Esta disciplina visa desenvolver nos estudantes de Licenciatura em Matemática tanto a intuição em torno dos conceitos de Análise, quanto o rigor por trás de formulação de questões matemáticas relacionadas com números e funções reais através do conceito de limite. Especificamente, o curso tem principalmente dois objetivos: apresentar as demonstrações dos principais teoremas visto no curso de Cálculo I, como o Teorema de Bolzano, de Weierstrass, do Valor Intermediário, do Valor Médio e o Teorema Fundamental do Cálculo e, além disso, fazer um estudo rigoroso sobre funções elementares, como as funções trigonométricas e as funções logarítmicas e exponenciais, formalizando alguns resultados e conceitos ensinados nos Ensino Médio. Espera-se também que se apresente aos alunos o contexto histórico dos temas estudados.
Nível:
Graduação
Nome da disciplina:
Introdução à Análise
Número de Créditos:
6
Oferecimento:
2º Período Letivo
Pré-requisito:
MA111
Ementa:
Os números reais. Sequências e séries, o número e é irracional; convergência de Cauchy; séries infinitas, testes da comparação, razão e integral; não-enumerabilidade dos números reais, Teorema de Bolzano-Weierstrass, divergência da série harmônica. Funções contínuas: limites, Teoremas de Bolzano, de Weierstrass e do Valor Intermediário, continuidade uniforme. Derivadas, extremos locais, o Teorema do Valor Médio, funções inversas. Integral. O Teorema Fundamental do Cálculo. Aplicações: funções trigonométicas, pi é irracional, as funções logarítmica e exponencial, aproximação por polinômios.
Conteúdo / Programa:
1. Fundamentos sobre os números reais: propriedades básicas; desigualdades, indução finita; necessidade da completude dos números reais. 2. Sequências e séries: sequências monótonas; o número e e sua irracionalidade; Critério de convergência de Cauchy; propriedades e exemplos de séries infinitas, Testes da comparação, razão e integral; não-enumerabilidade dos números reais, Teorema de Bolzano-Weierstrass, origem das séries infinitas, divergência da série harmônica. 3. Funções: limites, funções contínuas, Teoremas de Bolzano, de Weierstrass e do Valor Intermediário, continuidade uniforme. 4. Derivadas: derivada e propriedades, extremos locais e o Teorema do Valor Médio, funções inversas. 5. Integral: definição através de somas superior e inferior, O Teorema Fundamental do Cálculo; 6. Aplicações: estudo analítico das funções trigonométricas, demonstração de que π é irracional, as funções logarítmica e exponencial, aproximação por polinômios.
Objetivo:
Forma de Avaliação:
Por nota e frequência
Referência Bibliográfica:
1. Geraldo Ávila, Introdução à Análise Matemática . 2ª ed., E. Blucher, 1999.2. Elon L. Lima, Análise Real , vol. 1, Coleção Matemática Universitária, IMPA, 8a. ed., 20063. Michael Spivak, Calculus, 4th ed., Publish or Perish, Inc. Houston, Texas, 2008.