podemos aproximar $\sqrt{115}$ usando interpolação quadrática sobre os pontos $100,$ $121$ e $144$?

2. Com que grau de precisão podemos aproximar $\cos(1)$ usando interpolação quadrática sobre os pontos $\pi/4,$ $\pi/3$ e $\pi/2$?