Topologia Algébrica

Exercícios

Mostrar que $ℂ P^{1} ≃ S^{2}$ .
Solução
Mostrar que o plano projetivo é homeomorfo ao cone sobre o mapa $f : S^{1} \subset ℂ \to S^{1} \subset ℂ$ definido por $f (z) = z^{2}$ .
Solução
Considere $p : S^{n} \to ℝ P^{n}$ para $n > 1$ a projeção canónica. Seja $f : I \to ℝ P^{n}$ definido por $f (t) = [(\cos (π t), \sin (π t), 0)]$
a) Achar $π_{1} (ℝ P^{2})$
b) Mostrar que $f$ é um caminho fechado e que $f ⋆ f ≃ [N]$ .
Solução
Mostrar que
a) $C (S^{n}) ≃ D^{n + 1}$ e portanto é um espaço contrátil.
b) Se $f : S^{1} \to S^{1}$ com $g r a u (f) \neq {1, - 1}$ então $C_{f} = C (S^{1}) \cup_{f} S^{1}$ não é um espaço contrátil.
Solução
Seja $(\tilde{Y}, q)$ e $(\tilde{X}, p)$ espaços de recobrimento de $X$ . Se existe uma aplicação contínua $h : \tilde{Y} \to \tilde{X}$ tal que $p h = q$ , então $h$ é sobrejetora.
Solução
Mostrar que todo mapa do plano projetivo em si mesmo que é não trivial no grupo fundamental pode ser levantado a um mapa $T : S^{2} \to S^{2}$ tal que $T (- x) = - T (x)$ para todo $x \in S^{2}$ .
Solução
Sejam $S^{1} = {z \in C, | z | = 1}, D = {z \in C, | z | \leq 1},$ $S^{2} = {(z, x) \in C \times R, | z |^{2} + x^{2} = 1},$ quais dos seguintes mapas são de recobrimento? $\begin{array}{rcl} p_{1} : S^{1} \to S^{1} & p_{1} (z) = z^{4} \\ p_{2} : D ∖ {0} \to S^{1} & p_{2} (z) = \frac{z}{| z |} \\ p_{3} : S^{2} \to D & p_{3} (z, x) = z \end{array}$
Solução
Seja $p : \tilde{X} \to X$ um mapa de recobrimento, com $X$ localmente conexo por caminhos, e $Z$ um espaço topológico conexo. Em qual dos seguintes casos podemos concluir que $g = h$ ?
a) Se $g : Z \to \tilde{X}$ e $h : Z \to \tilde{X}$ são mapas contínuos tais que $p \circ g = p \circ h$ e $g (z_{0}) = h (z_{0})$ para algum $z_{0} \in Z$ .
b) Se $p_{*} π_{1} (\tilde{X}, {\tilde{x}}_{0}) = π_{1} (X, x_{0})$ e $g : Z \to \tilde{X}$ e $h : Z \to \tilde{X}$ homeomorfismos contínuos tais que $p \circ g = p \circ h$ .
Solução
-Mostre que para $n \geq 2$ temos que $ℝ P^{n} ≃ ℝ P^{n - 1} \cup e^{n}$ para $e^{n}$ uma $n -$ célula.
-Utilizando o teorema de Van-Kampen determine $π_{1} (ℝ P^{n})$ para $n \geq 1$
Solução
Determine $C o v (\tilde{X} / X)$ para os seguintes espaços de recobrimento
- $p : ℝ \to S^{1}$ com $p (x) = e^{2 π i x}$
- $p_{1} : {\tilde{X}}_{1} \to S^{1} \lor S^{1}$
- $p_{2} : {\tilde{X}}_{2} \to S^{1} \lor S^{1}$ .

Em cada caso dê um exemplo de transformação de recobrimento.
Solução
Determine para quais valores de $n \in {2, 3, 4}$ a seguinte afirmação é sempre verdadeira: "Se $f : S O (n) \to T^{n}$ contínuo então $f$ é homotópico ao mapa constante"
Solução
Podemos anexar uma 3-célula à garrafa de Klein e obter um espaço contrátil? Caso a resposta seja afirmativa, indique como deve ser o mapa anexante $φ ∣_{S^{2}}$ .
Solução
Calcule $π_{1} (ℂ P^{n}) .$
Solução
Seja $X$ um espaço topológico e defina a suspensão de $X$ como sendo o espaço $\sum X = X \times I / \sim$ onde $(x, 1) \sim P$ e $(x, 0) \sim Q$ . Mostrar que
i- ${\tilde{H}}_{q} (X) = {\tilde{H}}_{q + 1} (\sum X) .$
ii- $\sum S^{n} ≃ S^{n + 1}$ .
iii- $H_{n} (S^{n}) = H_{1} (S^{1})$ .
Solução
Calcular os seguintes grupos de homologia
i- $H_{n} (K)$ para $K$ sendo a garrafa de Klein.
ii- $H_{n} (ℂ P^{2}$ # $ℂ P^{2})$
iii- $H_{2} (ℂ P^{1} \times S^{3})$ .
Solução
i- Assuma que existe a fibração $S^{k} \dots S^{n + k} \to S^{n}$ . Mostrar que $k = n - 1 .$
ii- Calcular $π_{i} (ℂ P^{n})$ para $1 \leq i \leq 2 n + 1$ .
Solução
Se $p : X \to Y$ é um mapa de recobrimento com $X$ simplesmente conexo então $π_{1} (Y)$ age nas fibras de duas formas
1) Por transformações de Deck
2) Por monodromia.
Mostrar que estas duas ações conicidem se, e somente se, $π_{1} (Y)$ é abeliano.
Solução
i- Seja $F \dots E \to^{p} B$ uma fibração e assuma que admite uma seção, isto é, existe um mapa contínuo $σ : B \to E$ tal que $p \circ σ = I_{B}$ . Mostrar que $π_{n} (E) ≃ π_{n} (F) \oplus π_{n} (B)$ para $n \geq 2 .$
ii- Calcule $H_{n} (S^{n} \times S^{m})$ para $m > n .$
Solução
Calcule a homologia dos seguintes espaços
a) O espaço $X$ obtido de anexar um disco $D^{2}$ na parte superior da calça pelo mapa $φ : S^{1} \to S^{1}$ dado por $φ (z) = z^{2}$
b) $H_{n} (S O (3))$ para $n \geq 0$ .
c) $H_{n} (ℂ P^{1} \lor ℝ P^{2})$ para $n \geq 0$ .
Solução
Calcule
a) $π_{2} (ℂ P^{1} \lor S^{3})$ .
b) $π_{3} (ℂ P^{3} \times ℂ P^{1})$ .
Solução
Sejam $p : E \to B$ e $q : B \to B ʹ$ fibrações, então $q \circ p : E \to B ʹ$ fibração.
Solução
Seja $M$ o quociente de $I \times D^{2}$ obtido ao identificar $(0, z) \sim (1, \bar{z}),$ onde $D^{2} \subset ℂ$ . Denote a fronteira (uma garrafa de Klein ) deste espaço por $K$ . Ache $π_{2} (M, K) .$
Solução
Se $π_{4} (S^{3}) = ℤ_{2}$ o que podemos dizer de $π_{5} (S^{4} \times S^{5})$ ?
Solução
Considere, para $n \geq 2$ , a ação de $ℤ \times ℝ^{n (n - 1) / 2} \to ℝ^{n (n - 1) / 2}$ definida por $k \cdot (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n (n - 1) / 2}) = (x_{1} + k, x_{2}, \dots, x_{n (n - 1) / 2})$ e seja $X_{n}$ o espaço quociente associado a essa ação. Para quais valores de $n$ podemos garantir que qualquer mapa $f : S O (n) \to X_{n}$ é homotópicamente nulo?
Solução
Seja $Y \subset X$ subespaço topológico de um espaço conexo por caminhos. Defina $Z = (Y \times [0, 1]) ⊔ X) / \sim$ onde $(y_{1}, 0) \sim (y_{2}, 0) \forall y_{1}, y_{2} \in Y e (y, 1) \sim y \in X \forall y \in Y .$ Compare (são isomorfas?, uma pode ser vista como subgrupo da outra? ou não há relação entre elas) as homologias $H_{n} (X, Y)$ e $H_{n} (Z)$ .
Solução
Sejam $U, V$ abertos de um espaço $X$ . Compare (são isomorfas?, uma pode ser vista como subgrupo da outra? ou não há relação entre elas) $H_{k} (U, U \cap V) e H_{k} (U \cup V, V) .$
Solução
i- Mostrar que se $f : S^{n} \to S^{n}$ é um mapa contínuo que não é uma equivalência homotópica, então $f$ possui um ponto fixo.
ii- Mostrar que toda função contínua de $g : ℝ P^{2} \to ℝ P^{2}$ tem um ponto fixo.
Solução
i- $H_{*} (ℝ P^{2}; ℝ)$ ,
ii- $H_{*} (S^{4} \times S^{2}, ℤ_{4})$
iii- $H_{*} (K, ℤ_{2})$ para $K$ a garrafa de Klein.
Solução
Construa um espaço $X$ que possua a mesma Homologia que $T^{2} = S^{1} \times S^{1}$ e que não seja homeomorfo a $T^{2}$ .
Solução
Sejam $X, Y$ complexos CW finitos, conexos, de dimensão $n$ e com exatamente uma $n$ -célula.
i- Mostre que $H_{n} (X)$ é zero ou isomorfo a $ℤ$ ,
ii- Mostre que se $H_{n} (X) ≃ ℤ$ ent\~ao $H_{n - 1} (X) ≃ H_{n - 1} (X^{n - 1})$ onde $X^{n - 1}$ é o $n - 1$ esqueleto de $X$ .
iii- Mostre que se $H_{n} (X) ≃ ℤ ≃ H_{n} (Y)$ então $H_{k} (X ♯ Y) = {\begin{array}{ccl} H_{k} (X) \oplus H_{k} (Y) & s e & k = 1 \dots n - 1 \\ Z & s e & k = 0, n \\ 0 & c . c . \end{array}$
Solução
Mostre que $S^{1} \lor S^{2} \lor S^{3}$ e $S^{1} \times S^{2}$ não tem o mesmo tipo de homotopia.
Solução
i- Mostrar que se $f : S^{n} \to S^{n}$ é um mapa contínuo que não é uma equivalência homotópica, então $f$ possui um ponto fixo.
ii- Mostrar que toda função contínua de $g : ℝ P^{2} \to ℝ P^{2}$ tem um ponto fixo.
Solução
Calcule a Homologia simplicial do complexo simplicial associado ao espaço $X$ visto como subespaço de $ℝ^{2}$ .

Solução
Considere, para $n \geq 2$ o meridiano $S^{n - 1} \subset S^{n}$ . Seja $ν : S^{n} \to S^{n} / S^{n - 1} ≃ S^{n} \lor S^{n}$ a aplicação ao quociente. Assumimos, sem perder generalidade, que o ponto união de $S^{n} \lor S^{n}$ é o polo norte ${N} \subset S^{n}$ . Considere agora $f, g : S^{n} \to S^{n}$ dois mapas tais que $g (N) = f (N)$ e defina $f \lor g : S^{n}_\lor S^{n}_\to S^{n}$ $f \lor g (x) = {\begin{array}{ccc} f (x) & se & x \in S_{1}^{n} \\ g (x) & se & x \in S_{2}^{n} \end{array}$ Calcule o grau do mapa $(f \lor g) \circ ν : S^{n} \to S^{n}$ em termos de $g r a u (f)$ e $g r a u (g)$ .
Solução
Considere $f : S^{n} \to S^{n}$ um mapa contínuo e considere $Σ f : Σ S^{n} \to Σ S^{n}$ . Calcule o número de Lefchetz de $Σ f$ em função do número de Lefchetz de $f$ .
É possível concluir que, para $n \in ℕ$ e $k \in ℤ$ podemos achar um $f : S^{n} \to S^{n}$ tal que o seu número de Lefchetz seja igual a $k$ ?.
Solução
Considere o espaço $X$ dado como no desenho abaixo.

para $φ_{i} : S^{1} \to S^{1}$ dados por $φ_{i} (z) = z^{k_{i}}$ para $k_{i} \in ℤ$ .
i- Dé uma estrutura de CW complexo para $X$ .
ii- Constrúa o complexo celular e calcule, utilizando o item anterior, a homologia CW de $X$ .
Solução
Constrúa um espaço $X$ que tenha a mesma homologia que $Y = T^{2} \lor S^{2}$ mas que não seja homotópicamente equivalente a este. Faça as contas utilizando homologia CW ou celular.
Solução
Calcule o anel de cohomologia de $X = ℂ P^{n} \times ℂ P^{m}$ com coeficientes em $ℤ$ . Discuta sobre a existência de um mapa $φ : ℂ P^{n + m} \to X$ tal que $φ_{*} : H_{2} (ℂ P^{n + m}) \to H_{2} (X)$ é não trivial.
Solução
Seja $f : ℝ^{2} \to ℝ^{2}$ o mapa $f (x, y) = (- x - y, x)$ . Como este é um mapa linear e preserva a lattice de $ℤ^{2}$ , induz um mapa $f : T^{2} \to T^{2}$ no toro. Seja $w_{0} \in T^{2}$ o ponto correspondente à origem de $ℝ^{2}$ .
a) Encontre $f_{*} : π_{1} (T^{2}, w_{0}) \to π_{1} (T^{2}, w_{0})$ e utilize isto para achar $f_{*} : H_{1} (T^{2}) \to H_{1} (T^{2})$
b) Encontre $f_{*} : H_{2} (T^{2}) \to H_{2} (T^{2})$
c) Mostre que um mapa $g : T^{2} \to T^{2}$ homotópico a $f$ tem um ponto fixo.
Solução
Seja $Y$ o espaço resultante de $D^{3}$ ao identificar os pontos em $S^{2}$ pela rotação em 180 gaus ao redor do eixo vertical. Dê uma decomposição CW do espaço e calcule sua Homologia.
Solução
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