MA604

1. Espaços métricos. Definição e exemplos. Bolas e esferas. Subespaços métricos. Conjuntos limitados. Distância de um ponto a um conjunto e distância entre dois conjuntos. Seqüências. Isometrias. Normas. Espaços vetoriais normados. Normas Lp em espaços de dimensão finita. 2. A topologia dos espaços métricos. Conjuntos abertos, fechados, ponto interior, ponto aderente, conjunto denso, ponto de acumulação. Interior, fecho e fronteira de um conjunto. 3. Funções contínuas. Definição e exemplos. Propriedades de funções contínuas. Funções uniformemente contínuas. Homeomorfismos. Métricas equivalentes. Relações entre conjuntos abertos e continuidade. 4. Compacidade. Definição e exemplos. Relação entre continuidade e compacidade. Relação entre continuidade uniforme e compacidade. Distância entre conjuntos compactos. 5. Espaços métricos e conjuntos conexos. Definição e exemplos. Propriedades. Conexidade por caminhos. Componentes conexas. A conexidade como invariante topológico. 6. Espaços métricos completos. Seqüências convergentes e de Cauchy. Definição de espaços completos e exemplos. Completude de R. Completamento de um espaço métrico. 7. Introdução aos espaços topológicos. A topologia métrica. As topologias discreta e indiscreta. Espaços de Hausdorff.