O problema de interpolação

O problema de interpolação surge quando queremos encontrar uma função contínua que passe por um conjunto de pontos no plano, amostras de alguma função desconhecida ou complexa o suficiente para valer a pena aproximá-la. A função construída chama-se função interpoladora e serve, por exemplo, para estimar o valor da função amostrada para além dos valores já tabelados.

No vídeo, vimos o exemplo da função seno, que só é conhecida exatamente para alguns valores especiais, os ângulos notáveis $0,$ $\pi/4$, $\pi/3$ e $\pi/2$ (e seus múltiplos). O problema que se coloca então é, partindo dos valores de seno nestes ângulos, como aproximar os valores de seno para outros pontos não tabelados?

Podemos colocar nosso objetivo da seguinte maneira: encontrar uma função contínua que passe pelos pontos tabelados. Porém, apenas pedir uma função contínua é muito vago (ou mal posto), visto que há infinitas funções que passam por um conjunto finito de pontos prescritos, como podemos ver na figura abaixo.

Duas possíveis funções contínuas que passam sobre os mesmos pontos amostrados da função seno, marcados como pontos vermelhos.

Para tornar o problema bem posto, ou seja com solução única, ao invés de pedir apenas por uma função contínua, interpolamos os pontos amostrados por um polinômio, de grau apropriado.

Com os exemplos apresentados, rapidamente percebemos que o grau do polinômio deve ser ajustado à quantidade de informações fornecidas da função. Se tivermos três condições de interpolação, como no primeiro ou segundo exemplos, basta utilizar um polinômio de grau 2, que tem três coeficientes livres a serem determinados pela imposição dessas condições.

Um polinômio de grau menor que $(n+1)$ pode ser representado pela combinação linear das funções $1,$ $x, \ldots, x^n.$ Essa é a base canônica do espaço vetorial dos polinômios de grau menor que $(n+1).$ Nos exemplos que vimos, quando o polinômio interpolador é escrito em termos da base canônica, recaímos em sistemas lineares quadrados de ordem $(n+1)$ para serem resolvidos. Porém a escolha de bases mais apropriadas teve como resultado simplificar o sistema linear ou até mesmo torná-lo trivial.

Nesta aula não explicamos como essas bases especiais foram obtidas. A intenção aqui era apenas que você percebesse que isso é possível. O processo de construção dessas bases será tema de outra aula.

Por fim, fica a mensagem de que a resolução de problemas de interpolação polinomial não requer técnicas especiais, mas pode ser bem simplificada se o polinômio interpolador for representado de forma conveniente. Este será o assunto da próxima aula. Outro ponto a destacar é que a interpolação em si nem sempre é o objetivo final, mas sim um passo ou ingrediente de um método maior, como no segundo exemplo, onde o problema era minimizar uma função.

1. Considere o problema de determinar o polinômio $p$ de grau menor ou igual a 3 que satisfaça as seguintes condições $$ p(2) = \alpha, \quad p(4) = \beta, \quad p'(4) = \gamma. $$ Observando as forma abaixo para representar $p,$ qual delas parece ser mais adequada? Formule o problema usando cada uma das formas abaixo. Escolha uma das formulações para resolver o problema.

1. $p(x) = a + bx + cx^2$
2. $p(x) = a(x-2) + b(x-4) + c(x-2)(x-4)$
3. $p(x) = a(x-2)^2 + b(x-4)^2 + c(x-2)$
4. $p(x) = a(x-4)^2 + b(x-2)(6-x) + c(x-2)(x-4)$

2. Encontre o polinômio interpolador de grau 3 que satisfaz as condições $$ \begin{align*} p(-1) &= \alpha_0, &p (1) &= \alpha_1,\\ p'(-1) &= \beta_0, &p'(1) &= \beta_1. \end{align*} $$ Dica: represente $p$ como combinação linear de $$\left\{ {(x+2)(x-1)^2\over 4},\; 1-{(x+2)(x-1)^2\over 4},\;{(x+1)(x-1)^2\over 4},\; {(x+1)^2(x-1)\over 4}\right\}$$ Faça o gráfico destas funções. O que elas têm de especial?