Sobre noções distintas de posto para tensores e implicações práticas envolvendo problemas de completamento

Aluno: João Luiz Santos Gomes

Na era do Big Data, existem diversas maneiras de lidar e organizar os dados. As formas maiscomuns de trabalho s ̃ao feitas com base na ́área de álgebra matricial. Para esta, d ́ecadas de desenvolvimento matem ́atico e algorítmico se passaram para que atingíssemos resultados significativos através da Decomposição em Valores Singulares (SVD) e a Análise de Componentes Principais
(PCA). Em cima disto, refinamentos foram feitos e resultados mais profundos foram obtidos de
maneira que diversas áreas como processamento de imagens, astrofísica, biomedicina, análise de
sinais, redes neurais e entre outros se beneficiam da teoria profunda de matrizes e vetores.
A medida que estruturas de dados tornaram-se cada vez maiores e complexas, graus de liberdade `
maiores tornaram-se necessários, isto ́e, a análise com apenas duas dimensões se tornou um fator limitante. Para lidar com estes problemas, o estudo de objetos multidimensionais chamados tensores se tornou necessário.

O ramo da álgebra multilinear ou tensorial jé é bem conhecido entre os matemáticos e físicos. Nestes casos, o objetivo ́e compreender como as grandezas físicas s ̃ao modificadas através de mudanças de base, onde os tensores representam transformações multilineares entre espaços vetoriais. Em espaços de dimensão finita, estas transformações podem ser escritas através de um array-multidimensional.