complexos, quatérnios, aplicações geométricas

Parte 3: aplicações às isometrias do espaço tridimensional e à geometria da esfera

No tópico anterior representamos os quatérnios da forma q = a + A, a soma de um escalar a ∈ IR, com um vetor do espaço tridimensional usual, A = a₁i + a₂j + a₃k . Então seu conjugado é q = a - A e sua norma |q| = √q q*, portanto |q|² = a² + ||A||². O produto entre quatérnios nesta representação é dado por

q r = (a+A) (b+B) = {a b - (A•B)} + {aB + bA + A x B} ( £ )

e portanto redutível a produtos da álgebra vetorial tridimensional que hoje empregamos.

A forma polar de um quatérnio é dada por q = a + A = a + ||A|| n = |q| (cosθ + n senθ), isto é, q = |q| U(n , θ), com U(n , θ) = cosθ + n senθ. O produto dos módulos de dois quatérnios é o módulo do produto e portanto o produto de dois quatérnios na forma polar é dado por

q r = (|q| U(n , θ)) (|r| U(m , φ)) = (|q| |r|) U(p , ψ), com U(p , ψ) = U(n , θ) U(m , φ)
isto é, (cosψ + psenψ) = (cosθ + nsenθ) (cosφ+msenφ) (££).

Iremos mostrar como efetuar rotações e reflexões no espaço tridimensional com os quatérnios. Os quatérnios puramente vetoriais, da forma 0 + A, são identificados com o espaço tridimensional usual.

Começamos por estudar a ação do quatérnio unitário e puramente vetorial k = 0 + k, através do produto quaterniônico, no subespaço bidimensional dos quatérnios puramente vetoriais ortogonais a k, isto é, o velho plano xy, formado por quatérnios da forma v = a i + b j .

Pelas regras de multiplicação entre as unidades quaterniônicas, ao multiplicarmos por k à esquerda de v, obtemos k v = k (a i + b j) = - b i + a j , se multiplicamos por k à direita de v temos v k = (a i + b j) k = b i - a j , ora isto nos lembra certos piratas.

O produtos de k pela esquerda e pela direita são operações algébricas correspondentes, respectivamente, às rotações de 90° no sentido anti-horário e horário com relação a k, duas operações opostas. O produto de k pela esquerda e o produto de (- k) pela esquerda também são operações opostas, dado que (k) (- k) = - k² = 1, desta forma a multiplicação de v = a i + b j por k à direita ou por (- k) à esquerda correspondem à mesma operação algébrica, a rotação de 90° no sentido horário. Analogamente, a multiplicação de v = a i + b j por k à esquerda ou por (- k) a direita também resultam no mesmo, uma rotação de 90° no sentido anti-horário.

Ora, quem faz uma rotação de 90° num plano bidimensional, faz qualquer rotação naquele plano,

e fazendo uma soma ponderada dos vetores ortogonais v e kv com pesos cosα e senα respectivamente, obtemos um vetor v' do plano xy que corresponde à rotação de v por um ângulo α no sentido anti-horário.

Escrevemos então para o vetor rodado, v' = v cosα + k v senα = (cosα + k senα) v = U(k , α) v. Notamos que o produto à esquerda pelo quatérnio unitário U(k , α) = cosα + k senα preserva o subespaço bidimensional dos quatérnios puramente vetoriais ortogonais a k, i.e., o plano xy.

Vejamos alguns exemplos de rotações contínuas, α = ω t , em torno do eixo z, i.e., no plano xy, que usualmente identificamos com o plano horizontal.

Bom, que niguém venha dizer que rotações não são eventos comuns ou que não servem para nada.

O produto à esquerda pelo quatérnio unitário U(k , α) = cosα + k senα transforma um vetor da forma v = a i + b j em um vetor da forma v' = a' i + b' j , correspondente à rotação de v por um ângulo α no sentido anti-horário com respeito o vetor k. Notamos também que se houvéssemos multiplicado v por U(k , α) à direita teríamos causado o efeito oposto, dado que k i = - i k , k j = - j k .

'Mutatis mutandis', o produto à esquerda por U(i , α) roda os vetores do plano yz, da forma a j + b k , por um um ângulo α no sentido anti-horário com relação ao vetor i, tendo o efeito oposto que o produto à direita por U(i , α) . Também o produto à esquerda por U(j , α) roda os vetores do plano zx, da forma a k + b i , por um ângulo α no sentido anti-horário com relação a j, tendo o efeito oposto que o produto à direita por U(j , α) .

Ademais afirmamos que o produto quaterniônico por U(n , α) à esquerda preserva o subespaço bidimensional dos quatérnios puramente vetoriais ortogonais a n. Estes são escritos da forma v = a = a l + b m , sendo {l , m , n} uma base ortonormal positivamente orientada no espaço tridimensional usual. O produto leva v em U(n , α) v = v' = a' l + b' m , correspondente a uma rotação anti-horária de um ângulo α em torno da direção e sentido definidos por n. Ademais, o produto por U(n , α) à esquerda tem efeito oposto do que o produto U(n , α) à direita de v.

A prova desta afirmação pode ser feita lembrando que, como comentamos no tópico anterior, na base ortonormal e positivamente orientada {l , m , n} valem as mesmas regras de produto escalar, vetorial e quaterniônico do que na base {i , j , k} . Assim sendo o produto por n à esquerda de v = a l + b m resulta em v' = n (a l + b m) = b l - a m , correspondendo a uma rotação de 90° no sentido anti-horário com a relação à direção n. Ademais (a l + b m) n = b l - a m e o produto à direita causa efeito oposto.

Por conseqüência, o produto à esquerda por U(n , θ) = cosθ + n senθ , efetua uma rotação de v = a l + b m por um ângulo θ no sentido anti-horário com relação à direção n.

Lembramos que para quatérnios puramente vetoriais vale a expressão

(0 + A) (0 + B) = - (A • B) + (A x B) ($)

e se o vetor v é um quatérnio puramente vetorial ortogonal ao quatérnio unitário puramente vetorial n, temos que n v = (0 + n) (0 + v) = - n • v + n x v = n x v , o produto quaterniônico entre vetores puramente vetoriais ortogonais coincide com o produto vetorial usual. O resultado do produto vetorial é ortogonal ao plano dos vetores envolvidos no produto, quanto ao seu sentido várias regras são empregadas, da mão direita, mão esquerda etc... preferimos a nossa regra do boneco sentado, C = D x E , cabeça = direita x esquerda , isto é, fazendo o produto de vetor no sentido da perna direita por outro na direção da esquerda, o resultado sai no sentido da cabeça do boneco ...e pela regra do boneco sentado, vemos que o produto quaterniônico por n à esquerda corresponde, no subespaço dos quatérnios puramente vetoriais ortogonais a n, a rotações de 90° no sentido anti-horário com relação ao vetor normal unitário n .

Lembramos que pela regra do boneco sentado, quando o primeiro vetor sai pela perna direita e o segundo sai pela esquerda, a cabeça do boneco aponta a direção do produto vetorial dos dois. Ademais o módulo de n x v e o módulo de v coincidem, pois escolhemos ||n|| = 1 e o ângulo entre n e v é 90°.

O produto quaterniônico (ou vetorial) de n à esquerda pelos vetores pertencentes ao plano ortogonal a n tem um efeito idêntico ao produto quaterniônico (ou vetorial) de k à esquerda pelos vetores da forma a i + b j , paralelos ao plano xy. Também tem efeito semelhante ao produto, lá na história dos piratas, do i pelos números complexos, ou quatérnios da forma a + i b . Entretanto no caso dos piratas, o produto tem o mesmo efeito seja efetuado pela esquerda ou pela direita, enquanto que os outros dois têm efeito diferente, de fato efeito oposto, quando efetuados pela direita. Agora o efeito dos produtos do vetor normal pela esquerda e direita em vetores do plano ortogonal a ele são opostos.

Temos v n = (0 + v) (0 + n) = v • n + v x n = v x n e a regra do boneco sentado também nos mostra que o produto quaterniônico (ou vetorial) por n à direita gira os vetores ortogonais a n de 90° no sentido horário,

...isto vemos bem pela regra do boneco sentado.

Esta diferença entre a ação pelo produto à direita e à esquerda por um quatérnio fixo será essencial no estudo das rotações tridimensionais de quatérnios puramente vetoriais. Notem que não temos ainda uma expressão geral, quem estava achando que já tínhamos como fazer qualquer rotação e que para tanto bastava apenas o produto vetorial, não está completamente enganando, mas

primeiro notamos que, calma com o andor, efetuar rotações de vetores ortogonais a uma direção é diferente de efetuar rotações de vetores em geral com relação à tal direção,
Podemos escrever, com o produto quaterniônico, uma expressão para a rotação espacial de qualquer vetor com relação ao vetor unitário n, ei-la:

v' = R(n , θ) v = U(n , θ/2) v U(n , -θ/2)
ou v' = q v q*, com q = U(n , θ/2) (£££).

Para ver que a expressão funciona, escrevemos que v = v_P + v_N , sendo v_P = (v • n) n a componente de v paralela à direção de n e v_N = v - v_P a componente normal, temos então que:

v' = U(n , θ/2) (v_P + v_N) U(n,-θ/2) =
= {sen(θ/2) + n sen(θ/2} (v_P + v_N) {sen(θ/2) - n sen(θ/2)} =
= {sen(θ/2) + n sen(θ/2)} {sen(θ/2) - n sen(θ/2)} v_P
+ {sen(θ/2) + n sen(θ/2)} {sen(θ/2) + n sen(θ/2)} v_N
= v_P + {senθ + n senθ} v _N

∴ v' = v_P + U(n , θ) v_N

...onde empregamos a distributividade e a associatividade do produto quaterniônico,

também empregamos, por conseqüência de ($), que quatérnios puramente vetoriais comutam se paralelos e anticomutam se ortogonais.

Do resultado vemos que, enquanto a componente paralela é preservada, a compontente ortogonal gira de um ângulo θ no sentido anti-horário com relação ao vetor.

Por esta expressão, se efetuamos uma rotação de 180° do vetor v = k no sentido horário em torno do vetor (i + k) / √2 , tal rotação fica associada ao quatérnio unitário q = U( (i + k) / √2 , -90°) = -(i + k) / √2 e obtemos então v' = {-(i + k) / √2} k {(i + k) / √2} = i (verifique também que se v = i , v' = k , como esperado!

Da prova da fórmula mais acima, v' = v_P + U(n , θ) v_N = v_P + (cosθ + n senθ) v_N = v_P + cosθ v_N + senθ n v_N . É interessante fazer algumas manipulações, nota-se que n v_N = n x v_N = n x (v - v_P) = n x v (i). Este produto é uma rotação de v_N por 90° do vetor no sentido anti-horário. Multiplicando-o à direita por n desfazemos esta rotação, isto é v_N = (n v_N) n =(n x v) x n (ii). Das igualdades (i) e (ii) temos uma expressão para a rotação de um vetor genérico escrita em termos dos produtos usuais da álgebra vetorial tridimensional.

v' = (v • n) n + senθ (n x v) + cosθ ((n x v) x n) ($$) ,

expressão que pode ser reduzida a três expressões lineares dando as componentes de v' = x' i + y' i + z' k em termos das componentes de v = x i + y j + z k . Façamos isto com o mathematica,

Bom, temos a matriz de uma rotação anti-horária de um ângulo genérico φ com relação ao vetor unitário genérico n ...então para que os quatérnios? De fato a fórmula para se fazer uma rotação dada pode ser escrita apenas com o emprego dos produtos escalar e vetorial, desta forma a associatividade não seria evidente, mas na forma matricial sim.

Veremos entretanto que a expressão (£££) é muito boa para manipulações simples, ademais historicamente foi descoberta em tempos que espaços vetoriais, matrizes e transformações lineares ainda não tinham sido inventados. Ademais, disto não trataremos aqui, o enfoque quaterniônico das rotações dá muito menos problemas para o controle numérico de máquinas ...isto por que a expressão matricial é muito crítica para certos valores de φ e n, de forma que a expressão com quatérnios é muito empregada em robótica, alinhamentos rotacionais e em outras aplicações nos dias de hoje.

Uma grande vantagem da expressão (£££) aparece quando a associatividade do produto quaterniônico e particularidades da expressão para analisar rotações sucessivas. Imaginemos que giramos o vetor v de um ângulo θ no sentido anti-horário com relação a n, depois de um ângulo φ no sentido anti-horário com relação a m. Então definimos os quatérnios unitários q = U(n , θ/2) e r = U(m , φ/2) ...então aplicamos (£££) duas vezes para obter...

v = r ( q (v) q* ) r* = (r q) v (r q)*

... onde empregamos a associatividade do produto quaterniônico e o fato de que a conjugação dá cambalhota neste produto.

Como o produto de quatérnios unitários é outro quatérnio unitário, se escrevemos r q = cosψ/2 + p senψ/2 , onde p é outro vetor unitário do IR³ e ψ/2 o ângulo azimutal do quatérnio unitário r q = U(n , ψ/2) obtido no produto. Vemos que as duas rotações consecutivas que havíamos aplicado ao vetor v equivalem à rotação por um ângulo ψ no sentido anti-horário com relação ao vetor p.
A rotação resultante relaciona-se com as duas rotações sucessivas através da fórmula

U(p , ψ/2) = r q = U(m , φ/2) U(n , θ/2)
ou (cos(ψ/2) + p sen(ψ/2)) = (cos(φ/2) + m sen(φ/2)) (cos(θ/2) + n sen(θ/2)) (££) .

Isto é, a rotação associada ao quatérnio unitário q = U(n , θ/2) seguida da rotação associada ao quatérnio unitário r = U(m , φ/2) resulta em uma única rotação associada ao quatérnio unitário r q = U(p , ψ/2) obtido como o produto do quatérnio associado à segunda pelo quatérnio associado à primeira.

Ou seja, (£££) não é apenas uma expressão que permite fazer rotações tal qual ($$), mas (£££) é uma expressão que implica em uma regra de composição simples para as rotações espaciais. Por causa desta expressão associamos sempre uma rotação de um ângulo θ no sentido anti-horário com relação ao vetor n a um quatérnio unitário U(n ,θ/2).
Se então temos uma sucessão de rotações associadas aos quatérnios unitários q₁ , q₂ ,..., q_n, nesta ordem, estas rotações correspondem a uma única rotação efetuada pelo quatérnio unitário q, obtido pelo produto dos quatérnios unitários na ordem oposta à das rotações efetuadas, q = (q_n) ... (q₂)(q₁). É importante notar que a associação entre rotações e quatérnios unitários não se dá em relação de um a um, mas de um para dois. Aos quatérnios q e -q, corresponde uma mesma rotação, dada a forma quadrática da ação v → q v q*.
A álgebra dos quatérnios foi a primeira ferramenta eficaz aplicada no estudo da composição de rotações espaciais. Naquele tempo, já havíamos dito, ainda não tinham sido inventadas as matrizes, o povo ainda amarrava cachorro com lingüiça etc... a descoberta de Hamilton foi revolucionária (no sentido positivo). Vejamos algumas aplicações.

Um resultado cotidiano conhecido é que se efetuamos três meias-voltas com um certo objeto em torno de três direções ortogonais, ele volta à posição original. Com quatérnios, rotações de 180° com relação aos eixos x, y e z são descritas respectivamente pelos quatérnios unitários
q₁ = cos90° + i sen90° = i,
q₂ = cos90° + j sen90° = j,
q₃ = cos90° + k sen90° = k

e vemos que o resultado independe da ordem, multiplicando i , j e k em qualquer ordem obtemos ±1 = ± U(n,180°), quatérnios unitários que correspondem à rotação de 360°. O mesmo vale para qualquer base ortonormal {l , m , n}, implicando no resultado cotidiano.

Caso particular deste resultado é que a sucessão de rotações de 180° em torno das direções (j + k) / √2 e (-j + k) / √2 corresponde a uma rotação única de 180° em torno do eixo x. Verificando diretamente...

q₁ = cos90° + ((j + k) / √2) sen90° = (j + k) / √2 ,
q₂ = cos90° + ((-j + k) / √2) sen90° = (-j + k) / √2 ,
q = q₂ q₁ = ((-j + k) / √2) ((j + k) / √2)
= -i = cos90° - i sen90° = U(i , - (180°/2)).

Outro resultado interessante é que rotações anti-horárias sucessivas de φ, 90° e φ, em torno dos eixos x, y e z, correspondem a uma única rotação anti-horária de 90° em torno do eixo y, de fato,

e o quatérnio unitário U(j , 45°) = U(j , (90°/2)) corresponde a uma rotação de 90° em torno do eixo y. O comando Needs é por eu ter aproveitado uma conta feita no mathematica 4, nas versões contemporâneas o pacote dos quatérnios já está carregado.

No espaço tridimensional, quem faz rotações e também pode multiplicar por -1, faz reflexões com respeito a qualquer plano.

Se pretendemos refletir um vetor v com relação a um plano que tem vetor normal unitário n, primeiro rodamos v por um ângulo de 180° com relação ao vetor n, depois multiplicamos o resultado da rotação pelo escalar (-1), temos que:

v' = S(n) v =
(-1) R(n , 180) v =
(-1) U(n , 90) (v) U(n , -90) =
(-1) (0 + n) v (0 - n),

∴ v' = S(n) v = n (v) n

é a expressão através de produto quaterniônico para a reflexão de v com relação ao plano ortogonal ao vetor unitário n.

Um dos resultados que tiramos facilmente desta expressão é que a composta de duas reflexões dá uma rotação pelo dobro do ângulo entre dois vetores unitários escolhidos ortogonais aos planos refletores, no sentido anti-horário com relação ao produto vetorial destes vetores, na ordem das reflexões efetuadas, de fato,

S(m) S(n) v = m (n v n) m = (m n) v (n m) =
= {-m • n + m x n} v {- n • m + n x m} =
{n • m + n x m} v {n • m - n x m} =
{cosφ + l senφ} v {cosφ - l senφ} =
U(l , φ) v U(l ,- φ) = R(l , 2φ) v .

onde l é um vetor unitário com a mesma direção e sentido do produto vetorial m x n, isto é m x n = l senφ , onde φ é o (menor) ângulo entre m e n, determinado no intervalo entre 0 e 180° pela expressão n • n = cosφ.

É interessante observar o seguinte nexo causal, o fato de que duas reflexões correspondem a uma única rotação implica que uma base positivamente orientada {i , j , k} pode ser levada em outra, {i' , j' , k'} com uma única rotação. Para tanto, basta levar i em i' por uma reflexão que levará j em j*, e notar que uma segunda reflexão, levando j* em j', mantém i' fixo. Se hoje este resultado poderia ser obtido por outros métodos, na época da invenção dos quatérnios isto não era tão simples e dava sustentação lógica ao teorema de Euler para corpos rígidos, que afirma que dadas duas posições de um corpo rígido com ponto fixo, uma posição é levada na outra por uma única rotação (1776).

Os quatérnios, dada a expressão (£££), nos fornecem um tratamento algébrico das rotações e reflexões espaciais em conjunto. As rotações estão naturalmente associadas à geometria da esfera bidimensional usual. Tal qual sobre a Terra, os caminhos mais curtos sobre a esfera se dão pelas chamadas circunferências maiores ou meridianos.

Notem para duas acepções diferentes para a palavra meridiano, quando falamos meridiano em geral como acima, queremos dizer circunferência maior, isto é uma circunferência de raio máximo sobre a esfera, que corresponde com a intersecção da esfera com um plano que passa pelo seu centro. Neste sentido o equador da esfera é o único paralelo que pode ser chamado de meridiano e o meridiano de Greenwich é metade de um meridiano (pois diferenciamos longitude zero da sua antípoda, que é a longitude 180°).

Por terem raio máximo, os meridianos são as circunferências menos curvas sobre a superfície da terra, por serem menos curvas são as que mais se aproximam da linha reta. Pode-se mostrar que o caminho mais curto entre dois pontos da superfície do planeta, chamado de geodésica entre estes pontos, se dá ao longo de uma circunferência maior. No caso terrestre um meridiano completo, pela definição histórica de metro, tem 40.000 km, temos que andar aproximadamente 10.000km para vir do pólo norte ao equador pelo meridiano de Greenwich. Para dar uma volta completa na terra ao longo de um meridiano em 80 dias, devemos andar 500km por dia. O raio de um meridiano coincide com o da terra, aproximadamente (½ π) 40.000km = 6.367km .

Antes da Revolução Francesa, abundavam reis, e com seus pés, braços e polegares se definiam-se as unidades de medida. O efeito cruel da guilhotina fez escassearem estes nobres e a humanidade passou a procurar referências mais universais. A definição inicial de metro, como um décimo milionésimo da distância do pólo norte ao equador pelo meridiano de Greenwich tornou-se pouco prática para fins científicos e comerciais... o metro padrão passou a ser uma barra de ouro que ficava bem guardada... hoje é um múltiplo do comprimento da onda emitido por um átomo radioativo, de forma que pode ser obtido com facilidade e precisão em qualquer parte.

A definição inicial de milha marítima também refere-se aos meridianos, a milha marítima corresponde ao comprimento de um minuto de arco de meridiano, isto é, (1 / 60) (1/360) 40.000km = 1.852 metros. Não confunda-se milha marítima com milha terrestre, esta última é antiqüíssima e corresponde a mil passos duplos de uma centúria romana, a cada dois passos de aproximadamente 80 cm cada os soldados romanos batiam a perna esquerda e gritavam o número da vez, ao chegarem no milésimo... mile!!, completavam uma milha terrestre.

A geometria da esfera é estudada sobre uma esfera de raio unitário, sempre é possível escolher um tal sistema de unidades. Os meridianos são os substitutos das linhas retas, os arcos de meridianos substitutos dos segmentos, três destes formam um triângulo esférico...

... cada lado é arco de um meridiano que foi definido como a intersecção da esfera por um plano que passa por seu centro. A esfera tendo raio um, os lados são medidos em graus ou radianos. Os ângulos entre os lados são definidos como os ângulos entre os planos definidores dos meridianos, desde que estes ângulos sejam tomados na região definida pelos planos de forma a encerrar o triângulo esférico. Com uma escolha apropriada de vetores normais aos planos cortantes estes podem ser os ângulos entre estes vetores normais. ] Os polígonos esféricos são definidos de forma semelhante. A trigonometria esférica estuda a resolução de triângulos esféricos.

A lei dos senos na trigonometria esférica é dada por:

(sena) / (senα) = (senb) / (senβ) = (senc) / (senγ),

isto é, são iguais os quocientes entre os senos dos lados e os senos dos correspondentes ângulos opostos.

A lei dos cossenos é dada por:

cosa = (cosb) (cosc) + (senb) (senc) cosα,

isto é, o cosseno do lado a é o produto do cosseno dos outros lados mais o produto dos senos dos outros lados multiplicado pelo cosseno do ângulo α, oposto ao lado a.

Além disso, a soma dos ângulos internos, usualmente passa de 180°, sendo definido o excesso esférico do triângulo como e = (α + β + γ) - 180°.

Ao lado mostramos um triângulo tri-retângulo. O excesso no caso é e = 270° - 180° = 90° ou π / 2 radianos. A esfera de raio unitário tem área 4 π, notem que, em radianos, o excesso esférico do triângulo ao lado coincide com a sua área, que é um oitavo da área da esfera.

Este resultado não é coincidência, o excesso esférico, se medido em radianos, coincide com a área do triângulo esférico:

e = (α+β+γ) - π = área do triângulo esférico.

Para ver a validade da lei do excesso esférico, basta considerar que, por conseqüência da famosa regra de três, a área da primeira das cintas abaixo está para a área da esfera assim como α está para π e portanto vale 4 α, analogamente as áreas das outras cintas são 4 β e 4 γ.

Ademais a soma das áreas das faixas cobre a esfera e de sobra mais quatro vezes a área do triângulo esférico.

A validade das leis do cosseno e do seno decorrerá da exposição, mais abaixo.

Pois é, o pessoal sofria naqueles tempos com a tal trigonometria esférica, seu domínio era essencial para as navegações, orientação astronômica, geodesia etc... Da mesma forma que a geometria analítica simplifica os problemas de trigonometria no plano e no espaço, os quatérnios irão simplificar muito a trigonometria esférica e tornar claras as relações desta com as rotações espaciais.

A palavra vetor significa aquele que transporta, dizemos que o mosquito que leva o vírus da dengue é um vetor por esta razão. Ressaltamos nos cursos de geometria analítica que vetores são diferentes de pontos, correspondem a operações efetuadas com pontos. Os vetores em duas e três dimensões são considerados operações de translação de pontos em linha reta, ou abreviadamente, deslocamentos. Por que não definir vetores esféricos como deslocamentos sobre os meridianos, que agora, na geometria esférica, representam o análogo das linhas retas?

Hamilton definiu uma espécie de vetor esférico, geometricamente corresponde a um arco orientado sobre um meridiano da esfera e algébricamente correspondente ao quociente dos quatérnios unitários puramente vetoriais que representam os extremos do arco. Se A e B são dois pontos sobre um meridiano da esfera, naturalmente associados aos quatérnios unitários puramente vetoriais q_A = (0 + A) e q_B = (0 + B) ...identificamos o vetor esférico, ou arco de meridiano orientado AB, pelo quociente q_AB = q_B q_A^-1. Este quociente, se multiplicado pelo primeiro extremo do arco, resulta no segundo ...da mesma forma que um vetor usual, adicionado ao ponto de partida, resulta no ponto de chegada. O vetor usual representa a diferença dos entre os pontos final e inicial e é livre, podendo partir de qualquer ponto do IR³ enquanto que o vetor esférico também é livre, mas nem tanto ...pode partir de qualquer ponto inicial em um mesmo meridiano.

Lembramos que para quatérnios unitários conjugação e inversão coincidem, assim sendo

q_AB = q_B q_A^-1 = (0 + B) (0 - A) =
(A • B) + A x B = cosθ + n senθ

onde n é o vetor unitário na mesma direção e sentido do produto vetorial A x B e θ é a rotação anti-horária em torno de n que leva A em B.

Temos uma relação de fechamento diz que os vetores representando deslocamentos sobre os três lados de um triângulo ou polígono de segmentos no IR³ dá o vetor zero, elemento neutro da soma vetorial. Análogamente temos para os vetores esféricos correspondentes aos lados de um triângulo esférico ABC que q_CA q_BC q_AB = 1 (££££). Lembrando que cada vetor unitário corresponde a uma rotação espacial e que ncomparando esta expressão com a fórmula que havíamos obtido para rotações, temos o teorema de Hamilton e Dinkin:

"If ABC is any spherical triangle, three successive rotations represented by the directed arcs 2BC, 2CA, 2AB, (about their polar axes) will restore a body to its original position"

Desta forma, fazer a composição de rotações é o mesmo que construir o lado faltante do triângulo esférico cujos lados são as metades dos ângulos de rotação correspondentes... pois se a terceira rotação é o oposto da composta das outras duas, o seu oposto corresponde à composição delas.

Cada triângulo e cada polígono esférico (a generalização é direta) está associado a uma seqüência de rotações que trazem um objeto de volta à posição original. A última rotação, associada ao último lado, é exatamente o oposto da composta das n - 1 primeiras. Tudo é muito semelhante ao fato da soma dos vetores associados aos lados de um polígono dar zero, como ocorre na nossa geometria analítica.

A condição (££££) é a condição de fechamento do triângulo esférico, veremos que suas partes escalar e vetorial são equivalentes às leis dos cossenos e dos senos da trigonometria esférica, podemos reescrever tal expressão da forma abaixo:

(cosa - n_a senα) = (cosb + n_b senβ) (cosc + n_c senγ).

Tomando a parte escalar dos dois lados obtemos que:

cosa = cosb cosc - (n_b • n_c) senb senc

e a regra do boneco sentado nos mostra que o ângulo entre n_b e n_c é π - α ,

de forma que (n_b • n_c) = - cosα e a igualdade das partes escalares equivale a lei dos cossenos. Note que desta observação decorre que (n_b x n_c) = A senα . A parte vetorial da equação de fechamento do triângulo dá

- n_a sena = cosb n_c + cosc n_b + (n_b x n_c) senb senc
∴ - (A • n_a) sena = senα senb senc
∴ - (A • (B x C)) = senα senb senc

e invariância do produto escalar triplo por permutações cíclicas mostra que a parte vetorial da equação de fechamento dá a lei dos senos da trigonometria esférica.

Apesar de ser equivalente às leis dos cossenos e dos senos da trigonometria a equação de fechamento diz mais do que elas, por causa da associatividade do produto quaterniônico, também pela ligação com rotações que o sistema dos quatérnios estabelece.

O método dos quatérnios em problemas práticos pode ser muito mais simples. O tal do vetor curvo, dado pelo quatérnio unitário associado ao arco de meridino, permite que trabalhemos sem precisar desenhar triângulos esféricos.

Tudo se passa como em geometria analítica, quando a álgebra dos vetores permite que façamos cálculos e tiremos conclusões sem precisar fazer um desenho em duas ou uma maquete em três dimensões do objeto estudado.

Consideremos um exemplo de como os quatérnios possibilitam a resolução de problemas relativamente complicados de geometria esférica sem precisarmos fazer qualquer desenho. O agente secreto James Bond segue com seu avião a jato pela trajetória mais curta do Rio a Moscou, em missão secreta. Mantém uma velocidade de 2.000km/h. Após quatro horas de vôo, encontrando-se sobre a localidade X, recebeu um chamado de Londres e se dirigiu para esta cidade.

O chamado era urgente, tratava-se do seqüestro da rainha! ... e a presença do 007 era necessária. James Bond partiu da localidade X para Londres com a velocidade máxima do seu jato, 3000km/h.

Faltando quinze minutos para chegar a Londres James Bond avistou, com seu super-binóculo a rainha no solo, também os bandidos ...colocou sua fantasia favorita e saltou sobre eles, deixando o avião seguir para Londres com seu super-piloto automático.

Pergunta-se:

James Bond conseguiu salvar a rainha?

qual a latitude a longitude da localidade X, onde o 007 mudou sua rota?

quanto tempo se passou desde a mudança de rota até o salto?

quantos quilômetros andou o super-piloto automático até aterrisar em Londres?

Como vê, os problemas teóricos envolvendo quatérnios são sempre problemas que poderiam ocorrer no cotidiano de qualquer agente secreto. Nosso objetivo é apresentar um texto um curso com aplicações práticas, que pode ser útil para a vida de qualquer pessoa.

Bom, vamos à resolução do exercício, a resposta do item (i) é óbvia, James Bond salvará a rainha, para qualquer um que viu outros filmes da série, percebe que este caso é moleza para o 007. Resolveremos os outros itens com o emprego de quatérnios.

Lembramos que no Rio de Janeiro passa o paralelo de latitude 23° Sul e e o meridiano de longitude 43° Oeste, também que a latitude de Moscou é 56° Norte e sua longitude 37,5° Leste (aqui empregamos a terra apenas como ferramenta didática para estudar a esfera, no caso de problemas de geodesia podemos trabalhar com mais precisão ...para quem espiar o link, fiz as contas na página referida com o mathematica 4, os pacotes nas versões atuais devem estar embutidos).

As equações do sistema de coordenadas esféricas nos permitem passar das informações de latitude e longitude para coordenadas cartesianas. Tomando nosso sistema xyz de forma que o centro da terra esteja na origem, o pólo norte tenha coordenadas (0 , 0 , 1), e o meridiano de Greenwich cruze o equador no ponto (1 , 0 , 0), temos:

x = senθ cosφ = cosλ cosφ
y = senθ senφ = cosλ senφ
z = cosθ = senλ

onde φ é o ângulo equatorial e determina a longitude, θ é o ângulo azimutal ou co-latitude, λ = 90° - θ é a latitude.

Na convenção usual, φ vai de -180° a 180°, anulando-se no meridiano de Greenwich. O ângulo azimutal θ vale respectivamente 0°, 90° e 180° no pólo norte, equador e pólo sul, quando a latitude λ = 90°, 0° e -90°. A latitude é uma medida do afastamento do equador, sendo positiva no hemisfério norte, nula no equador e negativa no hemisfério sul.

Voltando ao nosso problema, vamos determinar as coordenadas cartesianas do Rio e de Moscou e caracterizar estas cidades como quatérnios unitários puramente vetoriais,

De novo estou aproveitando as contas que outrora fiz no mathematica 4. O arco de meridiano que vai do Rio até Moscou está representado por q = moscou (rio)*, tal é um quatérnio unitário que pode ser escrito da forma q = cosa + n sena, onde a é a extensão do arco de meridiano e n é o vetor ortogonal ao plano que define o meridiano.

Do valor de a em radianos tiramos por regra de três a distância entre Rio e Moscou, pois um arco de meridiano de π radianos corresponde a 20.000km sobre a Terra. A parte escalar de q determina cosa e portanto a e sena. A parte vetorial de q vale n sena e daí encontramos n.

A distância do Rio até Moscou é de aproximadamente 11.536km, mas após quatro horas e meia de vôo à velocidade de 2000km/h nosso herói tinha percorrido 9000km e ainda não havia chegado à capital da Rússia.

Para determinar a latitude e a longitude da localidade X, devemos modificar o arco de meridiano descrito pelo quatérnio unitário q, manter sua direção e sentido, dadas pelo vetor unitário n, mas alterar sua extensão, trocando a, que corresponde a 11.536km por b que corresponde a apenas 9.000km. Então o quatérnio unitário r = cosb + n senb, associado ao arco reduzido, determina a localidade X = r (rio) produto do arco r pelo quatérnio unitário puramente vetorial que representa o Rio, ponto de partida do deslocamento.

A cidade X é um quatérnio unitário puramente vetorial, como esperado 007 voava sobre a Terra, não estava em quatro dimensões, mas no subespaço tridimensional dos quatérnios puramente vetoriais no momento do chamado!

Basta converter as coordenadas cartesianas deste local para esféricas e obter a latitude e a longitude da cidade X, pedida no item (ii).

Obtivemos que a latitude da cidade X é de 43,4° Norte e sua longitude é 30,8° Leste. Tendo feito isto, para os itens finais do problema é bom lembrar que a latitude e a longitude de Londres são 51,5° Norte e 0° respectivamente.

Vamos agora determinar o quatérnio unitário puramente vetorial correspondente a Londres e o quatérnio unitário p, associado ao arco de meridiano que vai da localidade X até Londres,

Tal qual no caso Rio2X é o caso X2Londres, a parte escalar e vetorial de p = cosc + m senc nos levam a c e m. Por regra de três, determinamos a distância entre a cidade X e Londres pois (c / π) = (distância/20.000km).

Estando apenas a 1.062km de Londres quando saiu da cidade X, à velocidade de 3000km/h, faltavam 21 minutos e 14 segundos para chegar à capital britânica,

de forma que, quinze minutos após partir da localidade X, quando James Bond avistou a rainha e seus raptores faltariam apenas 6 minutos e 14 segundos para o agente chegar ao seu destino. Por regra de três calculamos que o 007 andou 750km da localidade X ao local do salto e que o super-piloto automático andou 312km do local do salto até Londres, respondendo aos itens (iii) e (iv).

Bom, se você acha mais fácil trabalhar com a trigonometria esférica, boa sorte.

Notem que se tomamos todos os arcos de meridianos possíveis sobre a esfera, obtemos todos os quatérnios unitários possíveis, isto permite-nos identificar os pontos da esfera tridimensional com quocientes de direções nos espaço tridimensional usual. Esta interessante associação tem conseqüências profundas que transcendem as rotações e a trigonometria. Tal, dizem, é o ponto na defesa da importância dos quatérnios feita por Tait ante o arrefecimento do seu uso no fim do século XIX e de comparações que tentavam diminuir este maravilhoso sistema frente a outros, como o proposto por Grassmann.

Mas a resistência não suportou movimentos posteriores, o emprego das matrizes e do cálculo vetorial de Gibbs e Heaviside, simplificação dos quatérnios, virou lugar comum e os quatérnios ficaram apenas para os iniciados em artes ocultas e letras apagadas.

Porém o advento da robótica torna o conhecimento e a habilidade no tratamento de rotações uma ferramenta muito útil. Deixo neste diretório, aos interessados nos quatérnios e sua história que tiverem paciência, leitura do clássico trabalho escrito por Hamilton na quinta década do século XIX, que dizem, é muito bom.

Saudações. Márcio.