Aluno: Lucas Ferreira Moura Oliveira
O projeto de Iniciação Científica enquadra-se na área de Análise Numérica e estuda a resolução
numérica de leis de conservação e de balanço unidimensionais de natureza hiperbólica a partir da
implementação de métodos de Elementos Finitos do tipo Galerkin Descontínuo e de esquemas de
Volumes Finitos Centrais de Alta Ordem.
Sejam Ω ∈ R e I = (t0, T), respectivamente, o domínio espacial do problema a ser analisado e o
intervalo de tempo considerado, com 0 < t < T. Uma lei de conserva ̧c ̃ao hiperbólica consiste em um
sistema de equações diferenciais parciais que pode ser escrito na seguinte forma, denominada forma
forte: ut + f(u)x = 0, sendo x ∈ Ω a variável espacial, t ∈ I a variável temporal, u : Ω × I → R
m
o vetor de m variáveis conservadas a serem calculadas e f : R
m → R
m a função de fluxo físico
tal que a matriz Jacobiana, f(u) ́e diagonalizável e possui apenas autovalores reais [1]. Diversos
processos presentes na natureza podem ser modelados matematicamente por equações diferenciais.
Sistemas de equações diferenciais parciais hiperbólicas, em particular, podem ser encontrados no
estudo de Dinâmica de Gases, Acústica, Dinâmica de Fluidos, entre outros [2]. Contudo, soluções
analíticas raramente podem ser encontradas para problemas de interesse prático, logo a resolução
numérica das leis de conservação hiperbólicas torna-se uma ferramenta útil para a compreensão de
variados problemas cujos comportamentos são descritos por esse tipo de lei. Dentre tais problemas,
podemos destacar o escoamento de fluidos em canais como, por exemplo, na simula ̧c ̃ao de rios, do
rompimento de barragens e do transporte de poluentes. As equações de Águas Rasas, em especial, ́
são um modelo físico amplamente usado para modelar o fluxo de água no caso de canais abertos [1]
e também configuram-se objeto de estudo deste trabalho.
Quanto aos métodos numéricos utilizados, a parte computacional do projeto consiste na implementação de Esquemas de Volumes Finitos Centrais e de métodos de Elementos Finitos do tipo
Galerkin Descontínuo para encontrar soluções aproximadas para os problemas. A estratégia de resolução nos métodos mencionados envolve a discretização do domínio espacial Ω em subintervalos, as células, e o cálculo de soluções numéricas em cada célula. Esquemas de Volumes Finitos fundamentam-se em uma variação da equação na forma forte chamada forma integral ou fraca, obtida ao se integrar a equação original em uma célula arbitrária Cj da malha. Métodos de Galerkin
Descontínuo, por sua vez, combinam características de métodos de Elementos Finitos e de Volumes
Finitos e constituem outro recurso útil para resolver problemas com soluções descontínuas.