Sólidos Arquimedianos - Derivando a matemática

Derivando a Matemática

Os 13 sólidos Arquimedianos

e suas particularidades no geogebra

Conhecendo como são construídos

Você conhece algum outro tipo de poliedro além um dos cinco platônicos, ou seja, poliedros regulares com o mesmo polígono regular em cada uma de suas faces? Lembre que um poliedro é convexo quando está todo de um “mesmo lado” em relação ao plano que contém qualquer uma de suas faces (os polígonos).

Os sólidos arquimedianos, ou sólidos semirregulares, são poliedros convexos cujas faces são polígonos regulares, mas agora não temos a exigência de que todas as faces sejam o mesmo polígono, isto é, contanto que sejam regulares estamos satisfeitos. Estes sólidos recebem o nome do matemático, físico, engenheiro, inventor e astrônomo grego Arquimedes de Siracusa, pois foi ele quem os estudou no século III A.C.

Outro aspecto muito importante nesses poliedros é que em cada vértice deve haver o mesmo arranjo de polígonos (por exemplo, em um cubo temos o arranjo $ (4,4,4) $, pois em cada um deles temos 3 faces quadradas, isto é, de 4 lados), e essa é uma das exigências para o sólido ser arquimediano.

Com essas considerações, podemos garantir (e provar, para os mais curiosos) que:

Existem somente 13 sólidos Arquimedianos onde cada uma de suas faces são polígonos regulares e em cada vértice temos a mesma configuração de faces.

Todos esses 13 sólidos arquimedianos são obtidos através de transformações nos sólidos de Platão como o truncamento, que consiste em dividir as arestas do poliedro em partes iguais e construir nesses pontos novos vértices. Na realidade, 11 desses sólidos são obtidos através de cortes (truncamentos) nos sólidos platônicos, e são eles: tetraedro truncado, cubo truncado, cuboctaedro, rombicuboctaedro, cuboctaedro truncado, octaedro truncado, icosaedro truncado, dodecaedro truncado, icosidodecaedro, rombicosidodecaedro e o icosidodecaedro truncado. Enquanto que os 2 restantes (cubo snub e dodecaedro snub) são obtidos através do processo de snubficação. Em poucas palavras, a snubficação é o processo de afastar as faces de um poliedro e preencher os espaços vazios com outros polígonos, e em alguns casos, é necessário também rotacionar estas faces. Outro fato interessante é que, por serem convexos, todos os sólidos arquimedianos satisfazem a relação de Euler: $$ V+F-A=2 $$ Agora que você já sabe o essencial, é só explorar as características de cada poliedro e se divertir com o Geogebra.

Tetraedro Truncado

Configuração: $ (3,6,6) $

Composiçāo: 4 triângulos equiláteros e 4 hexágonos regulares.

Cubo Truncado

Configuração: $ (3,8,8) $.

Composiçāo: 8 triângulos equiláteros e 6 octógonos regulares.

Cuboctaedro

Configuração: $ (3,4,3,4) $.

Composiçāo: 8 triângulos equiláteros e 6 quadrados.

Octaedro
Truncado

Configuração: $ (4,6,6) $.

Composiçāo: 8 hexágonos regulares e 6 quadrados.

Cuboctaedro
Truncado

Configuração: $ (4,6,8) $.

Composiçāo: 12 quadrados,

6 octógonos regulares e

8 hexágonos regulares.

Cubo Snub

Configuração: $ (3,3,3,3,4) $.

Composiçāo: 6 quadrados e

32 triângulos equiláteros..

Dodecaedro
Truncado

Configuraçao: $ (3,10,10) $.

Composiçāo: 20 triângulos equiláteros e 12 decágonos regulares

Icosaedro
Truncado

Configuração: $ (5,6,6) $.

Composiçāo: 12 pentágonos regulares e 20 hexágonos

regulares.

Icosidodecaedro

Configuração: $ (3,5,3,5) $.

Composiçāo: 20 triângulos equiláteros e 12 pentágonos regulares.

Rombicosidode-
caedro

Configuração: $ (3,4,5,4) $.

Composiçāo: 20 triângulos equiláteros 30 quadrados e 12 pentágonos regulares.

Icosidodecaedro Truncado

Configuração: $ (4,6,10) $.

Composiçāo: 30 quadrados, 20 hexágonos regulares e

12 decágonos regulares.

Dodecaedro
Snub

Configuração: $ (3,3,3,3,5) $.

Composiçāo: 80 triângulos equiláteros 12 pentágonos regulares.

Rombicuboctaedro

Pseudorombicuboctaedro

Rombicuboctaedro

Configuração: $ (3,4,4,4) $.

Este poliedro é um caso especial, pois girando sua tampa em 45º obtemos um novo solido, seu dual, chamado Pseudorombicuboctaedro, que ainda satisfaz as condições de sólido arquimediano.

Composiçāo: 18 quadrados,

e 8 triângulos equiláteros.

Uma demonstração formal

Isto exige certo grau de compreensão de Geometria Espacial e familiaridade com demonstrações.

Teorema

Além dos cinco poliedros regulares e das duas infinitas famílias de prismas e antiprismas, existe somente 13 (e um variante) outros poliedros semirregulares.

Uma preparação para a demonstração

Antes de começarmos a demonstração, vamos entender o que são os prismas e antiprismas, e o que de fato são poliedros semirregulares. Além de adotarmos uma notação que facilitará a demonstração.

Prismas: Os prismas são compostos por duas faces paralelas chamadas diretrizes, as quais dão nome ao prisma, e vários retângulos (tantos quanto o número de lados das faces das bases). Estes tem a sequência $ (4,4,n) $, pois temos em cada vertice 2 retângulos e um polígono de $n$ lados da base.

Antiprismas: São compostos por duas faces poligonais iguais e paralelas chamadas diretrizes, ligadas por triângulos. Estes são da forma $ (3,3,n) $, pois temos em cada vertice dois triângulos e um polígono de $n$ lados da base.

Poliedros semirregulares: São aqueles que contem apenas polígonos regulares como faces e de cada vertice incide a mesma sequência de faces. Por exemplo, o tetraedro é um poliedro semirregular com apenas polígonos regulares nas faces e de cada vértice incide a sequencia $ (3,3,3) $.

Lema: Em poliedros convexos, a soma dos ângulos em um vertice deve ser menor que $ 2\pi $.

Lema: A soma dos ângulos de um poligono de $n$ lados é $ (n-2)\pi $ .

Demonstração:

Usaremos um critério numérico para limitar os possíveis comportamentos em um vertice e mostraremos a existência e unicidade dos sólidos.

Como os sólidos são convexos, a soma dos ângulos em um vértice deve ser menor que $ 2\pi $. Ainda mais, a soma dos ângulos internos de um polígono regular é $ (n-2)\pi $ . Então em um vértice $ (a_1,a_2, \dots , a_k) $ temos:

$$ \sum_{i=1}^{k} \frac{a_i-2}{a_i}\pi < 2\pi \quad \Rightarrow \quad \sum_{i=1}^{k} -\frac{a_i}{a_i}+\frac{2}{a_i} > -2 \quad \Rightarrow \quad \sum_{i=1}^{k} \frac{2}{a_i} > k \ – 2 \quad \quad (1) $$

($k$ é o número de faces do em torno de um vértice)

E essa é a nossa restrição numérica para as possíveis configurações de vértices. Veja que $ 3 \le k \le 5 $, pois como cada polígono regular é pelo menos um triângulo, se tivéssemos $ k \ge 6 $ , a soma dos ângulos em torno de um vértice seria maior ou igual a $ 2\pi $.

CASO K = 3

Caso 1: $k=3$

Cada vertice tem 3 faces, sejam elas $ (a,b,c) $. Então substituindo em $ (1) $, obtemos:

$$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} > \frac{1}{2} \quad \quad (2) $$

Se $ a=b=c $ então temos que $ \frac{3}{a} > \frac{1}{2} \Rightarrow a < 6 $, ou seja, $ a = 3,4,5 $ e isso corresponde a três dos 5 sólidos platônicos:

$ (3,3,3) $- TETRAEDRO REGULAR

$ (4,4,4) $ – CUBO

$ (5,5,5) $- DODECAEDRO

Se pelo menos duas das três $ a,b,c $ são diferentes, digamos $ a \ne b $ , então ao percorrermos as arestas de uma face-c, as faces adjacentes devem alternar entre $ a $ e $ b $ (pense no significado geométrico). Portanto, $ c $ deve ser par. Essa restrição, junto da desigualdade $ (2) $, limita as possibilidades para $ (a,b,c) $.

Se $ c=4 $: Temos $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} > \frac{1}{4} $, $ a \ne b $ e novamente vamos ver as possibilidades:

- - se $ a= 3 $ então devemos ter $ b = 4 $ pelo CRITÉRIO DE WALSH, que diz que para todo $ p $ ímpar que temos na sequência de uniformidade, ele deve estar entre dois pares iguais $ (b,p,b) $. Neste caso obtemos: $ (3,4,4) $ , 3-prisma (está na classe dos n-prismas)

Podemos usar este caso para generalizar:

- - se $ a $ é um ímpar qualquer, devemos ter $ b=4 $ pelo CRITÉRIO DE WALSH, o que nos dá:

$ (4,4,n) $ – N-PRISMA

- - se $ a=4 $, $ b $ pode ser qualquer pois a desigualdade sempre vale para $ b \ge 3 $.
  - se $ a=6 $, temos que $ b $ não pode ser ímpar pelo CRITÉRIO DE WALSH e $ b \ne 6 $. Então, pela desigualdade obtemos que $ 8 \le b < 12 $ e assim:
    - - se $ b = 8 $ temos:

$ (4,6,8) $- CUBOCTAEDRO TRUNCADO

- - - - se $ b = 10 $ temos:

$ (4,6,10) $ – ICOSADODECAEDRO TRUNCADO

- - se $ a = 8 $, temos que $ b $ não pode ser ímpar pelo CRITÉRIO DE WALSH e $ b \ne 8 $:
    - - se $ b= 4 $ temos N-prisma como anteriormente.
      - se $ b \ge 10 $ não satisfaz a desigualdade.

- - se $ a= 10 $, então $ b $ não pode ser ímpar e:
    - - se $ b=4 $, temos N-prisma
      - e daqui em diante todos os casos não valem ou são antiprismas.

Se $ c = 6 $ : Temos $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} > \frac{1}{3} $, $ a \ne b $ e novamente vamos ver as possibilidades:

- - se $ a $ é um ímpar qualquer, devemos ter $ b = 6 $ pelo CRITÉRIO DE WALSH, e neste caso: $ 3 \le a < 6 $:
    - - se $ a=3 $ temos:

$ (3,6,6) $ – TETRAEDRO TRUNCADO

- - - - se $ a = 5 $ temos:

$ (5,6,6) $ – ICOSAEDRO TRUNCADO

- - se $ a=4 $ obtemos que $ b > 4 $ (pois $ a \ne b $ ) e $ b<12 $ para satisfazer a desigualdade. Mas $ b$ não pode ser ímpar pelo CRITÉRIO DE WALSH. Resta que $ b=6 $, $ b=8 $ ou $ b=10 $. Mas os casos $ b=8 $ e $ b=10 $ nós já classificamos e resta o caso
    - - $ b=6 $ e temos:

$ (4,6,6) $ – OCTAEDRO TRUNCADO

- - se $ a=6 $, temos $ 3 \le b < 6 $ ou seja, $ b=3,4,5 $. Mas já listamos todos estes casos.
  - se $ a = 8 $, temos que $ b $ não pode ser ímpar e $ b \ne 8 $:
    - - se $ b=4 $ a desigualdade não é satisfeita, o que descarta o caso $ a=8 $.

Logo, a partir de $ a=8 $ (com $ a $ par) a desigualdade deixa de ser satisfeita.

Se $ c=8 $, temos $ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}>\frac{3}{8} $ com $ a \ne b $:

- - se $ a $ é um ímpar qualquer, devemos ter $ b=8 $ pelo CRITÉRIO DE WALSH, e neste caso, pela desigualdade, $ 3 \le a <4 $, ou seja, $ a $ só pode ser $ 3 $ e temos o caso:

$ (3,8,8) $ – CUBO TRUNCADO

- - se $ a $ é par, ele deve ser ao menos $ 4 $ e, neste caso $ b $ não pode ser ímpar pelo CRITÉRIO DE WALSH.
    - - se $ a=4 $, temos que $ b=6 $ (pois $ a \ne b $) e neste caso a desigualdade não é satisfeita.
      - se $ a=6 $, temos que $ b=4 $ (pois $ a \ne b $) e novamente ela não é satisfeita.
      - para $ a>6 $ podemos concluir que a desigualdade não vale e encerramos este caso.

Se $ c= 10 $, temos $ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}>\frac{2}{5} $ com $ a \ne b $:

- - se $ a $ é um ímpar qualquer, devemos ter $ b=10 $ pelo CRITÉRIO DE WALSH, e neste caso, pela desigualdade, $ 3 \le a \le \frac{10}{3} $, ou seja, $ a $ só pode ser $ 3 $ e temos o caso:

$ (3,10,10) $ – DODECAEDRO TRUNCADO

- - se $ a $ é par, ele deve ser ao menos $ 4 $ e, neste caso $ b $ não pode ser ímpar pelo CRITÉRIO DE WALSH.
    - - se $ a=4 $, temos $ b=6 $ (pois $ a \ne b $) e neste caso a desigualdade não é satisfeita.
      - para qualquer $ a \ge 4 $ a desigualdade não vale e encerramos este caso.

Se $ c=12 $ temos $ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}>\frac{5}{12} $ com $ a \ne b $:

- - se $ a $ é um ímpar qualquer, devemos ter $ b=12 $ e neste caso, temos $ a < 3 $ o que é ímpossivel.
  - se $ a $ é um par, $ b $ não pode ser ímpar, temos:
    - - se $ a=4 $, $ b=6 $ (pois $ a \ne b $) e neste caso a desigualdade não é satisfeita e o mesmo ocorre daqui pra frente.

Logo, a partir de $ c=10 $ não temos uma solução para a desigualdade, o que encerra o caso $ k=3 $.

CASO K = 4

Caso 2: $ k=4 $

Cada vertice tem 4 faces, sejam elas $ (a,b,c,d) $. Então substituindo em $ (1) $, obtemos:

$ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}>1 $

Se $ a=3 $ temos agora outra limitação. Olhando para o que ocorre na borda de um triângulo, vemos que em cada vértice do triângulo $ b $ e $ d $ são faces opostas pelo vértice, compartilhando uma aresta com o triângulo, enquanto $ c $ é oposto do triângulo em cada vértice. Disto segue que $ b=d $.

O caso mais simples é quando temos que $ a=b=c=d $ e neste caso obtemos um poliedro de platão que já conhecemos:

$ (3,3,3,3) $ – OCTAEDRO REGULAR

Como $ a=3 $ (fixado) e $ b=d $, se tivermos:
- - se $ b=d=3\Rightarrow \frac{1}{c}+\frac{3}{3}>1 $ e $ c $ é qualquer. Temos:

$ (3,3,3,n) $ – N-ANTIPRISMA, com $ c>3 $

- - se $ b=d=4 $ e podemos ter:
    - - $ c=3 $ temos:

$ (3,4,3,4) $ – CUBOCTAEDRO

- - - - $ c=4 $ temos:

$ (3,4,4,4) $ – ROMBICUBOCTAEDRO – PSEUDOROMBICUBOCTAEDRO

- - - - $ c=5 $ temos:

$ (3,4,5,4) $ – ROMBICOSIDODECAEDRO

- - - - $ c=6 $ temos que a desigualdade não é satisfeita.

- - se $ b=d=5 $ podemos ter:
    - - $ c=3 $ temos:

$ (3,5,3,5) $ – ICOSIDODECAEDRO

- - - - $ c=4 $ temos que a desigualdade não é satisfeita.

- - se $ b=d=6 $ não existe $ c \ge 3 $ que satisfaça a desigualdade.

SE nenhuma das faces é igual a 3, o caso inicial é termos $ a=b=c=d=4 $, mas veja que estes valores não satisfazem a desigualdade $ \frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4} > 1 $. O que encerra o caso $ k=4 $.

CASO K = 5

Caso 3: $ k=5 $:

Cada vértice tem 5 faces e a desigualdade fica:

$$ \sum_{i=1}^5 \frac{2}{a_i} > 3 \Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{e}> \frac{3}{2} $$

O caso mínimo é termos $ a=b=c=d=e=3 $ e neste caso temos:

$ (3,3,3,3,3) $ – ICOSAEDRO REGULAR

Se ao menos um número da sequência é diferente de 3, seja ele o número $ e $, temos:

- - se $ e =4 $ temos:

$ (3,3,3,3,4) $ – CUBO SNUB

- - se $ e=5 $ temos:

$ (3,3,3,3,5) $ – DODECAEDRO SNUB

- - se $ e=6 $ temos que a desigualdade não é satisfeita.

Se mais de um deles é diferente de 3, o caso mínimo é serem $ d=e=4 $, mas isto não satisfaz a desigualdade, o que encerra este caso.

$\square$

Logo, existem apenas 13 sólidos de Platão.

Fontes:

HARTSHORNE, Robin. Geometry: Euclid and Beyond. New York: Springer, 2000.

Aulas de Geometria Espacial – UNICAMP (1º Sem. 2019)

Derivando a Matemática

Os 13 sólidos Arquimedianos

e suas particularidades no geogebra ​

Conhecendo como são construídos

Tetraedro Truncado

Cubo Truncado

Cuboctaedro

OctaedroTruncado

CuboctaedroTruncado

Cubo Snub

DodecaedroTruncado

IcosaedroTruncado

Icosidodecaedro

Rombicosidode-caedro

Icosidodecaedro​ Truncado

Dodecaedro Snub

Rombicuboctaedro

Pseudorombicuboctaedro

Rombicuboctaedro

Uma demonstração formal

Fontes:

e suas particularidades no geogebra

Octaedro
Truncado

Cuboctaedro
Truncado

Dodecaedro
Truncado

Icosaedro
Truncado

Rombicosidode-
caedro

Icosidodecaedro Truncado

Dodecaedro
Snub