In this talk we shall make an attempt to explain a generalisation of various recent results on the evolution and monotonicity of the eigenvalues of certain geometric operators under specified geometric flows. More precisely, we define a geometric flow on a closed Riemannian manifold $M$ which encompasses the Ricci, the Ricci-Bourguignon and the Yamabe flows. Supposing that the metric $g(t)$ evolves along this general geometric flow we study the evolution and monotonicity of the eigenvalues of the Laplacian, Witten-Laplacian and few other more general geometric operators. Time permitting, we shall address some questions which might be worth studying. This is a joint work with Raul Mesquita.

Data e local: (sexta-feira) 17/03/2017 ás 14h, sala 222 (IMECC)

Palestrante: Eric Loubeau (Université de Bretagne Occidentale)

Titulo: Harmonicity of nearly cosymplectic structures

I will give an overview of the theory of harmonic maps and then specialise to the case of sections of bundles, starting with vector fields and then moving on to almost Hermitian structures and almost contact structures. Finally, I will explain how, with Esther Vergara, we proved that nearly cosymplectic structures always define a harmonic section and, indeed, a harmonic map.

Data e local: (sexta-feira) 24/03/2017 ás 14h, sala 222 (IMECC)

Palestrante: Francesco Mercuri (IMECC)

Titulo: On the image of the Gauss map of complete minimal surfaces in $R^3$

In this talk we will discuss some classical results on the image of the Gauss map of a minimal surface in $R^3$ as well as some work in progress and open problems.

Data e local: (sexta-feira) 25/05/2017 ás 14h, sala 222 (IMECC)

Palestrante: Andrés Moreno (IMECC)

Titulo: $G_2$- estruturas localmente conformemente calibradas (l.c.c.) e exemplos de subvariedades associativas

Dado que encontrar exemplos de variedades $(M^7,\varphi)$ com $G_2$-estrutura livre de torção, ou equivalentemente, uma $G_2$-estrutura calibrada (i.e. $d\varphi=0$) e cocalibrada (i.e. $d\ast\varphi=0$) é um problema bastante difícil, nos ultimos tempos tem surgido o intesse em estudar $G_2$–estruturas que não satisfazem a condição de integrabilidade, como caso análogo, ao estudo das estruturas quase complexas na geometria simplética. O seminário vai ser dividido em duas partes. Na primeira, vai ser apresentado o caso em que a $G_2$–estrutura é localmente conformemente calibrada (l.c.c.) i.e. \begin{equation*} d\varphi=3\tau_1\wedge\varphi, \ \ d\ast\varphi=4\tau_1\wedge\ast\varphi +\tau_2\wedge\varphi, \end{equation*} e alguns dos exemplos apresentados em [1], obtidos a partir do grupo de Heisenberg complexo de dimensão 3. Na segunda parte, vamos descrever algumas subvariedades associativas dos exemplos de [1], os quais, sobre certas hipóteses algébricas são subvariedades totalmente geodésicas, e seguidamente, vamos explicar o problema de deformação associativa para os exemplos apresentados.

1. Fernández, M., Fino, A., and Raffero, A. (2016). $\textit{Locally conformal calibrated $G_2$-manifolds}$, Annali di Matematica Pura ed Applicata (1923-), 195(5), 1721-1736

Data e local: (sexta-feira) 02/06/2017 ás 14h, sala 222 (IMECC)

Palestrante: Dragomir Tsonev (IMECC)

Titulo:On the spectrum of the Hodge-Laplacian acting on differential forms over Riemannian homogeneous spaces

The aim of this talk is to give a succinct pedagogical overview of the Ikeda and Taniguchi paper on the spectra of the Laplacians on spheres and complex projective spaces. The talk is expected to be divided roughly into three parts. Firstly, we shall define the basic notions in order to put the problem into context. Among other things, the principal $K$-bundle $G$ over the Riemannian homogeneous space $G/K$, the vector bundle of differential forms over $G/K$ and the Hodge-Laplacian will be defined. Secondly, we shall explain how the Casimir operators and the representation theory techniques are naturally brought about into this context. Finally, if time permitting, we shall swiftly elaborate the particular case when the homogenous space under consideration is $S^n$.

Data e local: (sexta-feira) 09/06/2017 ás 14h, sala 222 (IMECC)

Palestrante: Eder Moraes Correa (IMECC)

Titulo: Métricas Kahler com curvatura de Ricci nula em fibrados canônicos.

Em 1979, em um importante trabalho ([1][5]), Calabi provou a existência de métricas Kähler com curvatura de Ricci nula para duas classes importantes de variedades, fibrados cotangentes de espaçõs projetivos e fibrados canônicos de variedades Kähler-Einstein. Para esta segunda classe de variedades, os exemplos concretos mais conhecidos são da forma $K_X\rightarrow (X,\omega_X)$, com $(X,\omega_X)$ sendo variedade tórica Kähler-Einstein do tipo Fano, e.g., espac ̧o de Eguchi-Hanson $\mathcal{O}(−2)=K_{\mathbb{C}P^1}$ ([1], [2]) e Calabi-Yau 3-fold não compacta $\mathcal{O}(−3)=K_{\mathbb{C}P^2}$ ([1][3][4]). Neste seminário, iremos discutir sobre a construção de Calabi em fibrados canônicos no contexto de variedades flag complexas não tóricas. O objetivo é mostrar como podemos empregar elementos da teoria de Lie na construção de métricas Kähler com curvatura de Ricci nula.

1. Calabi, E.; $\textit{Metriques kählériennes et fibrés holomorphes}$, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 12 (1979),269-294.
2. Eguchi, T.; Hanson, A. J.; $\textit{Asymptotically Flat Self-Dual Solutions to Euclidean Gravity}$, Phys. Lett. 74B (1978) 249-251.
   
3. Goldstein, E.; $\textit{Calibrated fibrations on noncompact manifolds via group actions}$, Duke Math. J. 110 (2001), no. 2, 309-343.
4. Gross, M.; $\textit{Examples of Special Lagrangian Fibrations, in Symplectic Geometry and Mirror Symmetry}$, Proceedings of the 4th KIAS Annual International Conference, Edited by K. Fukaya, Y.G. Oh, K. Ono and G. Tian, World Scientific, 2001, 81-109.
5. Salamon, S.; $\textit{Riemannian Geometry and Holonomy Groups}$, Pitman Res. Notes Math. Ser. 201, Longman Sci. Tech., Harlow, England, 1989.
6. Azad, H.; Biswas, I.; $\textit{Quasi-potentials and Kähler-Einstein metrics on flag manifolds}$. II. J. Algebra, 269(2):480-491, 2003.

Data e local: (sexta-feira) 23/06/2017 ás 14h, sala 222 (IMECC)

Palestrante: Renato Júnior Moreira e Silva (IMECC)

Titulo: Sobre a construção clássica das esferas de Milnor.

Faremos uma exposição sobre a construção dada por Milnor [1] para 7-Esferas Exóticas como espaços totais de certos fibrados de esferas nos focando na construção do invariante $\lambda$ para tais esferas. Para construir tal invariante utilizaremos fortemente a teoria de Classes Características e eterminados resultados sobre classificação de fibrados. Além disso, pretendemos dar uma breve exposição sobre a classificação de 7-esferas homotópicas [2] e, se o tempo permitir, fornecer a ideia de como obter um invariante que classifica 7-esferas homológicas racionais [3].

1. J. Milnor, $\textit{On manifolds homeomorphic to the 7-sphere}$, 1956.
2. J. Eells, N. Kuiper, $\textit{An invariant for certain smooth manifolds}$, 1962.
   
3. D. Crowley, S. Goette, Kreck-Stolz $\textit{Invariants for Quaternionic Line Bundles}$, 2012.

Data e local: (sexta-feira) 30/06/2017 ás 14h, sala 222 (IMECC)

Palestrante: Leonardo Francisco Cavenaghi (IMECC)

Titulo: Variedades exóticas com curvatura de Ricci positiva via Deformações de Cheeger

Utilizamos Deformações de Cheeger para estabelecer uma condição suficiente para que uma $G$-variedade admita uma métrica de curvatura de Ricci positiva. Como aplicação imediata, utilizamos uma construção topológica análoga à introduzida por Gromoll e Meyer para garantir curvatura de Ricci positiva em variedades exóticas com as esferas $\Sigma^7$, $\Sigma^8$, fibrados sobre esferas e variedades de Kervaire. Este trabalho foi feito em colaboração com o professor Llohann Sperança da Unifesp.

1. Sperança, L.D., Cavenaghi, L.F., $\textit{On the Ricci curvature of Morita Equivalent Manifolds}$, preprint (2017).
2. Sperança, L.D., $\textit{Pulling back the Gromoll-Meyer construction and models of exotic spheres}$, arXiv:1010.6039 (2014)
   
3. Sperança, L.D., $\textit{On Explicit Constructions of Exotic Spheres}$, arXiv:1010.6039v2.
4. Ziller, W., $\textit{On M. Mueter’s Ph.D. Thesis}$.