The trust-region methods are iterative methods for numerically solving minimization problems, not only unconstrained but also constrained ones. They consist of defining a quadratic model for the objective function f from a current point x^k and establishing a closed ball centered on x^k and with radius Δ; this neighborhood around x^k is called trust region, because in this region we will trust that the model generates a good approximation for the objective function; then each iteration will have a subproblem of minimizing the model subject to the trust region, thereby generating a sequence of approximations to the solution of the problem, ie the objective function minimizer. Recently, Adachi et al.[1], based on Gander et al.[4], developed a method adressing the subproblem in a non-iterative way, solving only one generalized eigenvalue problem. This work investigates the usage of this strategy for solving low dimensional unconstrained minimization problems. The visual appeal provides an additional tool for exploring the geometric features of this approach.
Nosso problema de interesse é a minimização irrestrita:
min
x 2Rn f (x) (PI)
onde f : Rn 7! R e f de classe C2. Para resolver numericamente problemas do tipo PI são utilizados
métodos iterativos, neste trabalho nos concentraremos nos métodos de região de confiança [2, 5].
Os métodos de região de confiança que estudaremos aqui baseiam-se em estipular um modelo quadrático
da função objetivo no iterado corrente e uma região em torno desse ponto onde espera-se que o modelo
represente bem a função objetivo, essa região é chamada região de confiança; então encontramos uma aproximação
x para o minimizador do modelo. Se x proporcionar uma redução satisfatória, então atualizamos o
ponto corrente para x e repetimos o processo, se a redução não for satisfatória, isso implica que o modelo
não está representando muito bem a função, então reduzimos o raio da região de confiança e repetimos o
processo para encontrar um novo minimizador x.
Diferentemente dos métodos de busca linear [3], que primeiro calculam uma direção de descida e depois
encontram um tamanho de passo para andar nessa direção, os métodos de região de confiança vão estabelecer
primeiro o tamanho máximo de passo a ser andado, ou seja, o raio da região de confiança e depois vão
calcular a direção, resolvendo o subproblema de minimizar o modelo sujeito a região de confiança.
Este trabalho foi dividido em dois capítulos, no primeiro capítulo vamos estudar os métodos de região
de confiança mais clássicos, analisando desde as abordagens mais utilizadas na construção do modelo até
a resolução do subproblema (de forma exata ou aproximada), de modo a obter a direção que gerará o novo
iterado, nossos estudos foram feitos com base em [8, 9]. No segundo capítulo, nosso objetivo é analisar,
com uma abordagem geométrica, um método [1] proposto recentemente para resolução do subproblema de
região de confiança, que se baseia em autovalores generalizados.
2
