Sistemas lineares: algumas aplicações

Derivando a Matemática

Sistemas de equações:

algumas aplicações

Uma breve introdução

Um sistema linear de $ m $ equações e $ n $ incógnitas é um conjunto de $ m $ equações lineares onde cada uma possui $ n $ variáveis. $$ \begin{cases} a_{11} x_1 & + & a_{12} x_2 & + & \cdots & + & a_{1n} x_n = & b_1 \\ a_{21} x_1 & + & a_{22} x_2 & + & \cdots & + & a_{2n} x_n = & b_2 \\ \hspace{0.8cm} \vdots & & \hspace{0.8cm} \vdots & & & & \hspace{0.8cm} \vdots & \hspace{0.2cm} \vdots \\ a_{n1} x_1 & + & a_{n2} x_2 & + & \cdots & + & a_{nn} x_n = & b_n \end{cases} $$

A solução do sistema linear é uma sequência de números $ s_1, s_2, \dots, s_n $ que é solução de cada equação do sistema.

Sobre a quantidade de soluções de um sistema de equações lineares, temos três possibilidades:

o sistema tem exatamente uma solução (sistema possível e determinado)
o sistema tem infinitas soluções (sistema possível e indeterminado)
o sistema não possui soluções (sistema impossível)

Para resolver estes sistemas há diversos métodos, como o Método de Gauss, Método da matriz inversa, Regra de Cramer e a fatoração LU.

Mas antes de tentar algum desses métodos, podemos verificar a quantidade de soluções do sistema. Basta calcularmos o determinante da matriz associada aos coeficientes do sistema e temos:

SPD (Sistema Possível e Determinado): se o determinate for diferente de zero;
SPI (Sistema Possível e Indeterminado) se o determinante for igual a zero;
SI (Sistema Impossível) se o determinante principal for igual a zero e o determinante secundário for diferente de zero.

Agora que você relembrou algumas propriedades básicas de sistemas de equações, podemos ver algumas aplicações

Sistemas lineares no tráfego de veículos

Problema: Considere quatro cruzamentos $ A $, $ B $, $ C $ e $ D $, da como na imagem, onde as setas indicam o sentido do tráfego,

Do cruzamento $ A $ saem 40 carros por hora, do cruzamento $ B $ saem 55 carros por hora, do cruzamento $ C $ para $ D $ passam 30 carros por hora, e de $ D $ para $ B $ passam 20 carros por hora.

Descubra a quantidade de carros que circulam no restante das ruas, considerando que nenhum carro fica parado.

Solução

Primeiramente, vamos atribuir incógnitas às quantidades de carros que passam em cada rua, pois estes são os valores que queremos descobrir.

Como nenhum carro fica parado, a quantidade de veículos que entram em $ A $, é a mesma quantidade de veículos que saem de $ A $. Com isso, podemos afirmar que $ 40 = x_1 + x_2 $.

Seguindo este mesmo raciocínio, podemos montar uma tabela com o número de carros que entram e que saem de cada cruzamento.

Veja que na primeira linha, consideramos a entrada e saída de veículos de todo o sistema, e note também que os carros só podem entrar por $ A $ e $ C $, e só podem sair por $ B $ e $ D $, então obtemos:

Entram	Saem
$ 40 + x_4 $	$ 55 + x_5 $
$ 40 $	$ x_1 + x_2 $
$ x_1 + x_3 + 20 $	$ 55 $
$ x_2 + x_4 $	$ x_3 + 30 $
$ 30 $	$ 20 + x_5 $

Já deu pra perceber que isso forma um sistema de cinco equações e cinco incógnitas né? Bom, agora é só resolver esse sistema e encontrar os valores pedidos. $$ \begin{cases} \begin{matrix} x_4-x_5=15 \\ x_1+x_2=40 \\ x_1+x_3=35 \\ x_2-x_3+x_4=30 \\ x_5=10 \end{matrix} \end{cases} $$ Resolvendo este sistema, você encontrará $ x_1=35-x_3,\quad x_2=5+x_3,\quad x_3=x_3,\quad x_4=25 \ \text{ e }\ x_5=10 $ ou seja, o sistema é compatível e indeterminado (existem infinitas soluções), o que quer dizer que para encontrar todos os valores nestas condições, precisaríamos saber o valor de $ x_3 $.

Balanceamento de equações químicas

A Estequiometria é o cálculo que permite relacionar quantidades de reagentes e produtos que participam de uma reação química com o auxílio das equações químicas correspondentes. Para uma equação química estar balanceada, é necessário que o número de átomos de cada elemento seja o mesmo em cada lado da equação.

Para fazermos um balanceamento é necessário colocarmos um número (denominado coeficiente estequiométrico) antes dos símbolos. Esses coeficientes, usados no balanceamento de uma equação química, devem ser sempre os menores números inteiros possíveis.

Numa reação química temos um rearranjo de átomos, onde reagentes são transformados em produtos.

Problema: Consideremos a equação química:

$$ H_2 + O_2 \rightarrow H_2 O $$

Esta equação não está balanceada, pois o número de átomos do oxigênio não é o mesmo em cada lado.

Se os coeficientes estequiométricos forem respectivamente $ x $, $ y $ e $ z $, temos:

$$ xH_2+yO_2\rightarrow zH_2O $$

$$ \begin{cases}
2x = 2z \\
2y = z
\end{cases} $$

Após escalonarmos o sistema obtemos

$$ \begin{cases} 2x + 0y – 2z=0 \\ 0x + 2y – z = 0 \end{cases} $$

No sistema de equações acima, o número de equações é menor do que o número de incógnitas, portanto, o sistema é SPI (sistema Possível e indeterminado), ou seja, admite mais de uma solução. Porém só nos interessa a menor solução inteira. Pelo sistema escalonado, a solução genérica deste sistema é $ (\alpha, \alpha / 2, \alpha) $. Como os coeficientes precisam ser inteiros e os menores possíveis, então devemos ter $ x = 2 $, e a solução $ x = 2, y = 1 \text{ e } z = 2 $.

Logo, a equação balanceada é:

$$ 2 H_2 + 1 O_2 \rightarrow 2 H_2O $$

Função polinomial

Com $ n $ pontos num plano $ xy $, $ (x_1,y_1), (x_2,y_2), \ \dots , \ (x_n,y_n) $, representando uma coleção de dados, pretendemos encontrar uma função polinomial de grau $ n – 1 $, $ p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+…+a_{n-1}x^{n-1} $, cujo gráfico passa por todos os pontos especificados. Este procedimento é chamado de curva polinomial. Se todas as coordenadas dos pontos são distintas, então existe precisamente uma função polinomial de grau $ n – 1 $ (ou menos) que se ajusta aos $ n $ pontos. Para encontrar os $ n $ coeficientes de $ p(x) $, substituímos cada um dos $ n $ pontos na função polinomial e obtemos $ n $ equações lineares nas variáveis $ a_0, a_1, \ \dots , \ a_{n-1} $, ou seja, obtemos o seguinte sistema linear de $ n $ equações e $ n $ variáveis. $$ \begin{cases} a_0 & + & a_{1} x_1 & + & a_{2} x_1^2 & + & \cdots & + & a_{n-1} x_1^{n-1} = & y_1 \\ a_0 & + & a_{1} x_2 & + & a_{2} x_2^2 & + & \cdots & + & a_{n-1} x_2^{n-1} = & y_2 \\ \hspace{0.2cm} \vdots & & & & & & \hspace{0.3cm} \vdots & & \hspace{1cm} \vdots & \hspace{0.2cm} \vdots \\ a_0 & + & a_{1} x_n & + & a_{2} x_n^2 & + & \cdots & + & a_{n-1} x_n^{n-1} = & y_n \end{cases} $$ na forma matricial: $$ \underbrace{ \begin{pmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1} \end{pmatrix} }_{\text{Matriz de Vandermonde}} \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ \vdots \\ a_{n-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix} $$

Problema: encontrar a função polinomial de grau $2$, dada por $ p(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 $, cujo gráfico passa pelos pontos $ (1,4 ) $,$ (2,0 ) $ e $ (3,12 ) $.

Devemos substituir os três pontos na equação polinomial, obtendo um sistema de 3 equações nas variáveis $a_0$, $a_1$ e $a_2$. Assim obtemos:

$$
\begin{cases} \begin{matrix}
a_0\ + a_1 + a_2 =\ 4 \\
a_0 + 2a_1 + 4a_2 =\ 0 \\
a_0 + 3a_1 + 9a_2\ = 12
\end{matrix} \end{cases}
$$

Resolvendo o sistema, obtemos $ a_0 = 24 $, $ a_1 = -28 $ e $ a_2 = 8 $. E a função procurada é $ p(x) = 24 – 28x + 8x^2 $. Verifique isso geometricamente plotando o gráfico e os pontos no Geogebra!.

Outras aplicações
dos sistemas no mundo

SISTEMAS GPS

O Sistema de Posicionamento Global (GPS) é uma rede de 24 satélites originalmente desenvolvidos pelos militares dos EUA como uma ferramenta de navegação. Hoje, a tecnologia GPS é usada em uma ampla variedade de aplicações civis, tais como entrega de pacotes, agricultura, mineração, agrimensura, construção, serviços bancários, previsão do tempo e assistência em desastres. Um receptor GPS funciona usando leituras de satélite para calcular sua localização. Em três dimensões, o receptor usa sinais de pelo menos quatro satélites para “trilaterar” sua posição. Em um modelo matemático simplificado, um sistema de três equações lineares em quatro incógnitas (três dimensões e tempo) é usado para determinar as coordenadas do receptor em função do tempo.

RUÍDO ACÚSTICO

Pesquisadores na Itália estudando os níveis de ruído acústico no tráfego de veículos em um cruzamento movimentado de três vias usaram um sistema de equações lineares para modelar o fluxo tráfego no cruzamento. Para ajudar a formular o sistema de equações, os “operadores” se posicionaram em vários locais ao longo do cruzamento e contaram o número de veículos que passaram por eles. (Source: Acoustical Noise Analysis in Road Intersections: A Case Study, Guarnaccia, Claudio, Recent Advances in Acoustics & Music, Proceedings of the 11th WSEAS International Conference on Acoustics & Music: Theory & Applications)

TRIPULAÇÃO DE VOO

Muitas aplicações de sistemas lineares na vida real envolvem um número enorme de equações e variáveis. Por exemplo, um problema de agendamento da tripulação de voo para a American Airlines exigia a manipulação de uma matriz com 837 linhas e mais de 12.750.000 colunas. Para resolver esta aplicação de programação linear, pesquisadores particionaram o problema em pequenas pecas e resolveram em um computador.(Source: Very Large-Scale Linear Programming. A Case Study in Combining Interior Point and Simplex Methods, Bixby, Robert E., et al., Operations Research, 40, no. 5)

MECANISMOS DE BUSCA

Sistemas de recuperação de informações como mecanismos de busca na Internet fazem uso da teoria matricial e da álgebra linear para manter o controle da informação. Para ilustrar, considere um exemplo simplificado. Você pode representar as ocorrências de $m$ palavras-chaves disponíveis em uma base de dados de $n$ documentos por $A$, uma matriz $m \times n$ em que a entrada é $1$ quando a palavra-chave ocorre no documento e $0$ quando não ocorre no documento. Você poderia representar a busca com uma matriz coluna $\mathbf{x}$ de dimensões $m \times 1$, na qual o elemento $1$ representa a palavra-chave que você está procurando e $0$ representa a palavra-chave que você não está procurando. Então a matriz produto de tamanho $n \times 1$, $A^T \mathbf{x}$ representaria o número de palavras-chave em sua pesquisa que ocorre em cada um dos $n$ documentos.

Fontes:

Aplicações de sistemas lineares. (5m31s). Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=qGLW6cFX6GA&t=164s>. Acesso em: 20 jan. 2020.

LARSON, Ron. Elementos de álgebra linear. 8 ed. São Paulo: Cengage, 2017.

POLONI, Hércules Luiz. Sistemas lineares, aplicações e representação gráfica. 2018. Dissertação (mestrado profissional) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica, Campinas, SP. Disponível em: <http://www.repositorio.unicamp.br/handle/REPOSIP/331871>. Acesso em: 28 jan. 2020.

Entram	Saem
\( 40 + x_4 \)	\( 55 + x_5 \)
\( 40 \)	\( x_1 + x_2 \)
\( x_1 + x_3 + 20 \)	\( 55 \)
\( x_2 + x_4 \)	\( x_3 + 30 \)
\( 30 \)	\( 20 + x_5 \)