Equação de ponto fixo

Um tipo particular de equação não linear é \begin{equation}\label{eqpf} \phi(x) = x, \end{equation} onde $\phi$ é uma função pelo menos contínua. Não precisamos de métodos numéricos específicos para essa equação, uma vez que ela pode ser facilmente convertida no formato com o qual vínhamos lidando até agora. Basta definir $f(x) \equiv \phi(x)-x$. Com isso, a equação \eqref{eqpf} torna-se $f(x) =0.$ Apesar disso, será que não podemos tirar proveito desse formato particular para criar um método iterativo?

Um método iterativo deve produzir uma sequência $x_1,x_2,x_3,\ldots$ que (esperamos) convirja para a $x_*$, um ponto que satisfaça a equação \eqref{eqpf}. Se para o problema geral, $f(x)=0$, não é óbvio com gerar uma sequência de aproximações, no caso da equação \eqref{eqpf}, há uma forma bem simples de criar uma sequência.

Considere, por exemplo a equação não linear $$ x - e^{-x} = 0 \quad \iff \quad x = e^{-x}. $$ Assim, vamos definir $\phi(x) \equiv e^{-x}$. Todo método numérico precisa de um ponto de partida, uma aproximação inicial. Que tal tentar $x_0 = 0$? Como queremos que $x = \phi(x)$, vamos definir que $x_1$ como $$ x_1 = \phi(x_0) = e^0 = 1. $$ Certamente $x_1$ não é solução de \eqref{eqpf}. Com confiança, tentamos mais uma vez, definido $x_2 = \phi(x_1)$. Seguindo, desta forma, construímos a sequência $$ x_k = \phi(x_{k-1}), \quad k=1,2,\ldots $$ Veja o que acontece com os iterandos produzidos desta forma $$ \begin{align*} x_{1} & \approx 1.0000\\ x_{2} & \approx 0.3679\\ x_{3} & \approx 0.6922\\ x_{4} & \approx 0.5005\\ x_{5} & \approx 0.6062\\ x_{6} & \approx 0.5454\\ x_{7} & \approx 0.5796\\ x_{8} & \approx 0.5601\\ x_{9} & \approx 0.5711\\ x_{10} & \approx 0.5649\\ \cdots\\ x_{20} & \approx 0.5671\\ \cdots\\ x_{30} & \approx 0.5671\\ \end{align*} $$ Parece que essa sequência está convergindo. Se isto for mesmo verdade, ou seja, se $x_k\rightarrow x_*$, então $x_*$ tem que ser solução da equação não linear \eqref{eqpf}. Para ver isso basta tomar o limite em ambos os lados da fórmula de iteração $$ x_* = \lim_{k\to\infty} x_k = \lim_{k\to\infty} \phi(x_{k-1}) = \phi(\lim_{k\to\infty} x_{k-1}) = \phi(x_*). $$ Ainda para o exemplo acima, podemos fazer um gráfico exibindo o erro entre $x_k$ e $x_*$.

Pelo gráfico fica claro que a sequência esta convergindo para $x_*.$ Esse valor $x_*$ é dito ponto fixo da função $\phi$ e a equação \eqref{eqpf} chama-se equação de ponto fixo.

Agora temos algumas perguntas pela frente. Será que uma equação de ponto fixo sempre tem solução? Se tiver solução, será que é única? Se tiver solução, será que a iteração descrita acima sempre convergirá?

A primeira pergunta é fácil. Não, nem sempre uma equação de ponto fixo tem solução. Como contraexemplo basta tomar a função $\phi(x) = x+1$. Claramente não existe $x$ tal que $\phi(x) = x$. Sobre a unicidade, deixo um exemplo para você mesmo perceber se é possível garanti-la ou não. Considere $\phi(x) = x^2$. O que você acha? Quantos pontos fixos $\phi$ tem?

Nos resta a última pergunta, ou seja, quando a iteração acima, conhecida como iteração de ponto fixo, converge? Bom, isso é assunto para outra aula.

Referências

Anne Greenbaum e Timothy P. Chartier. Numerical Methods: Design, Analysis, and Computer Implementation of Algorithm. Princeton University Press, 2012.

A. Quarteroni e F. Saleri. Cálculo Científico com MATLAB e Octave. Springer, 2007.

1. Vefique que o ponto fixo de uma função $\phi$ pode ser interpretado como o ponto de intersecção entre o gráfico de $\phi$ e o gráfico de $y=x$.

2. Para cada função abaixo, verifique se há ponto fixo.

1. $f(x) = e^{-x^2}$
2. $g(x) = x^2-3$
3. $h(x) = e^x$
4. $p(x) = \log(x^2+2)$
5. $q(x) = \sin(x)$
6. $r(x) = x/5+8$

3. Para cada função acima que admite ponto fixo, escolha um valor de $x_0$ e experimente computar as iterações de ponto fixo. Verifique se a interação está convergindo.