Análise Real (6MAT029) - Matemática Bacharelado

Disciplina ministrada em 2010


Ementa

Conjuntos Finitos e Infinitos. Números reais. Seqüências e séries de números reais. Noções de Topologia na reta. Funções reais: Limite e continuidade. Derivada. Fórmula de Taylor. A Integral de Riemann.

Cronograma

  1. NÚMEROS REAIS (Março e Abril)

    Teoria elementar dos conjuntos. Corpos e corpos ordenados. Desigualdades. Supremo e ínfimo de um conjunto. R como um corpo ordenado completo. Sistema dos números reais estendidos. Noções básicas do espaço Euclidiano.

  2. NOÇÕES BÁSICAS DE TOPOLOGA (Abril e Maio)

    Conjuntos finitos e conjuntos enumeráveis. Noções básicas de espaço métrico. Conjuntos abertos, conjuntos fechados e conjuntos limitados. Pontos de acumulação. Pontos aderentes. Conjuntos compactos. Noção básica de conjunto conexo.

  1. SEQUÊNCIAS DE NÚMEROS (Maio e Junho)

    Sequências e sub-sequências de números reais. Operações com limites de sequências. Sequências de Cauchy. Sequências monótonas. Limite Infinitos. Limites superior e inferior. Teorema dos intervalos encaixantes. O Teorema de Bolzano-Weierstrass.

  1. SÉRIES NUMÉRICAS (Junho)

    Definição de série. Séries convergentes. Séries absolutamente convergentes. Testes de convergência. Séries alternadas. Operações com séries.

  1. FUNÇÕES REAIS E LIMITES (Agosto)

    Limite de uma função. Propriedades de limite. Limites laterais. Limites infinitos e no infinito. Expressões indeterminadas.

  1. FUNÇÕES CONTÍNUAS (Agosto e Setembro)

    Funções contínuas num intervalo. O Teorema do Valor Intermediário. Funções contínuas em conjuntos compactos. Continuidade Uniforme.

  1. DERIVADAS (Setembro e Outubro)

    O conceito de derivada. Regras operacionais. Máximos e mínimos locais. Teorema do Valor Médio e suas aplicações. Derivadas de ordem superior. Fórmula de Taylor.

  1. A INTEGRAL DE RIEMANN (Outobro e Novembro)

    Somas superiores e inferiores. Funções integráveis. Critério de integrabilidade. Propriedades da integral. Teorema Fundamental do Cálculo. Somas de Riemann. Integrais impróprias.

  1. SEQUÊNCIAS E SÉRIES DE FUNÇÕES (Novembro)

    Convergência simples e convergência uniforme. Propriedades de convergência uniforme.

Formas e Critérios de Avaliação

Serão aplicadas seis avaliações durante o ano, denotadas P1, P2, ..., P6, que serão realizadas no horário de aula nos seguintes dias:

P1 - 14 de Abril de 2010;
P2 - 26 de Maio de 2010;
P3 - 30 de Junho de 2010;
P4 - 22 de Setembro de 2010;
P5 - 27 de Outubro de 2010;
P6 - 24 de Novembro de 2010;
EXAME - 15 de Dezembro de 2010.
2º Época - 31 de Janeiro a 02 de Fevereiro

A média M será calculada através da seguinte equação:

M = (3*(P1 + P2) + 4*(P3+P4) + 5*(P5 + P6))/24.

O aluno será aprovado, reprovado ou deverá fazer exames, em conformidade com os regimentos da UEL.

É importante observar que as provas conterão entre 4 e 5 questões para serem resolvidas durante o horário da aula. Aproximadamente 70% das questões das provas serão extraídas das exercícios sugeridos.


Bibliografia

REFERÊNCIA PRINCIPAL
OUTRAS REFERÊNCIAS RECOMENDADAS:
  1. Apostol, T. M. Mathematical Analysis, Addison Wesley, 2 edition, 1974.

  2. Rosenlicht, M. Introduction to analysis, New York: Dover, 1986.

  3. LIMA, E. L. Curso de Análise. Rio: IMPA – CNPq (Projeto Euclides), 1989.

  4. LIMA, E. L. Análise Real Vol.1. Rio: IMPA–CNPq (Coleção Matemática Universitária), 1989.

  5. ÁVILA, G.S.S. Introdução à análise matemática. São Paulo: Edgard Blücher, 1993.

  6. FIGUEIREDO, D. G. Análise I. Rio de Janeiro: LTC, 1996.


Exerícios Sugeridos

(Referência: Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd Edition, 1976)


-- Os exercícios são acrescentados conforme o conteúdo é ministrado em aula --

Conteúdo para a Primeira Prova:
Capítulo 1:
1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7.
Listas Adicionais: lista1.pdf, lista2.pdf, lista3.pdf, lista4.pdf.

Conteúdo para a Segunda Prova:
Listas Adicionais: lista5.pdf, lista6.pdf, lista7.pdf.

Conteúdo para a Terceira Prova:
Listas Adicionais: lista8.pdf, lista9.pdf.

Conteúdo para a Quarta Prova:
LISTA 11 - Fazer os seguintes exercícios do capítulo 4:
    1, 2, 3, 4, 5 (sem a extensão para o caso de funções com valores vetoriais), 8, 11, 12, 14, 15, 16, 18, 23, 24.
Listas Adicionais: lista10.pdf       Resolução de alguns exercícios (fora da ordem).

Conteúdo para a Quinta Prova:
LISTA 12 - Fazer os seguintes exercícios do capítulo 5 do Livro Texto:
    1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 22 e 25. (Mais exercícios serão acrescentados eventualmente).
Listas Adicionais: ex03_10.pdf, ex06_10.pdf.

Conteúdo para a Sexta Prova:
LISTA 13 - Fazer os seguintes exercícios do capítulo 6 do Livro Texto:
    1, 2, 4, 5, 10, 11, 12, 15 e 17. (Mais exercícios serão/foram apresentados durante as aulas).

-- Conteúdo para a 2º Época --
Lista para a 2 Época
Provas do curso