Primeiramente, se seus alunos são do Ensino Fundamental e nunca tiveram contato com o tema, este curto vídeo pode ser de grande ajuda na introdução desse assunto. Então fica a dica para o ep. I, e para futuros trabalhos, deixamos também um pouco sobre os demais videos da série.
https://tvescola.org.br/videos/mao-na-forma-os-solidos-de-platao/
O primeiro episódio da série Mão na Forma traz uma análise de como os antigos gregos entendiam, desde antes de Cristo, como o mundo era compostoi de formas geométricas. O programa analisa as ideias de Platão: a partir de dois triângulos elementares, todas as outras formas se constituem, como os poliedros regulares — cubos, tetraedos, etc. O programa ainda conta a história que fez a apresentadora Norma se interessar tanto pela geometria: de que forma um cubo de gelo flutua na aula?
https://tvescola.org.br/videos/mao-na-forma-o-barato-de-pitagoras/
O segundo episódio foca nas teorias do filósofo e matemático grego Pitágoras, especialmente em como seu teorema, que pode ser aplicado a todos os triângulos encontrados na natureza e, até hoje, é importante para diversas aplicações no mundo moderno. Após mostrar a dificuldade que muitos alunos ainda têm de compreender esse teorema matemático, Norma demonstra o quanto o dia a dia está rodeado de triângulos e o quanto as formas triangulares são ideias para manter estruturas estáveis. No quadro “Vamos Fazer?”, o programa ensina a construir um poliedro.
https://tvescola.org.br/videos/mao-na-forma-quadrado-cubo-e-cia/
Para encontrar a geometria, basta andar um pouco por qualquer cidade em que você esteja. E é para provar isso que o terceiro episódio vai às ruas e questiona: se no programa anterior o triângulo foi colocado como a forma geométrica mais estável, por que os prédios das cidades são sempre em forma de quadrados e cubos? O programa segue pela cidade mostrando de que formas o cubo e o quadrado se encaixam nas construções e prova que, mesmo sendo considerada instável na natureza, eles são comuns na arquitetura. Por isso, o quadro “Vamos fazer?” ensina como o aluno pode montar um cubo.
https://tvescola.org.br/videos/mao-na-forma-3-4-5-e-o-pentagono/
Quando olhamos para uma bola de futebol profissional, fica fácil ver pentágonos, polígonos de cinco lados. O quarto episódio do programa Mão na Forma procura encontrar mais pentágonos no dia a dia e ensina como a proporção áurea (relação 3, 4, 5), estudada pelos matemáticos gregos Pitágoras e Platão, está presente nas formas da natureza. Para ajudar nessa tarefa, o quadro “Vamos fazer?” ensina a construir um pentágono.
https://api.tvescola.org.br/tve/video/mao-na-forma-nas-malhas-da-geometria
Como associar uma representação artística do mundo à uma ordem geométrica? É esse questionamento que comanda o quinto episódio do programa Mão na Forma. Através da história da arte, temos explicações sobre como os artistas começaram a trabalhar com a perspectiva — e o quanto isso depende do conhecimento e da ordem geométrica –, além da reformulação desta pelas escolas artísticas. Além disso, programa apresenta as ilusões de óptica provocadas pela combinação de figuras no “Vamos fazer?”, no qual os alunos constroem formas da natureza com figuras geométricas simples.
https://api.tvescola.org.br/tve/video/mao-na-forma-a-espiral-e-as-proporcoes-aureas
A geometria também é feita de linhas curvas. No sexto episódio do programa Mão na Forma, a apresentadora Norma volta às ideias de Platão para mostrar, para o matemático, o sólido perfeito seria uma esfera, porque ele tem um número infinito de lados. Por isso que no quadro “Vamos fazer?” esferas são usadas para mostrar sólidos platônicos. E é na espiral, estrutura geométrica encontrada até mesmo no nosso DNA, que o programa ensina sobre a proporção áurea, a escala matemática que rege todo o universo.
Um sólido platônico ou poliedro regular, na geometria, é um poliedro convexo em que:
- todas as faces são formadas por polígonos regulares e congruentes;
- de todos os vértices partem o mesmo número de arestas, e portanto, os ângulos poliédricos são congruentes.
Algumas curiosidades
- A existência dos sólidos platônicos já era conhecida anteriormente pelos pitagóricos (da escola de Pitágoras de Samos que foi um filósofo e matemático grego que nasceu em Samos, entre cerca de 570 a.C. e 571 a.C.). Os egípcios também utilizaram alguns destes sólidos na arquitetura e em outros objetos que construíram, mas foi Platão quem observou e estudou afundo as propriedades destes sólidos, demonstrando que só há 5 deles. No livro “Os Elementos”, Euclides dizia que Platão havia descoberto esses poliedros, mas na verdade 3 deles já tinham sido descobertos pelos Pitagóricos e os outros dois pelo Matemático grego Teeto. Contudo, foi Platão quem descobriu que existem 5 e somente 5 sólidos geométricos regulares.
- Platão desenvolveu uma teoria onde os quatro “elementos” – o fogo, o ar, a água e a terra – eram todos sólidos minúsculos. Ele defendia que, como o mundo só poderia ter sido feito a partir de corpos perfeitos, estes elementos deveriam ter a forma de sólidos regulares, e teríamos:
- o fogo era o mais leve e o mais violento dos elementos, por isso deveria ser um tetraedro;
- a terra era o elemento mais estável, deveria ser o cubo;
- a água, o elemento mais inconstante e fluído, era um icosaedro, o sólido regular capaz de rolar mais facilmente;
- quanto ao ar, Platão observou que “o ar é para a água o que a água é para o ar,” e concluiu, de forma um pouco misteriosa, que o ar deve ser um octaedro;
- para o o quinto sólido regular, atribuiu ao dodecaedro a representação da forma de todo o universo.
- Propriedade de sólidos: o cubo tem seis faces e oito vértices e o octaedro tem oito faces e seis vértices; o dodecaedro tem doze faces e vinte vértices e o icosaedro tem vinte faces e doze vértices; o tetraedro fica sozinho mas tem o mesmo número de faces e de vértices (quatro).
- Em 1597 Kepler, inspira-se nos poliedros regulares para estudar o movimento dos seis planetas até então conhecidos (Saturno, Júpiter, Marte, Terra, Vénus e Mercúrio) e publica a sua obra “The Cosmographic Mystery”, onde utiliza um modelo do sistema solar composto por esferas concêntricas, separadas umas das outras por um cubo, um tetraedro, um dodecaedro, um octaedro e um icosaedro para explicar as distâncias relativas dos planetas ao sol.
- Kepler descobriu o primeiro poliedro regular côncavo, que é o dodecaedro estrelado, de faces regulares que resulta do prolongamento das faces do dodecaedro.
Uma demonstração formal
Existem cinco, e somente cinco, poliedros regulares
Demonstração:
Seja \(n\) o número de arestas em cada face (todas têm o mesmo número de arestas). Denote \(A = \hspace{3pt} número \hspace{3pt} de \hspace{3pt} arestas\), \(F = \hspace{3pt} número \hspace{3pt} de \hspace{3pt} faces\) e \(V = \hspace{3pt} número \hspace{3pt} de \hspace{3pt} vértices\).
Como cada aresta é comum a duas faces (tente imaginar isso no cubo), segue que:
$$2A = n.F \Rightarrow A = \frac{n.F}{2}$$
(\(2A\) é igual ao número de faces vezes o número de arestas em cada face).
De modo análogo, como todos os vertices têm o mesmo número de arestas, se \(p\) é o número de arestas que incidem em cada vértice então em cada aresta temos \(2\) vértices e:
$$2A = p.V \Rightarrow A = \frac{p.V}{2}$$
Logo, igualando o que temos para \(A\) obtemos: \(V = \frac{n.F}{p}\).
Pela Fórmula de Euler: \(V – A + F = 2 \Rightarrow \frac{n.F}{p} – \frac{n.F}{2} + F = 2 \Rightarrow F.(2n – np + 2p) = 4p\)
mas o número de faces deve ser positivo, isto é,
$$F = \frac{4p}{2n – np + 2p} > 0$$
então, como \(p\) é positivo, devemos ter numerador e denominador positivos:
$$\begin{cases}2n – np + 2p > 0\\
2n – p.(n-2) + 2z = 1 \end{cases} \Rightarrow \frac{2n}{n-2} > p$$
e teremos \(p\) como cota superior do número de vertices. Mas veja que \(p \geq 3\) (pois o caso mínimo de arestas é um triângulo), então:
$$\frac{2n}{n-2} > p \geq 3 \Rightarrow 2n > 3n – 6 \Rightarrow n < 6$$
Vamos analisar cada caso: \(n = 3, 4, 5\), pois o caso base é 3.
- Se \(n = 3\) , então \(F = \frac{4p}{6 – p}\) mas novamente \(F > 0 \Rightarrow 6 – p > 0 \Rightarrow p < 6\):
- se \(p=3\) temos \(F = 4\) – TETRAEDRO REGULAR (4 faces triangulares)
- se \(p = 4\) temos \(F = 8\) – OCTAEDRO REGULAR (8 faces triangulares)
- se \(p = 5\) temos \(F = 20\) – ICOSAEDRO REGULAR (20 faces triangulares)
- Se \(n = 4\), então \(F = \frac{4p}{8 – 2p}\) e como \(F > 0 \Rightarrow 8 – 2p > 0 \Rightarrow p < 4\). A única possibilidade é \(p = 3\):
- se \(p = 3\) temos \(F = 6\) – HEXAEDRO REGULAR (6 faces quadradas)
- Se \(n = 5\), então \(F = \frac{4p}{10 – 3p}\) e como \(F > 0 \Rightarrow 10 – 3p > 0 \Rightarrow p < \frac{10}{3}\). Mas \(p\) deve ser inteiro, logo o único caso possível é \(p = 3\).
- se \(p = 3\) temos \(F = 12\) – DODECAEDRO REGULAR (12 faces pentagonais)
E com isso encerramos todos os casos e mostramos que existem apenas cinco Sólidos regulares, ou Sólidos de Platão.
Fontes:
HARTSHORNE, Robin. Geometry: Euclid and Beyond. New York: Springer, 2000.
Sólidos platônicos. Disponível em: <http://superhistorimat.blogspot.com/2011/04/solidos-platonicos-trabalho-do-joao-n16.html>. Acesso em: 17 out. 2019.
Sólidos platônicos: história. Disponível em: <https://matemania.blogs.sapo.pt/343.html.>Acesso: em 17 out. 2019.
Aulas de Geometria Espacial – UNICAMP (1º Sem. 2019)