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Grupos de Reflexão e Edifícios de Tits
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Edificios de
Tits
Préfacio
A teoria chamada, em homenagem ao pioneirismo de Jaques Tits, de
Edifícios de Tits, começou a formar-se a partir da década de 70 com o
intuito primeiro de associar objetos geométricos a grupos algébricos, em
certo sentido mimetizando a rica estrutura de grupos e álgebras de Lie
semi-simples reais e complexas. Um edifício é uma estrutura simplicial,
não necessariamente finita, obtida a partir da identificação, respeitadas
certas condições axiomáticas, de diversas cópias de um mesmo complexo de
Coxeter. A estrutura rica de complexos e grupos de Coxeter traduzem-se em
propriedades de rigidez bastante fortes dos edifício, e são estas
propriedades que permitiram aplicações a contextos distintos do imaginado
por Tits. Já em 1978, poucos anos após a publicação do primeiro trabalho
sobre edifícios (Ti), Mostow (Mo) fez uso desta
estrutura para a demonstração do seu famoso Teorema de Rigidez. O
principal objetivo deste texto é introduzir de modo breve os principais
elementos da Teoria de Edifícos e delinear de forma esquemática algumas
aplicações. Para apresentar a estrutura de um edifício devemos começar
estudanto os grupos e complexos de Coxeter. Considerando que este texto
tem o propósito de ser uma mera introdução à teoria, fizemos algumas
opções que visam torná-lo conciso sem ser superficial em sua parte
central. A primeira delas é nos restringirmos aos edifícios esféricos, o
que implica, com relação aos grupos de Coxeter, em explorarmos apenas o
caso dos grupos finitos. Embora estejamos deixando de lado uma parte
significativa da teoria, a passagem do caso de edifícios esféricos para o
de edifícios euclidianos (ou afins), assim como de grupos de Coxeter
finitos para grupos de Coxeter infinitos, é bastante natural e o leitor
interessado em se aprofundar no assunto pode consultar qualquer um dos
livros textos constantes da bibliografia (Ro e
Br), embora o leitor deste texto provavelmente tenha mais
facilidade em reconhecer a notação do segundo destes textos. A segunda das
opções feitas refere-se aos grupos de Coxeter. Para tornar os grupos mais
palpáveis, escolhemos trabalhar primordialmente com grupos de reflexão em
espaços euclidianos e apenas indicamos como passar destes para os grupos
de Coxeter abstratos, definidos em termos de geradores e relações. A
passagem é bastante simples e pode ser encontrada em detalhes em
Hu. Por fim, as aplicações e usos da estrutura, assim como o
enfoque original de Tits, a passagem de pares BN a edifícios, são
apresentadas de forma bastante esquemática, temo que por vezes até
superficial, e acredito mereça ser ampliada em ocasião futura. De qualquer
modo, as referências apresentadas são bastante inteligíveis e podem
preencher esta lacuna do texto. Os três primeiros capítulos, nos quais
apresentamos os grupos finitos de reflexão, a estrutura simplicial
associada a estes e os edifícios esféricos construidos a partir das
estruturas simpliciais, estão razoavelmente completos, e praticamente
todos os resultados estão demonstrados com detalhes, incluindo a
classificação dos grupos finitos de reflexão e alguns poucos exercícios
que complementam a teoria. No quarto capítulo introduzimos a relação entre
edifícios esféricos e espaços simétricos do tipo não compacto, incluindo
um esboço das principais etapas da demosntração do Teorema de Rigidez de
Mostow, que faz uso essencial desta estrutura. Para compensar um pouco a
superficialidade com que tratamos o tema, apresentamos de forma detalhada
(embora sem demonstrar qualquer um dos fatos) como os elementos e as
estruturas de grupos e álgebras semi-simples se realizam no caso
partcular, mas ilustrativo, do grupos especial SL(n,R) e sua álgebra
sl(n,R). Por fim, no apêndice elaborado por Luciano Panek, apresentamos a
relação entre edifícios de Tits do tipo A_{n} com a teoria de Códigos
Corretores de Erros, assim como alguns resultados originais que buscam, a
partir da compreensão da estrutura de edifícios, elucidar alguns aspectos
sobre códigos. Além disto, o apêndice pode ser ilustrativo por apresentar
da forma mais detalhada possível os edifícios obtidos pelas bandeiras de
espaços vetoriasi de dimensão 3 e 4 sobre o corpo de 2 elementos F2,
incluindo a listagem completa dos cômodos, paredes e apartamentos.
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Edificios de
Tits
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