Exames de Qualificação

 

Programas das disciplinas pertencentes ao exame de qualificação

Mestrado

Álgebra
MM 719 - Álgebra Linear

Ementa: Matrizes e determinantes. Forma de Jordan. Formas canônicas. Funções multilineares. Produto tensorial e extensão de escalares. Álgebra tensorial, simétrica, de Grassmann e de Clifford. Grupos clássicos: ortogonal, unitário e simplético.
Bibliografia:
(1) A. Kostrikin, Yu.Manin, Linear algebra and geometry, Gordon and Breach, 1989.
(2) D.G. Northcott. Multilinear Algebra, Cambridge Univ. Press, 1964.
(3) H. Ikramov, Linear Algebra.Problem book, Mir, 1983.

Análise
MM 720 - Análise no Rn

Ementa: Cálculo de várias variáveis: Aplicações diferenciáveis, Diferencial e Matriz jacobiana, Desigualdade do valor médio, Regra da Cadeia, Derivadas de ordem superior, Fórmula de Taylor, Teorema da função inversa e implícita, Forma local das imersões e submersões e o teorema do posto. Subvariedades de Rn  Valores e pontos regulares, espaço tangente, parametrizações locais. Integração, integrais de linha e de superfícies, Formas diferenciais e integração sobre variedades, Teorema de Stokes (Green e Gauss).
Bibliografia:
(1)James R. Munkres's Analysis on Manifolds.
(2)Lima,Elon L.. Análise no Espaço Rn, Edgar Blücher.
(3)M.Spivak. Calculus on Manifolds.
(4) S. Lang. Analysis I.

Geometria/Topologia

MM 453 - Topologia Geral

Ementa:Espaços métricos. Espaços Topológicos. Funções Contínuas. Espaço produto e espaço quociente. Convergência de redes e filtros. Espaços de Hausdorff, regulares e normais. Compacidade e conexidade. Homotopia, grupo fundamental e espaços de recobrimento.
Bibliografia:
(1) G.F. Simons. Introduction to Topology and Modern Analysis. McGraw-Hill, 1963.
(2) I.M. Singer; J.A. Thorpe. Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry. Springer, 1967.
(3) M.A. Armstrong, Basic Topology, Springer, 1983.
(4) J.Dugundji, Topology, Allyn and Bacon, 1966.
(5) J.Kelley, General Topology, Van Nostrand, 1955.
(6) S.Willard, General Topology, Dever, 2004.

 

Doutorado

Álgebra
MM 427 - Álgebra Comutativa

Ementa: Módulos, produto tensorial e módulos de frações. Módulos livres e projetivos. Anéis Noetherianos. Dependência integral. Teorema de Zeros de Hilbert. Teorema de Normalização de Noether. Teorema do ideal principal de Krull. Teoria da Dimensão.
Bibliografia:
(1) M.F. Atiyah. Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley, 1969.
(2) B. MacDonald, Linear algebra over commutative rings, Marcel Dekker, 1984

 

MM439 - Álgebras de Lie
Ementa: Definições, exemplos e construções básicas: álgebras de Lie, subálgebras, ideais, homomorfismos, representações, subrepresentações, homomorfismo de representações, representação adjunta, derivações, produto semidireto de álgebras, produto tensorial de representações. Álgebra universal envelopante, teorema de Poicare-Birkhof-Witt, álgebras de Lie livres e bases de Hall. Álgebras de Lie dadas por geradores e relações, representações livres, representações dadas por geradores e relações (definições e exemplos simples). Álgebras solúveis e nilpotente, séries derivada e central, teorema de Engel, teorema de Lie, radicais solúveis e nilpotentes, critério de Cartan para solubilidade, forma de Cartan-Killing e critério para semi-simplicidade. Teorema de Weyl sobre redutibilidade completa de representações de álgebras semi-simples, teorema da decomposição de Levi. Classificação das representações de dimensão finita de sl(2), subálgebras de Cartan e subálgebras torais maximais, teoremas de conjugação, decomposição de álgebras semi-simples em espaços de raízes, sistemas de raízes, grupo de Weyl, sequências de raízes, bases de sistemas de raízes, matrizes de Cartan, diagramas de Dynkin, classificação de sistemas de raízes, teorema de Serre e classificação das álgebras de Lie simples, subálgebras de Borel. Representações de dimensão finita de álgebras semi-simples, pesos, pesos integrais e dominantes, representações de peso máximo, classificação das representações irredutíveis, geradores e relações para as representações irredutíveis, breve introdução a teoria de caracteres (definição e invariância pela ação do grupo de Weyl)..
Bibliografia:
J. E. Humphreys, Introduction to Lie algebras and representation theory, Springer, 1972 L. A. B. San Martin, Álgebras de Lie, 2a edição, Editora da Unicamp, 2010 Yu. A. Bahturin, Identical relations in Lie algebras, VNU Science Press, Utrecht, 1987 W. Fulton and J. Harris, Representation theory: a first course, Springer, 1991.

 

MM 444 - Álgebra não Comutativa
Ementa: Módulos, anéis, álgebras (sobre um corpo). Radical de Jacobson. Anéis semi-simples. Densidade e aplicações. Teorema de Wedderburn e Artin. Anéis Noetherianos e Artinianos. Módulos injetivos e projetivos. Álgebras de dimensão finita. Álgebras simples, teorema de Scolem e Noether. Anéis primos e semi-primos, radical de Baer . Módulos e álgebras livres, propriedades genéricas. Álgebras nil e nilpotentes, problemas de tipo Burnside.
Bibliografia:
(1) Y.Drozd, V. Kirichenko, Finite-dimensional algebras, Springer, 1994.
(2) I. Herstein, Noncommutative rings, Carus Math. Monographs 15, MAA, 1968.
(3) J. Lambek, Lectures on rings and modules, Chelsea, 1976.
(4) R. Pierce, Associative algebras, Springer GTM 88, 1982.
 

Análise
MM 425 - Análise Funcional I
Ementa: Espaços de Banach. Espaços de Hilbert e sua geometria. Operadores lineares e contínuos. O teorema de Baire e suas consequências. O teorema de Hahn-Banach e suas consequências. Dualidade. Topologias fraca e fraca * e caracterização de reflexividade. Operadores compactos e teoria de Riesz-Schauder.
Bibliografia:
(1) H.Brézis. Analyse Fonctionnele. Masson, 1987.
(2) J.Conway. A Course in Functional Analysis, Springer, 1985.
(3) C.S. Honig. Análise Funcional e Aplicações, USP, 1985.

MM 433 - Equações Diferenciais Parciais I
Ementa: Equações de Transporte, equações de Laplace,de onda e do calor. Teorema de Cauchy-Kovalesvkaya. Transformada de Fourier, Distribuições Temperadas. Espaços de Sobolev Hs (Rn) e aplicações.
Bibliografia:
(1) L. Evans, Partial Differential Equations.
(2) R.Iório, V.Iório, Equações Diferenciais Parciais: uma introdução.

MM 692 - Análise Real II
Ementa:Decomposição e diferenciação de medidas. Medidas de Radon. Tópicos em Análise de Fourier. Tópicos em teoria de probabilidade. Noções sobre grupos topológicos e medidas de Haar. Noções sobre medidas de Hausdorff.
Bibliografia:
(1) G.B.Folland. Real Analysis. John Wiley, 1984.
 

Geometria/Topologia

MM 423 - Geometria Riemanniana
Ementa: Variedades diferenciáveis e campos de vetores. Geometria das superfícies em R3 e em Rn. Conexão riemanniana. Completabilidade. Primeira e Segunda formas fundamentais. Teorema do índice.
Bibliografia:
(1) M.P. do Carmo. Geometria Riemanniana. Projeto Euclydes, IMPA, 1979.
(2) N. Hicks. Notes on Differential Geometry. D. van Nostrand, 1965.
 

MM 447 - Introdução à Topologia Algébrica
Ementa: Grupos de homotopia. Fibrações, sequência exata de homotopia de fibração. Homologia singular, simplicial e de CW-Complexos. Cohomologia; dualidade de Poincaré; Teorema de coeficientes universais. Teorema de Hurewicz. Teorema de Whitehead.
Bibliografia:
(1)G. Bredon, Geometry and Topology.

MM 448 - Grupos de Lie
Ementa: Grupos Topológicos. Grupos de Lie, definição e exemplos. Álgebra de Lie de um grupo de Lie. Aplicação exponencial e representações adjuntas. Estrutura complexa e grupos de Lie complexos. Espaços homogêneos complexos. Introdução à teoria das álgebras de Lie. Forma de Cartan-Killing. Subgrupos e subálgebras de Lie. Teorema de Cartan do subgrupo fechado. Teorema de Yanlabe dos subgrupos conexos. Grupos localmente e globalmente isomorfos.Grupos simplesmente conexos. Diferencial da aplicação exponencial. Espaços quocientes e ações de grupos. Medida de Haar e integração. Grupos nilpotentes e grupos solúveis simplesmente conexos. Grupos compactos, toros maximais e sistemas de raízes.
Bibliografia:
(1)  L. San Martin, Álgebras de Lie, Editora UNICAMP, 1999
(2) L. San Martin, Notas de Grupos de Lie
(3) A. W. Knapp, Lie Groups beyond an Introduction, Birkhauser, 2004.