Que número é esse tão importante que tem até data comemorativa?
Um dos números irracionais mais famosos e certamente muito curioso é o número PI e, antes de começarmos toda a história, que tal apreciar este número com 100 das suas infinitas casas decimais?
Antes de começar a falar um pouco da matemática e aplicações, podemos introduzir nosso estudo com o vídeo do Professor Albert, que conta essa história através de um vídeo muito fofo:
Na matemática...
Uma das definições para o \(\pi\) é que ele é um número irracional (não pode ser obtido pelo quociente de dois inteiros), dado pela relação entre o perímetro e o diâmetro de uma circunferência: é o perímetro de uma circunferência com 1 de diâmetro.
A letra grega \(\pi\) foi adotada como notação para este número usando-se a palavra grega para perímetro: “περίμετρος”, provavelmente por William Jones em 1706, e acredita-se que só depois de Leonhard Euler adotar essa notação, ela passou a ser aceita pela comunidade cientifica da época. E outros nomes para \(\pi\) são constante circular ou número de Ludolph.
Uma circunferência de diâmetro 1 têm perímetro .
Fonte: Wikipédia
Como dito no vídeo do professor Albert, o homem persegue a precisão do número \(\pi\) desde a antiguidade, começando pelos egípcios, tendo no Papiro de Ahmes uma aproximação para \(\pi\) como \(\left(\frac{4}{3}\right)^4\) ou ainda, \(3\frac{1}{6}\). Há também indícios na Bíblia (1 Reis 7:23) de que os Hebreus utilizavam 3 como aproximação de \(\pi\).
No que diz respeito à obtenção do número, estima-se que em 250 A.E.C. Arquimedes obteve uma aproximação de Pi calculando o perímetro de dois hexágonos, um inscrito e outro circunscrito numa circunferência. Ao aumentar o número de lados do polígono, até chegar aos 96 lados, conseguiu uma aproximação igual a 3,142.
Seguindo a mesma técnica, Ptolomeu usou um polígono de 720 lados e obteve uma estimativa mais refinada, 3,1416 . E novamente, por volta de Mais tarde, por volta do séc. V, os chineses, utilizaram um polígono com 3072 lados e conseguiram estimar \(\pi\) como 3,14159.
E daí em diante, a precisão de \(\pi\) foi só aumentando, principalmente com o surgimento dos computadores, passando de 3 casas decimais a 8 quadrilhões de casas decimais em 2013 pela The Santa Clara University.
Atualmente, o número de casas decimais obtidas é de 22.459.157.718.361.
Para obter o número \(\pi\), matematicamente, há muitos métodos diferentes, alguns simples e outros mais complexos. Alguns métodos são: Método clássico para o cálculo de \(\pi\); Método de Arquimedes; Métodos estatísticos; Métodos de séries infinitas; Métodos de cálculo numérico; Algoritmo de Gauss-Legendre e Método de cálculo isolado das decimais. Você pode encontrar os conceitos utilizados nestes métodos usando nossa referência [1].
Além da questão de se obter o número \(\pi\), um outro objetivo era demonstrar sua irracionalidade, e uma das pessoas que provaram tal irracionalidade foi Johann Heinrich Lambert, que em 1791 demonstrou que: Se \(x\) é racional e não nulo, então nem \(tan(x)\) nem \(e^x\) podem ser racionais. E, uma vez que \(tan(\frac{\pi}{4})=1\), usando a contrapositiva do teorema, segue que \(\frac{\pi}{4}\) é irracional, e portanto, \(\pi\) é irracional.
Certamente também há outras maneiras de se provar a irracionalidade de \(\pi\), algumas delas exigindo certo conhecimento de séries, cálculo diferencial e integral. Que tal você dar uma olhada em algumas destas?
Contada a história do nosso famoso Pi, vamos ver como usá-lo na prática:
Aplicações
Além das aplicações rotineiras em que usamos o Pi, como nas aulas de Geometria onde buscamos calcular áreas e perímetros de figuras planas, ou até mesmo volumes de cilindros, cones e esferas. onde podemos fazer destes cálculos problemas contextualizados e com certo esforço, muito complicados, há também outros campos em que o número Pi desempenha grande importância, alguns deles são:
Celular
O matemático norte-americano David H. Bailey em uma publicação educativa da Universidade da Califórnia, (UCLA), explicou que o número \(\pi\) tem um papel muito importante na fórmula da Transformada de Fourier, que em linhas gerais, pode ser usada para decompor um sinal nas suas frequências constitutivas.
Ele explica: “O seu celular faz uma Transformada de Fourier quando se comunica com a torre de telefonia móvel local. Até o seu ouvido faz uma Transformada de Fourier (ainda que não seja por computação digital) quando distingue sons de diferentes padrões ou quando reconhece a voz de um amigo”.
A Transformada também é fundamental para a conversão da voz em textos por equipamentos de reconhecimento vocal, como explica Glen Whitney, fundador e diretor do Museu Nacional da Matemática, de Nova York, à revista Smithsonian: “Quando você usa a Siri ou o Google Now, um dos primeiros passos do software consiste em captar a sua voz e fazer uma Transformada de Fourier”.
Para conhecer mais sobre a Transformada de Fourier o canal 3Blue1Brown tem um video bem explicativo do assunto com legendas em português disponíveis.
GPS
Você já sabe como funcionam os GPS? Se você quer entender o papel da Geometria Analítica no sistema de Posicionamento Global, visite nossa página: Como funciona o GPS?
Agora, sobre o número Pi, Chris Budd em entrevista à BBC afirma que “É possível usar pi para descrever a geometria do mundo”. E esta frase pode ser entendida em seu sentido literal. O caso é que, segundo Budd, a importância em calcular Pi com bastante precisão implica no funcionamento de tecnologias modernas como o GPS.
E para além dos GPS’s de carros e celulares, quando os aviões voam grandes distâncias, o que estão fazendo, na realidade, é recorrer ao arco de um círculo. Neste caso, a rota deve ser calculada, utilizando-se Pi, para medir com precisão o volume de combustível necessário.
O número Pi aparece também em cálculos de navegação fora da Terra. A Nasa, por exemplo, utiliza 16 dígitos (3,1415926535897932) para conseguir a precisão desejada ao seu “GPS espacial”, segundo um artigo publicado na revista Scientific American.
Relógio
Uma outra aplicação de Pi está nos relógios de pêndulo. Em linhas gerais, a fórmula matemática para o cálculo do tempo, que faz com que pêndulo oscile de um lado para o outro, se baseia no Pi.
Para visitar
Fontes
Pi. In: Wikipédia, a enciclopédia livre. Disponível em: <https://pt.wikipedia.org/wiki/Pi>. Acesso em: 2 maio 2020.
Prova da irracionalidade de Pi. In: Wikipédia, a enciclopédia livre. Disponível em: <https://pt.wikipedia.org/wiki/Prova_da_irracionalidade_de_%CF%80>. Acesso em: 2 maio 2020.
Enementar, meu caro Watson!. Historia do PI – Professor Albert e a Ciência da Natureza. Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=tWW7b-s56ys&list=PL3nIIiVkzJn0gry3jnsPQMbbJSyHNbgF1&index=26&t=0s>. Acesso em: 01 maio 2020.
BCC Brasil. Dia do pi: para que se usa a mais famosa constante matemática. Dísponível em: <https://www.bbc.com/portuguese/geral-43405566>. Acesso em: 2 maio 2020.