Exames de Qualificação

 

Programas das disciplinas pertencentes ao exame de qualificação

 
Álgebra
MA 719, Álgebra Linear
 
Ementa:
Revisão de álgebra linear básica (espaços vetoriais, subespaços, bases e coordenadas, transformações lineares e suas representações matriciais, posto, nulidade, espaços vetoriais com produto interno, operadores normais e  autoadjuntos, diagonalização), espaço dual e a transposta de uma transformação linear, teorema de Cayley-Hamilton, polinômio mínimo de um endomorfismo linear, forma canônica de Jordan, forma canônica de Jordan real, forma canônica racional, transformações multilineares, funções alternadas, determinantes, produto tensorial de espaços vetoriais, álgebra tensorial de um espaço vetorial, álgebra dos tensores simétricos, álgebra de 
Grassmann, álgebra de Clifford, estrutura de formas bilineares e de formas quadráticas, transformações lineares ortogonais e simpléticas.
 
Bibliografia:
 
K. Hoffman and R. Kunze, Linear Algebra (2nd edition), Prentice Hall (1971).
A. Kostrikin and  Y. Manin,  Linear algebra and geometry, Gordon and Breach (1989).
D. Northcott, Multilinear Algebra, Cambridge Univ. Press (1964). (capítulos 1 e 2)
 
Outras Referências:
 
R. J. Santos, Álgebra Linear e Aplicações, disponível em versão eletrônica (pdf) em http://www.mat.ufmg.br/~regi/
S. Axler, Down with determinants, Springer (1967). 
K. Ikramov, Linear algebra: Problems book,  Mir (1983).
 
 
Análise
MM 720 - Análise no Rn
 
Ementa: 
Cálculo de várias variáveis: Aplicações diferenciáveis, Diferencial e Matriz jacobiana,  Desigualdade do valor médio, Regra da Cadeia, Derivadas de ordem superior, Fórmula de Taylor, Teorema da função inversa e implícita, Forma local das imersões e submersões e o teorema do posto. Subvariedades de Rn  Valores e pontos regulares, espaço tangente, parametrizações locais. 
Integração, integrais de linha e de superfícies, Formas diferenciais e integração sobre variedades, 
Teorema de Stokes (Green e Gauss).
 
Bibliografia:
 
(1) James R. Munkres's Analysis on Manifolds.
(2) Lima,Elon L.. Análise no Espaço Rn, Edgar Blücher.
(3) M.Spivak. Calculus on Manifolds.
(4) S. Lang. Analysis I
 
Geometria/Topologia
 
MM 453 - Topologia Geral
 
Ementa: 
Espaços Metricos. Exemplos. Noções basicas de Topologia. Espaços topológicos. Bases.  Funções contínuas, subespaços, espaços, produto e quociente. Convergência de sequências, redes e filtros. 
Espaços de Hausdorff. Espaços regulares, normais, compactos, localmente compactos. Metrização. Paracompacidade. Espaços conexos e conexos por caminhos. Homotopia e grupo fundamental. Espacõs de recobrimento.
 
Bibliografia
 
1. Honig, C. Aplicações da Topologia á Analise. Projeto Euclides, 1976.
2. Janich, K. Topology. Springer, 1984.
3. Lima, E. Grupo Fundamental e Espaços de Recobrimento. Impa, 2012.
4. Kelley, J. Topology. Springer, 1955.
5  Mujica, J. Notas de Topólogia Geral. notas de aula, 2013.
6. Munkres, J. Topology. Pretince Hall, 2000.
 
 
Doutorado
 
Álgebra
 
MM 427- Álgebra Comutativa
 
Ementa: 
Anéis comutativos com identidade: ideais e operações com ideais, homomorfismos entre tais anéis e característica do anel.  Ideais primos e maximais, radical de Jacobson e o Nilradical. Sistemas multiplicativos,  localização e anéis locais. Módulos: submódulos, homomorfismos, módulos quocientes e teoremas do isomorfismo. Soma e produto direto. Localização de Módulos. Módulos finitamente gerados, livres, projetivos e lema de Nakayama. Módulos sobre domínios principais e seu teorema fundamental. Sequência exata de módulos e homomorfismos. Produto tensorial de módulos,  e suas propriedades em relação a sequências exatas. Dependência Integral de extensões de anéis: definição e exemplos. Anéis integralmente fechados. Lema de Noether e os teoremas de going-up e going-down. Condições de cadeias: Anéis e módulos noetherianos e artinianos. Decomposição primária de ideais em anéis noetherianos. Dimensão de Krull: definições de altura (co-altura) de ideal primo e da dimensão de Krull de um anel. Teoremas do ideal principal de Krull e sua generalização. R-álgebras comutativas finitamente geradas: Anel de polinômios em um número finito de variáveis sobre um anel R com sua graduação natural e R-álgebras finitamente geradas. Grau de transcendência de uma K-álgebra finitamente gerada,  onde K é corpo. Teoremas de zeros de Hilbert e de normalização de Noether.
 
Bibliografia: 
 
1. Introduction to Commutative Algebra - M.F. Atiyah and I.G. MacDonald - Addison- Wesley Publishing Company -1969.
2. Introduction to Commutative Algebra and Algebraic Geometry - E. Kunz – Birkhauser-Boston – 1985.
3. A term of Commutative Algebra – A. Altman and S. Kleiman – Worldwide Center of Mathematic, LLC- 2012.
4. Graduate Algebra: Commutative View – L. H. Rowen – AMS – volume 73 – 2006.
5. Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry – D. Eisenbud – Graduate Texts in Mathematics, vol.  150 – Springer-Verlag – 1994.
 
 
MM 439 - Álgebras de Lie 
 
Ementa:
Definições, exemplos e construções básicas: álgebras de Lie, subálgebras, ideais, homomorfismos, representações, subrepresentações, homomorfismo de representações, representação adjunta, derivações, produto semidireto de álgebras, produto tensorial de representações. Álgebra universal envelopante, teorema de Poicare-Birkhof-Witt, álgebras de Lie livres e bases de Hall. Álgebras de Lie dadas por geradores e relações, representações livres, representações dadas por geradores e relações (definições e exemplos simples). Álgebras solúveis e nilpotente, séries derivada e central, teorema de Engel, teorema de Lie, radicais solúveis e nilpotentes, critério de Cartan para solubilidade, forma de Cartan-Killing e critério para semi-simplicidade. Teorema de Weyl sobre redutibilidade completa de representações de álgebras semi-simples, teorema da decomposição de Levi. Classificação das representações de dimensão finita de sl(2), subálgebras de Cartan e subálgebras torais maximais, teoremas de conjugação, decomposição de álgebras semi-simples em espaços de raízes, sistemas de raízes, grupo de Weyl, sequências de raízes, bases de sistemas de raízes, matrizes de Cartan, diagramas de Dynkin, classificação de sistemas de raízes, teorema de Serre e classificação das álgebras de Lie simples, subálgebras de Borel. Representações de dimensão finita de álgebras semi-simples, pesos, pesos integrais e dominantes, representações de peso máximo, classificação das representações irredutíveis, geradores e relações para as representações irredutíveis, breve introdução a teoria de caracteres (definição e invariância pela ação do grupo de Weyl).
 
Bibliografia:
1. J. E. Humphreys, Introduction to Lie algebras and representation theory, Springer, 1972. 
2. L. A. B. San Martin, Álgebras de Lie, 2a edição, Editora da Unicamp, 2010.
3. Yu. A. Bahturin, Identical relations in Lie algebras, VNU Science Press, Utrecht, 1987. 
4. W. Fulton and J. Harris, Representation theory: a first course, Springer, 1991.
5. N. Jacobson, Lie algebras, Dover, New York 1979.
 
MM 444 - Álgebra não Comutativa
 
Ementa: 
Módulos, anéis, álgebras (sobre um corpo). Módulos irredituveis, semissimples, indecomponíveis. 
Série de decomposição. Teorema de Jordan e Holder. Anéis primos e semi-primos, radical de Baer e caracterizações. Radical de Jacobson. Ideais unilaterais maximais. Propriedades do radical de Jacobson. Densidade e aplicações. Anéis primitivos, propriedades. Anéis semissimples. Teorema de Wedderburn e Artin. Aplicações. Anéis simples. Módulos e anéis Noetherianos e Artinianos. Propriedades e aplicações. Módulos injetivos e projetivos. Álgebras de dimensão finita. Álgebras simples. Álgebras centrais simples. Grupo de Brauer. Álgebras com divisão. O grupo de Brauer dos racionais. Teorema de Skolem e Noether e aplicações. Teorema de Frobenius sobre as álgebras de divisão reais. Grupos de matrizes. Finitude de grupos de matrizes. Teoremas de Burnside. Módulos e álgebras livres, propriedades genéricas. Álgebras nil e nilpotentes, problemas de tipo Burnside. 
Teorema de Golod e Shavarevich. 
 
Bibliografia:
 
1.  Y.Drozd, V. Kirichenko, Finite-dimensional algebras, Springer, 1994.
2.  I. Herstein, Noncommutative rings, Carus Math. Monographs 15, MAA, 1968.
3. J. Lambek, Lectures on rings and modules, Chelsea, 1976.
4. M. Brešar, Introduction to noncommutative algebra, Springer, Universitext, 2014.
5.  R. Pierce, Associative algebras, Springer GTM 88, 1982.
 
 
Análise
 
MM 425 - Análise Funcional I 
 
Ementa: 
Espaços normados e espaços de Banach. Desigualdades de Holder e Minkowski. Espaços de Banach de sequências e espaços de Banach de funções. Subespaço e espaço quociente. Espaços normados de dimensão finita e o teorema de Riesz. O teorema de Hahn-Banach e suas consequências.
Representação de funcionais lineares nos espaços l_p e L_p. Espaços de Banach reflexivos. O teorema da limitação uniforme. O teorema da aplicação aberta e o teorema do gráfico fechado. Espaços com produto interno e espaços de Hilbert. Projeções ortogonais. Conjuntos ortonormais. Desigualdade de Bessel e identidade de Parseval. Operadores compactos em espaços de Banach. Teorema espectral para operadores compactos auto-adjuntos em espaços de Hilbert. Topologia fraca e topologia fraca-estrela. O teorema de Alaoglu.
 
Bibliografia: 
1. J. B. Conway, A Course in Functional Analysis, Springer.
2. C. S. Honig, Análise Funcional e Aplicações, IME-USP.
3. E. Kreyszig, Introductory Functional Analysis with Applications, John Wiley.
4. A. Taylor, Introduction to Functional Analysis, John Wiley.
 
MM 433 - Equações Diferenciais Parciais I
 
Ementa:
Equações de Transporte, equações de Laplace,de onda e do calor. Teorema de Cauchy-Kovalesvkaya. Transformada de Fourier, Distribuições Temperadas. Espaços de Sobolev Hs (Rn) e aplicações.
 
Bibliografia:
(1) L. Evans, Partial Differential Equations.
(2) R.Iório, V.Iório, Equações Diferenciais Parciais: uma introdução.
 
MM 692 - Análise Real II
 
Ementa:
Medidas com sinal e medidas complexas. Decomposição e diferenciação de medidas. Medidas de
Radon: propriedades de representação, regularidade e aproximação. Produto de medidas de Radon. Espaço de Schwartz. Convolução: propriedades e desigualdades básicas; teoremas de aproximação. Tranformada de Fourier: propriedades básicas; teorema de Plancherel; desigualdade de Hausdorff-Young; teorema de inversão. Analise de Fourier de Medidas. Elementos da teoria de distribuições: topologia e noções de convergencia; operações com distribuições; convolução e resultados de aproximação; distribuições temperadas, periódicas e de suporte compacto; transformada de Fourier de distribuições. Tópicos em teoria de probabilidade: conceitos básicos; lei dos grandes números; teorema do limite central. Noções sobre grupos topológicos e medida de Haar. Noções sobre medida de Hausdorff.
 
Bibliografia:
1. G. B. Folland, Real Analysis, Modern Techniques and Their Applications, John Wiley,
1999 (segunda edição).
 
 
Geometria/Topologia
 
MM 423 - Geometria Riemanniana
 
Ementa:
Variedades diferenciáveis e campos de vetores. Métrica Riemanniana. Funcional energia. Geodésicas. Teorema de Hopf/ Rinow. Conexão Riemanniana. Curvaturas. Geometria das subvariedades. Equações fundamentais de immersões isométricas. Variações da energia. Teorema de Bonnet-Myers. Campos de Jacobi. Lema de Gauss. Teorema do Índice. Teorema de Comparação de Rauch. Espaços de Curvatura constante: Teorema de Cartan sobre a determinação da métrica e formas espaciais. Espaços de Curvatura não positiva: Teorema de Preissman.
 
Bibliografia:
1. M. Berger. A panoramic view of Riemannian geometry. Springer-Verlag, Berlin, 2003.
2. M.P. do Carmo. Geometria Riemanniana. Projeto Euclydes, IMPA, 1979.
3. S. Gallot, D. Hulin, J. Lafontaine. Riemannian geometry. Universitext. Springer-Verlag.
 
 
MM 447 - Introdução à Topologia Algébrica
 
Ementa
CW complexos. O Funtor Pi-1 e o teorema de van Kampen. Recobrimentos e aplicações.   Exemplos: As variedades fechadas 2-dimensionais. Os funtores Pi_n. Grupos de homotopia relativos. Teorema de suspensão de Freudenthal. Versão homotópica do teorema de Whitehead. 
Grupos estáveis de homotopia. Fibrações, pullbacks e sequências de homotopia longas exatas.
Exemplos: H-espaços e grupos compactos. Os funtores H_n. Relação entre Pi_1 e H_1. 
Homologias simplicial, singular e de CW complexos. Sequência de Mayer – Vietoris. 
Axiomatizaçao da teoria de homologia. Grupos de cohomologia. Produtos cup e cap e anel de cohomologia. Fórmulas de Künneth. Espaços com cohomologia polinomial.  Dualidade de Poincaré. Teorema de coeficientes universais. Exemplos: Variedades de Stiefel e Grassmann. 
 
Bibliografia: 
1. A.  Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge Univ. Press, 551 páginas, 2002 (disponível on line).
2. J. P. May, A Conscise Course in Algebraic Topology, Univ. Of  Chicago Press, 1999.
3. G. Bredon Topology and Geometry, Springer – Verlag, GTM 139, 1993.
4. M. Greenberg and J. Harper, Algebraic Topology, a First Course, Addison – Wesley, 1981.
5. E. Spanier, Algebraic Topology, McGraw – Hill, 1966 (reprinted by Springer-Werlag).
 
MM 448 - Grupos de Lie
 
Ementa: 
Grupos Topológicos. Grupos de Lie, definição e exemplos. Álgebra de Lie de um grupo de Lie. 
Aplicação exponencial e representações adjuntas. Introdução à teoria das álgebras de Lie.  Subgrupos de Lie. Subgrupos de Lie conexos e subálgebras de Lie. Teorema de Cartan do subgrupo fechado. Teorema de Yamabe dos subgrupos conexos por caminhos. Diferencial da aplicação exponencial. Grupos localmente e globalmente isomorfos. Grupos simplesmente conexos. Grupos de automorfismos e produtos semi-diretos. Séries derivada e central descendente. Grupos  nilpotentes e grupos solúveis simplesmente conexos. Grupos compactos, teorema de Weyl do grupo fundamental finito. Espaços quocientes e ações de grupos. Medida de Haar e integração.
 
Bibliografia:
1.  L. San Martin, Álgebras de Lie, Editora UNICAMP, 1999
2.  L. San Martin, Grupos de Lie, Editora da Unicamp.
3.  A. W. Knapp, Lie Groups beyond an Introduction, Birkhauser, 2004.

::. Mestrado

:. Álgebra
MM 719, Álgebra Linear
Ementa: Revisão: espaços vetoriais, bases e coordenadas, transformações lineares e matrizes, posto, nulidade, produto interno, operadores normais e autoadjuntos, diagonalização. Espaço dual e a transposta, teorema de Cayley­Hamilton, polinômio mínimo de endomorfismo linear, forma de Jordan, forma de Jordan real, forma racional. Transformação multilinear, função alternada, determinante, produto tensorial de espaços vetoriais, álgebra tensorial, álgebra dos tensores simétricos. Álgebra de Grassmann, álgebra de Clifford, estrutura de formas bilineares e quadráticas, transformação ortogonal e simplética.
Bibliografia:
K. Hoffman and R. Kunze, Linear Algebra (2nd edition), Prentice Hall (1971).
A. Kostrikin and  Y. Manin,  Linear algebra and geometry, Gordon and Breach (1989).
D. Northcott, Multilinear Algebra, Cambridge Univ. Press (1964). (capítulos 1 e 2)
Outras Referências:
R. J. Santos, Álgebra Linear e Aplicações, disponível em versão eletrônica (pdf) em http://www.mat.ufmg.br/~regi/
S. Axler, Down with determinants, Springer (1967). 
K. Ikramov, Linear algebra: Problems book,  Mir (1983).
 
:.Análise
MM 720 - Análise no Rn
Ementa: Cálculo de várias variáveis: Aplicações diferenciáveis, Diferencial e Matriz jacobiana,  Desigualdade do valor médio, Regra da Cadeia, Derivadas de ordem superior, Fórmula de Taylor, Teorema da função inversa e implícita, Forma local das imersões e submersões e o teorema do posto. Subvariedades de Rn  Valores e pontos regulares, espaço tangente, parametrizações locais. 
Integração, integrais de linha e de superfícies, Formas diferenciais e integração sobre variedades, 
Teorema de Stokes (Green e Gauss).
Bibliografia:
(1) James R. Munkres's Analysis on Manifolds.
(2) Lima,Elon L.. Análise no Espaço Rn, Edgar Blücher.
(3) M.Spivak. Calculus on Manifolds.
(4) S. Lang. Analysis I
 
:.Geometria/Topologia
MM 453 - Topologia Geral
Ementa: Espaços Metricos. Exemplos. Noções basicas de Topologia. Espaços topológicos. Bases.  Funções contínuas, subespaços, espaços, produto e quociente. Convergência de sequências, redes e filtros. 
Espaços de Hausdorff. Espaços regulares, normais, compactos, localmente compactos. Metrização. Paracompacidade. Espaços conexos e conexos por caminhos. Homotopia e grupo fundamental. Espacõs de recobrimento.
Bibliografia:
1. Honig, C. Aplicações da Topologia á Analise. Projeto Euclides, 1976.
2. Janich, K. Topology. Springer, 1984.
3. Lima, E. Grupo Fundamental e Espaços de Recobrimento. Impa, 2012.
4. Kelley, J. Topology. Springer, 1955.
5  Mujica, J. Notas de Topólogia Geral. notas de aula, 2013.
6. Munkres, J. Topology. Pretince Hall, 2000.
 
 
::. Doutorado
 
:.Álgebra
MM 427- Álgebra Comutativa
Ementa: Anéis comutativos com identidade: ideais e operações com ideais, homomorfismos entre tais anéis e característica do anel.  Ideais primos e maximais, radical de Jacobson e o Nilradical. Sistemas multiplicativos,  localização e anéis locais. Módulos: submódulos, homomorfismos, módulos quocientes e teoremas do isomorfismo. Soma e produto direto. Localização de Módulos. Módulos finitamente gerados, livres, projetivos e lema de Nakayama. Módulos sobre domínios principais e seu teorema fundamental. Sequência exata de módulos e homomorfismos. Produto tensorial de módulos,  e suas propriedades em relação a sequências exatas. Dependência Integral de extensões de anéis: definição e exemplos. Anéis integralmente fechados. Lema de Noether e os teoremas de going-up e going-down. Condições de cadeias: Anéis e módulos noetherianos e artinianos. Decomposição primária de ideais em anéis noetherianos. Dimensão de Krull: definições de altura (co-altura) de ideal primo e da dimensão de Krull de um anel. Teoremas do ideal principal de Krull e sua generalização. R-álgebras comutativas finitamente geradas: Anel de polinômios em um número finito de variáveis sobre um anel R com sua graduação natural e R-álgebras finitamente geradas. Grau de transcendência de uma K-álgebra finitamente gerada,  onde K é corpo. Teoremas de zeros de Hilbert e de normalização de Noether.
Bibliografia: 
1. Introduction to Commutative Algebra - M.F. Atiyah and I.G. MacDonald - Addison- Wesley Publishing Company -1969.
2. Introduction to Commutative Algebra and Algebraic Geometry - E. Kunz – Birkhauser-Boston – 1985.
3. A term of Commutative Algebra – A. Altman and S. Kleiman – Worldwide Center of Mathematic, LLC- 2012.
4. Graduate Algebra: Commutative View – L. H. Rowen – AMS – volume 73 – 2006.
5. Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry – D. Eisenbud – Graduate Texts in Mathematics, vol.  150 – Springer-Verlag – 1994.
 
MM 439 - Álgebras de Lie 
Ementa: Definições, exemplos e construções básicas: álgebras de Lie, subálgebras, ideais, homomorfismos, representações, subrepresentações, homomorfismo de representações, representação adjunta, derivações, produto semidireto de álgebras, produto tensorial de representações. Álgebra universal envelopante, teorema de Poicare-Birkhof-Witt, álgebras de Lie livres e bases de Hall. Álgebras de Lie dadas por geradores e relações, representações livres, representações dadas por geradores e relações (definições e exemplos simples). Álgebras solúveis e nilpotente, séries derivada e central, teorema de Engel, teorema de Lie, radicais solúveis e nilpotentes, critério de Cartan para solubilidade, forma de Cartan-Killing e critério para semi-simplicidade. Teorema de Weyl sobre redutibilidade completa de representações de álgebras semi-simples, teorema da decomposição de Levi. Classificação das representações de dimensão finita de sl(2), subálgebras de Cartan e subálgebras torais maximais, teoremas de conjugação, decomposição de álgebras semi-simples em espaços de raízes, sistemas de raízes, grupo de Weyl, sequências de raízes, bases de sistemas de raízes, matrizes de Cartan, diagramas de Dynkin, classificação de sistemas de raízes, teorema de Serre e classificação das álgebras de Lie simples, subálgebras de Borel. Representações de dimensão finita de álgebras semi-simples, pesos, pesos integrais e dominantes, representações de peso máximo, classificação das representações irredutíveis, geradores e relações para as representações irredutíveis, breve introdução a teoria de caracteres (definição e invariância pela ação do grupo de Weyl).
Bibliografia:
1. J. E. Humphreys, Introduction to Lie algebras and representation theory, Springer, 1972. 
2. L. A. B. San Martin, Álgebras de Lie, 2a edição, Editora da Unicamp, 2010.
3. Yu. A. Bahturin, Identical relations in Lie algebras, VNU Science Press, Utrecht, 1987. 
4. W. Fulton and J. Harris, Representation theory: a first course, Springer, 1991.
5. N. Jacobson, Lie algebras, Dover, New York 1979.
 
MM 444 - Álgebra não Comutativa
Ementa: Módulos, anéis, álgebras (sobre um corpo). Módulos irredituveis, semissimples, indecomponíveis. 
Série de decomposição. Teorema de Jordan e Holder. Anéis primos e semi-primos, radical de Baer e caracterizações. Radical de Jacobson. Ideais unilaterais maximais. Propriedades do radical de Jacobson. Densidade e aplicações. Anéis primitivos, propriedades. Anéis semissimples. Teorema de Wedderburn e Artin. Aplicações. Anéis simples. Módulos e anéis Noetherianos e Artinianos. Propriedades e aplicações. Módulos injetivos e projetivos. Álgebras de dimensão finita. Álgebras simples. Álgebras centrais simples. Grupo de Brauer. Álgebras com divisão. O grupo de Brauer dos racionais. Teorema de Skolem e Noether e aplicações. Teorema de Frobenius sobre as álgebras de divisão reais. Grupos de matrizes. Finitude de grupos de matrizes. Teoremas de Burnside. Módulos e álgebras livres, propriedades genéricas. Álgebras nil e nilpotentes, problemas de tipo Burnside. 
Teorema de Golod e Shavarevich. 
Bibliografia:
1.  Y.Drozd, V. Kirichenko, Finite-dimensional algebras, Springer, 1994.
2.  I. Herstein, Noncommutative rings, Carus Math. Monographs 15, MAA, 1968.
3. J. Lambek, Lectures on rings and modules, Chelsea, 1976.
4. M. Brešar, Introduction to noncommutative algebra, Springer, Universitext, 2014.
5.  R. Pierce, Associative algebras, Springer GTM 88, 1982.
 
:.Análise
MM 425 - Análise Funcional I 
EmentaEspaços normados e espaços de Banach. Desigualdades de Holder e Minkowski. Espaços de Banach de sequências e espaços de Banach de funções. Subespaço e espaço quociente. Espaços normados de dimensão finita e o teorema de Riesz. O teorema de Hahn-Banach e suas consequências. Representação de funcionais lineares nos espaços l_p e L_p. Teorema de Representação de Riesz. Teorema de Lax-Milgram. Dualidade. Espaços de Banach reflexivos. O teorema da limitação uniforme. O teorema da aplicação aberta e o teorema do gráfico fechado. Espaços com produto interno e espaços de Hilbert. Projeções ortogonais. Conjuntos ortonormais. Desigualdade de Bessel e identidade de Parseval. Operadores lineares e contínuos. Operadores compactos em espaços de Banach. Teorema espectral para operadores compactos auto-adjuntos em espaços de Hilbert. Topologia fraca e topologia fraca-estrela. O teorema de Banach-Alaoglu.
Bibliografia: 
1. J. B. Conway, A Course in Functional Analysis, Springer.
2. C. S. Honig, Análise Funcional e Aplicações, IME-USP.
3. E. Kreyszig, Introductory Functional Analysis with Applications, John Wiley.
4. A. Taylor, Introduction to Functional Analysis, John Wiley.
5. H. Brezis, Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations, Universitext, Springer, New York, 2011.
6. G. Bachman, L. Narici, Functional analysis, Dover Publications, Inc.,
6. G. Bachman, L. Narici, Functional analysis, Dover Publications, Inc.,
6. G. Bachman, L. Narici, Functional analysis, Dover Publications, Inc.,
6. G. Bachman, L. Narici, Functional analysis, Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 2000.
equations, Universitext, Springer, New York, 2011.
 
MM 433 - Equações Diferenciais Parciais I
Ementa: Equações de Transporte, equações de Laplace,de onda e do calor. Teorema de Cauchy-Kovalesvkaya. Transformada de Fourier, Distribuições Temperadas. Espaços de Sobolev Hs (Rn) e aplicações.
Bibliografia:
(1) L. Evans, Partial Differential Equations.
(2) R.Iório, V.Iório, Equações Diferenciais Parciais: uma introdução.
 
MM 692 - Análise Real II
Ementa: Medidas com sinal e medidas complexas. Decomposição e diferenciação de medidas. Medidas de
Radon: propriedades de representação, regularidade e aproximação. Produto de medidas de Radon. Espaço de Schwartz. Convolução: propriedades e desigualdades básicas; teoremas de aproximação. Tranformada de Fourier: propriedades básicas; teorema de Plancherel; desigualdade de Hausdorff-Young; teorema de inversão. Analise de Fourier de Medidas. Elementos da teoria de distribuições: topologia e noções de convergencia; operações com distribuições; convolução e resultados de aproximação; distribuições temperadas, periódicas e de suporte compacto; transformada de Fourier de distribuições. Tópicos em teoria de probabilidade: conceitos básicos; lei dos grandes números; teorema do limite central. Noções sobre grupos topológicos e medida de Haar. Noções sobre medida de Hausdorff.
Bibliografia:
1. G. B. Folland, Real Analysis, Modern Techniques and Their Applications, John Wiley,
1999 (segunda edição).
 
 
:.Geometria/Topologia
MM 423 - Geometria Riemanniana
Ementa: Variedades diferenciáveis e campos de vetores. Métrica Riemanniana. Funcional energia. Geodésicas. Teorema de Hopf/ Rinow. Conexão Riemanniana. Curvaturas. Geometria das subvariedades. Equações fundamentais de immersões isométricas. Variações da energia. Teorema de Bonnet-Myers. Campos de Jacobi. Lema de Gauss. Teorema do Índice. Teorema de Comparação de Rauch. Espaços de Curvatura constante: Teorema de Cartan sobre a determinação da métrica e formas espaciais. Espaços de Curvatura não positiva: Teorema de Preissman.
Bibliografia:
1. M. Berger. A panoramic view of Riemannian geometry. Springer-Verlag, Berlin, 2003.
2. M.P. do Carmo. Geometria Riemanniana. Projeto Euclydes, IMPA, 1979.
3. S. Gallot, D. Hulin, J. Lafontaine. Riemannian geometry. Universitext. Springer-Verlag.
 
 
MM 447 - Introdução à Topologia Algébrica
Ementa: CW complexos. O Funtor Pi-1 e o teorema de van Kampen. Recobrimentos e aplicações.   Exemplos: As variedades fechadas 2-dimensionais. Os funtores Pi_n. Grupos de homotopia relativos. Teorema de suspensão de Freudenthal. Versão homotópica do teorema de Whitehead. 
Grupos estáveis de homotopia. Fibrações, pullbacks e sequências de homotopia longas exatas.
Exemplos: H-espaços e grupos compactos. Os funtores H_n. Relação entre Pi_1 e H_1. 
Homologias simplicial, singular e de CW complexos. Sequência de Mayer – Vietoris. 
Axiomatizaçao da teoria de homologia. Grupos de cohomologia. Produtos cup e cap e anel de cohomologia. Fórmulas de Künneth. Espaços com cohomologia polinomial. Dualidade de Poincaré. Teorema de coeficientes universais. Exemplos: Variedades de Stiefel e Grassmann. 
Bibliografia: 
1. A.  Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge Univ. Press, 551 páginas, 2002 (disponível on line).
2. J. P. May, A Conscise Course in Algebraic Topology, Univ. Of  Chicago Press, 1999.
3. G. Bredon Topology and Geometry, Springer – Verlag, GTM 139, 1993.
4. M. Greenberg and J. Harper, Algebraic Topology, a First Course, Addison – Wesley, 1981.
5. E. Spanier, Algebraic Topology, McGraw – Hill, 1966 (reprinted by Springer-Werlag).
 
MM 448 - Grupos de Lie
Ementa: Grupos Topológicos. Grupos de Lie, definição e exemplos. Álgebra de Lie de um grupo de Lie. 
Aplicação exponencial e representações adjuntas. Introdução à teoria das álgebras de Lie.  Subgrupos de Lie. Subgrupos de Lie conexos e subálgebras de Lie. Teorema de Cartan do subgrupo fechado. Teorema de Yamabe dos subgrupos conexos por caminhos. Diferencial da aplicação exponencial. Grupos localmente e globalmente isomorfos. Grupos simplesmente conexos. Grupos de automorfismos e produtos semi-diretos. Séries derivada e central descendente. Grupos  nilpotentes e grupos solúveis simplesmente conexos. Grupos compactos, teorema de Weyl do grupo fundamental finito. Espaços quocientes e ações de grupos. Medida de Haar e integração.
Bibliografia:
1.  L. San Martin, Álgebras de Lie, Editora UNICAMP, 1999
2.  L. San Martin, Grupos de Lie, Editora da Unicamp.
3.  A. W. Knapp, Lie Groups beyond an Introduction, Birkhauser, 2004.