Introdução ao ajuste de curvas pelo método de quadrados mínimos
Vamos lá?
Em ciências experimentais é comum desejar-se conhecer uma função através de observações. Por exemplo, como será que varia a concentração de um nutriente do leite, a medida que o tempo passa? Para isso, a concentração do nutriente é medida em vários momentos, dando origem a uma coleção de pontos amostrados da função. A técnica de ajuste de curvas por quadrados mínimos permite estimar a função a partir da coleção de amostras. Nesta aula, vamos entender melhor o que é o problema de quadrados mínimos e de onde vem esse nome.
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Nos problemas de ajuste de curvas geralmente temos...
A. poucos pontos, mas bem representativos.
B. poucos pontos, porém contaminados por erro.
C. muitos pontos, mas confiáveis.
D. muitos pontos, porém contaminados por erro.
No ajuste de curvas queremos estimar uma função contínua que...
A. mantém pelo menos as características principais do dado amostrado.
B. reproduz com fidelidade o dado amostrado.
Que medida podemos usar para quantificar a qualidade de uma curva ajustada?
A. A soma dos desvios entre a curva e os valores amostrados.
B. A soma dos módulos dos desvios entre a curva e os valores amostrdos.
C. A soma dos quadrados dos desvios entre a curva e os valores amostrdos.
D. O quadrados da soma dos desvios entre a curva e os valores amostrdos.
O gráfico do video exibe 160 pontos amostrados de uma função. Imagine que esses pontos foram obtidos experimentalmente e, por isso, as medidas estão contaminadas com erro experimental. Nosso objetivo é obter uma aproximação para a função que deu origem aos dados.
Mesmo não podendo confiar individualmente em nenhum dos valores amostrados, ainda é possível inferir a partir dessa nuvem de pontos o comportamento esperado da função.
Como as medidas estão contaminadas com erro, não faz sentido exigir que a função aproximada reproduza exatamente os valores amostrados.
O ajuste de curva pode ser formulado, genericamente, com o problema de encontrar a função que melhor ajusta os pontos amostrados.
Para poder de fato trabalhar esse problema precisaremos ainda descrevê-lo de forma bem mais precisa. Dois aspectos merecem mais cuidado na definição do problema. Em primeiro lugar, procurar uma função é algo muito geral. Será necessário especificar qual tipo de função estamos procurando. Trataremos este ponto com mais detalhes em outra aula. O segundo aspecto que precisa ser bem descrito é sobre o sentido do termo melhor ajuste.
Vários critérios podem ser propostos para definir a qualidade do ajuste dos dados por uma função.
Vamos supor que as medidas foram tomadas exatamente em $x_1,\ldots,x_m,$ ou seja, no conjunto de pontos amostrados não há erro amostral na ordenadas do pontos, mas apenas nas abscissas. Um possível critério para quantificar a qualidade do ajuste seria somar os desvios entre o valor amostrado (pontos destacados no gráfico) e o valor predito pelo função $\phi.$ Nesse sentido a função que melhor ajusta os dados seria aquela cuja soma de desvios verticais fosse a menor possível. A medida a ser minimizada seria então uma soma de módulos (ou valores absolutos). Apesar de ser um critério válido, como a função módulo não é diferenciável, não poderemos utilizar as ferramentas de Cálculo Diferencial para resolver esse problema de minimização. Por isto, é comum adotar como medida de qualidade do ajuste, não a soma dos desvios em módulo, mas sim a soma dos quadrados do desvios, ficando assim com uma função diferenciável para ser minimizada.
Antes de tentar formalizar o método de determinação da curva de melhor ajuste, na próxima aula trabalharemos em um exemplo concreto.
1. Em sua área, pense em situações onde o método de ajuste de curvas por quadrados mínimos poderia ser útil.
2. Se $\{(x_1,y_1), (x_2,y_2),\ldots,(x_m,y_m)\}$ é o conjunto de pontos amostrados, e $\phi$ é a função ajustada, como podemos medir a qualidade do ajuste, denominada resíduo?