Como já fizemos com as Elipses e Parábolas, vamos estudar a propriedade refletora da Hipérbole e uma importante aplicação desta cônica: os telescópios de reflexão. Vamos começar ilustrando esta propriedade usando a reflexão da luz:
Considere um espelho refletor construído com o formato de um ramo de hipérbole, onde parte refletora está do “lado de fora” da hipérbole, isto é, na sua parte côncava.
Suponhamos que um raio de luz proveniente de um ponto \( A \) incida no espelho em \(P\), de forma que a reta \(AP\) passe pelo foco \(F^\prime\). Então o raio refletido terá de passar pelo outro foco \(F\).
Então, uma boa maneira de anunciar essa propriedade da hipérbole é como fizemos acima, mas nosso objetivo não é só mostrar a aplicabilidade disto no cotidiano, é também provar que esta propriedade vale. Para isso, usaremos a boa e velha matemática.
Os telescópios de refração e reflexão
Quando pensamos no primeiro telescópio, o nome que vem à mente logo de cara é Galileu Galilei, o que faz total sentido, já que foram suas contribuições que nos permitiram desenvolver toda a tecnologia dos telescópios usados atualmente. Mas como isso tudo começou?
Galileu Galilei (1564-1642) foi o primeiro cientista (matemático, e tantas outras coisas) a construir um telescópio para observação astronômica, em 1609, e com isso, pôde observar diversos fenômenos: Galileu viu montanhas e acidentes geográficos na superfície lunar, observou que Vênus passa por fases como a Lua, notou que Saturno tem um formato alongado (devido a seus anéis), e que Júpiter possui satélites girando a sua volta.
Os primeiros telescópios, assim como o de Galileu, foram construídos com lentes e funcionavam com base na refração da luz (luz sendo transmitida entre meios diferentes). São os chamados telescópios refratores.
Mas essas lentes tinham alguns problemas, e um deles é que elas produzem uma deformação das imagens (você já observou objetos dentro de um copo de água, ou viu os olhos de alguém ficarem assustadoramente grandes devido ao grau da lente dos óculos? Isso ilustra bem essa deformação)
Aliado a este problema, como a lente também atua como um prisma, decompondo a luz branca em várias cores, ela produzia as chamadas aberrações cromáticas (os raios de luz se dividiam em diversas cores). que era outro efeito indesejável.
Esses pequenos problemas dos telescópios refratores não existem nos telescópios refletores, que consistem de um espelho parabólico (espero que você tenha dado uma olhada na propriedade refletora da parábola) no fundo de um tubo, Desta maneira, os raios provenientes de um corpo celeste distante (estrela, galáxia, planeta, etc.) formam um feixe praticamente paralelo, que se reflete no espelho e forma a imagem do objeto no foco.
Mas perceba que mesmo nos telescópio refletor temos um pequeno impasse: para ver essa imagem, o observador teria de estar com seu olho posicionado no foco da parábola, mas isso é impossível na prática. E pra resolver este outro problema, contamos com a ajuda de utro gênio: Isaac Newton.
Isaac Newton (1642-1727) resolveu esse problema em seu telescópio refletor, colocando um espelho plano \(E\) entre o espelho parabólico e o foco \(F\) e, com isso, os raios que iriam formar a imagem em \( F \) são novamente refletidos e vão formar essa imagem num ponto \( F^\prime \) fora do tubo do telescópio, onde se posicionam os olhos do observador:
Ainda mais além, em 1672 o astrônomo francês Laurent Giovani Cassegrain, propôs a utilização de um espelho hiperbólico \( E \) ao invés do espelho plano de Newton. Neste sistema, um dos focos da hipérbole coincide com o foco \( F \) da parábola, e agora os raios que iriam formar a imagem no foco \( F \) são refletidos pelo espelho \( E \) e formarão essa imagem no outro foco da hipérbole. E é aqui que entra a tão importante propriedade de reflexão da hipérbole, que queremos estudar.
Mas afinal, qual dos dois últimos modelos é mais vantajoso? Podemos dizer que é o espelho hiperbólico de Cassegrain por alguns motivos:
No modelo de Newton, notamos que o espelho plano não pode ficar muito próximo do foco \( F \), pois pode ocorrer de o ponto F’ ficar dentro do telescópio. Consequentemente, o espelho plano deve ser de tamanho razoável (para poder refletir os raios incidentes), o que pode resultar em um bloqueio significativo da luz incidente no espelho parabólico que forma a parte principal do telescópio.
Já o espelho de Cassegrain, pode ser construído mais próximo ou mais afastado do foco \( F \), mantendo-se fixa a distância \( FF^\prime \) entre os focos da hipérbole; em conseqüência, o tamanho desse espelho pode ser maior ou menor. A distância entre os focos \( F \) e \( F^\prime \) também pode ser alterada para mais ou para menos, sem mudar a posição do foco \( F \). Com todos esses fatos, temos uma maior flexibilidade na montagem do refletor hiperbólico \( E \), que pode ser feita de acordo com as exigências das observações.
Mas como nem tudo são flores, infelizmente as montagens de Cassegrain só começaram a ser utilizadas nos telescópios cerca de um século após terem sido propostas. Desde então passaram a ser largamente usadas, e hoje em dia estão presentes não apenas nos telescópios óticos, mas também nos radiotelescópios. Um fato interessante: O famoso telescópio ótico do observatório de Monte Palomar, que fica a 80 km de San Diego, na Califórnia, utiliza várias montagens do tipo de Cassegrain.
Conhecendo a hipérbole e suas propriedades
Definições: Sejam \( F_1 \) e \( F_2 \) pontos distintos, \( 2c \) sua distância e \( a \) um número real tal que \( 0<a<c \).
- O lugar geométrico \( H \) dos pontos \( X \) tais que \( |d(X,F_1) \ – \ d(X,F_2)| = 2a \) chama-se hipérbole.
- Cada um dos pontos \( F_1 \) e \( F_2 \) é chamado foco da hipérbole, o segmento \( F_1F_2 \) é chamado segmento focal, seu ponto médio, centro da hipérbole, e \( 2c \), distância focal.
- A reta \( F_1F_2 \) chama-se reta focal, e qualquer segmento cujas extremidades (distintas) pertencem a \( H \) chama-se corda da hipérbole.
Obtendo a equação geral da hipérbole
Para deduzir a equação da hipérbole, escolhemos um sistema ortogonal de coordenadas onde \( F_1 = (-c,0) \) e \( F_2 = (c,0) \) (focos sobre o eixo das abscissas), e sabemos que \( X = (x,y) \) pertence hipérbole se, e somente se \( d(X,F_1) \ – \ d(X,F_2) = \pm 2a \), ou seja, se e somente se, \( d(X,F_1) = \pm 2a + d(X,F_2) \), onde prevalece o sinal de \( + \) se \( X \) está mais próximo de \( F_2 \) do que de \( F_1 \), e o sinal de \( – \) se \( X \) está mais próximo de \( F_1 \) do que de \( F_2 \) (pense sobre isto). Logo, \( X = (x,y) \) pertence a \( H \) se, e somente se:
$$ \sqrt{(x+c)^2+y^2}=\pm 2a+\sqrt{(x-c)^2+y^2} $$
para remover as raízes, elevamos ambos os membros ao quadrado e simplificamos, o que resulta em:
$$ (c^2-a^2)x^2-a^2y^2=a^2(c^2-a^2) $$
Para simplificarmos ainda mais esta equação, seja \( b = \sqrt{c^2 \ – \ a^2} \), então, \( c^2 = a^2 + b^2 \) e podemos escrever a equação como \( b^2x^2 \ – \ a^2y^2 = a^2b^2 \). Por fim, dividindo ambos os membros por \( a^2 b^2 \), obtemos a equação geral da hipérbole:
$$ \frac{x^2}{a^2} \ – \ \frac{y^2}{b^2} = 1 $$
E um ponto \( X = (x,y) \) pertence à hipérbole se, e somente se, satisfaz a equação anterior.
Obs.: Note que nos passos anteriores, elevamos a expressão duas vezes ao quadrado. Então, para garantir que podemos fazer isso com segurança, ou seja, para que não existam pontos que não pertencem à hipérbole mas satisfazem sua equação, vamos provar a proposição a seguir:
Proposição: Um ponto \( X = (x,y) \) é um ponto da hipérbole de equação reduzida \( H: x^2 / a^2 \ – \ y^2 / b^2 = 1 \) se, e somente se, as distâncias de \( X \) aos focos \( F_1 \) e \( F_2 \) são:
$$ \begin{align*} d(X,F_1) = \left| \frac{cx} {a} + a \right| && \text{e} && d(X,F_2) = \left| \frac{cx} {a} \ – \ a \right| \end{align*} $$
Além disso:
- \( X \) pertence a \( H_1 \) se, e somente se, \( d(X,F_1) = -cx/a \ – \ a \) e \( d(X,F_2) = -cx/a + a \).
- \( X \) pertence a \( H_2 \) se, e somente se, \( d(X,F_1) = cx/a + a \) e \( d(X,F_2) = cx/a \ – \ a \).
Veja que é suficiente mostrar a ida, pois a volta está “clara”, uma vez que pela definição, um ponto \( X \) pertence à hipérbole se satisfaz \( |d(X,F_1) \ – \ d(X,F_2)| = 2a \) e conforme analisaremos os sinais na demonstração da recíproca, disto segue que \( d(X,F_1) = \left| \frac{cx} {a} + a \right| \) e \( d(X,F_2) = \left| \frac{cx} {a} \ – \ a \right| \).
Supondo agora que \( X = (x,y) \) e \( x^2 / a^2 \ – \ y^2 / b^2 = 1 \) (satisfaz a equação geral), então \( y^2 = b^2 x^2/a^2 \ – \ b^2 \)e, usando que \( c^2 = a^2 + b^2 \) obtemos:
$$ \begin{align*} d(X,F_1)^2 &=(x+c)^2+y^2 \\[2mm] &= x^2+2cx+c^2+\frac{b^2x^2}{a^2}-b^2\\[2mm] &= \frac{(a^2+b^2)x^2}{a^2}+2cx+c^2-b^2\\[2mm] &= \frac{c^2x^2}{a^2}+2cx+a^2= \left(\frac{cx}{a}+a \right)^2 \end{align*} $$
De modo análogo obtemos que \( d(X,F_2)^2 = (cx/a -a)^2 \) e, tirando as raízes, segue que:
$$ \begin{align*} d(X,F_1) = \left| \frac{cx} {a} + a \right| && \text{e} && d(X,F_2) = \left| \frac{cx} {a} \ – \ a \right| \end{align*} $$
Da relação \( c^2 = a^2 + b^2 \), podemos concluir que \( c>a>0 \). Além disso, da hipótese, temos \( x^2 / a^2 \ – \ y^2 / b^2 = 1 \) e, resulta que \( x^2/a^2 \ge 1 \Rightarrow x^2 \ge a^2\). Neste caso temos duas possibilidades: \( x \le -a \) e \( x \ge a \). Vamos analisar os dois casos, multiplicando por \( c/a > 0\) e notando que \( cx/a -a < cx/a + a \). ( \( a \) é um número positivo).
- Caso 1: Se \( x \le -a \), então \( cx/a \le -c < -a \) e, portanto, \( cx/a + a < 0\) e \( cx/a -a < 0\). Das expressões de \( d(X,F_1) \) e \( d(X,F_2) \), segue que \( d(X,F_1)-d(X,F_2)=-cx/a-a-(-cx/a+a)=-2a \).
- Caso 2: Se \( x \ge a \), então \( cx/a \ge c > a \) e, portanto, \( cx/a -a > 0 \) e
\( cx/a + a >0 \). Novamente das expressões de \( d(X,F_1) \) e \( d(X,F_2) \), segue que \( d(X,F_1)-d(X,F_2)=cx/a+a-(cx/a-a)=2a \).
Nos dois casos, temos que \( |d(X,F_1) \ – \ d(X,F_2)| = 2a \) e provamos então que todo ponto \( X = (x,y) \) satisfazendo \( x^2 / a^2 \ – \ y^2 / b^2 = 1 \) pertence à hipérbole \( H \).
Para o restante das afirmações, basta notar que os pontos de \( H_1 \) são aqueles em que \( x \le -a \) (estão mais próximos de \( F_1 \) ) e neste caso, vimos que \( d(X,F_1) = -cx/a \ – \ a \) e \( d(X,F_2) = -cx/a + a \).
Similarmente, os pontos de \( H_2 \) são aqueles em que \( x \ge a \) e das expressões de \( d(X,F_1) \) e \( d(X,F_2) \), obtemos que \( d(X,F_1) = cx/a + a \) e \( d(X,F_2) = cx/a \ – \ a \).
(ufa!)
A propriedade refletora da hipérbole
Lema 1: Sejam \( \vec{u} = \vec{AB} \) e \( \vec{v} = \vec{AC} \) vetores não nulos de normas \(b\) e \(c\) respectivamente. Então o vetor \( \vec{w} = c \vec{u} + b \vec{v} \) é paralelo à bissetriz de \( B \hat{A} C \).
Para mostrar \( \vec{w} = c \vec{u} + b \vec{v} \) é paralelo à bissetriz de \( B \hat{A} C \), devemos mostrar que o o ângulo entre \( \vec{u} \) e \( \vec{w} \) é igual ao ângulo entre \( \vec{v} \) e \( \vec{w} \).
Usando o produto escalar entre vetores, sabemos que se \( \theta = ang \left( \vec{i}, \vec{j} \right) \) então \( \cos\theta=\frac{\vec{i} \cdot \vec{j}}{ || \vec{i} || \ || \vec{j} || } \) . Assim,
$$ \cos\theta_1 = \frac{\vec{u} \cdot (c\vec{u} + b\vec{v})}{b \lVert \vec{w} \rVert} = \frac{1}{\lVert \vec{w} \rVert} \left( \frac{c}{b} \lVert \vec{u} \rVert^2 + \vec{u} \cdot \vec{v} \right) = \frac{1}{\lVert \vec{w} \rVert} \left( \frac{c}{b} b^2 + \vec{u} \cdot \vec{v} \right) = \frac{1}{\lVert \vec{w} \rVert} \left( cb + \vec{u} \cdot \vec{v} \right) $$
$$ \cos\theta_2 = \frac{\vec{v} \cdot (c\vec{u} + b\vec{v})}{c \lVert \vec{w} \rVert} = \frac{1}{\lVert \vec{w} \rVert} \left( \frac{b}{c} \lVert \vec{v} \rVert^2 + \vec{u} \cdot \vec{v} \right) = \frac{1}{\lVert \vec{w} \rVert} \left( \frac{b}{c} \cdot c^2 + \vec{u} \cdot \vec{v} \right) = \frac{1}{\lVert \vec{w} \rVert} \left( cb + \vec{u} \cdot \vec{v} \right) $$
Lema 2: O vetor normal à hipérbole \( H: x^2 / a^2 \ – \ y^2 / b^2 = 1 \). em \( T = (h,k) \) é dado por \( \vec{n} = (a^2 k, b^2 h) \).
Este lema não exige grande abstração e não é de difícil demonstração, mas por exigir algumas definições prévias sobre retas tangentes e normais à elipse,que não é nosso objetivo aqui, vamos omitir sua demonstração.
O leitor curioso pode consultar o livro de referência para tal.
Proposição: Seja \( T = (h,k) \) um ponto da hipérbole \( H: x^2 / a^2 \ – \ y^2 / b^2 = 1 \). A reta \( t \), tangente a \( H \) no ponto \( T \), contém a bissetriz do ângulo \( F_1 \hat{T} F_2 \).
Usando a simetria da hipérbole, vamos supor que \( T \) pertence ao ramo \( H_2 \), isto é, \( h \ge a \). Pelo lema 1, para provar que \( t \), tangente a \( H \) no ponto \( T \), contém a bissetriz do ângulo \( F_1 \hat{T} F_2 \), é suficiente mostrar que o vetor \( \vec{u} = \lVert \vec{TF_2} \rVert \ \vec{TF_1} + \lVert \vec{TF_1} \rVert \ \vec{TF_2} \) é não nulo e paralelo ao vetor \( \vec{t} = (a^2 k, b^2 h) \), tangente à hipérbole em \( T \).
Usando a proposição anterior, temos que \( \lVert \vec{TF_1} \rVert = ch/a + a \) e \( \lVert \vec{TF_2} \rVert = ch/a \ – \ a \).
Então, as coordenadas de \( \vec{u} \) são:
$$ \begin{align*} \vec{u} &= \left(\frac{ch}{a}-a \right)(-c-h,-k) + \left(\frac{ch}{a} + a \right)(c-h,-k) \\[2mm] &= \frac{2}{a}(-ch^2 + a^2c,-chk)\\[2mm] &= \frac{2}{a} \left(\frac{-a^2k^2c}{b^2},-chk \right)=\frac{-2ck}{ab^2}(a^2k,b^2h) \end{align*} $$
e portanto, se \( k \ne 0 \), concluímos que \( \vec{u} \) é não nulo e neste caso, \( \vec{u} \ || \ t \).
Para o caso de \( k = 0 \) e \( \vec{u} = 0 \), o argumento é que a bissetriz de \( F_1 \hat{T} F_2 \) está contida na reta de equação \( x = a \), que é tangente à hipérbole no ponto em que \( H_2 \) passa pelo eixo das abscissas.
Conseguiu perceber a propriedade de reflexão? Em termos leigos, a proposição anterior afirma que se raios ou retas incidem no foco \( F_1 \), então a propriedade de reflexão da hipérbole faz com que eles sejam refletidos também para \( F_2 \), e vice-versa.
Se você está procurando uma demonstração um pouco mais rápida e que não exija tantos conceitos, pode usar a demonstração do Geraldo Ávila, da UFG, que você encontra na RPM 34. Mas optamos por seguir outro caminho pois o novo objetivo é mostrar que toda essa teoria pode ser aplicada no mundo real.
Outras aplicações
Órbitas dos cometas e outros
Em breve
Fontes
BOULOS, P. & CAMARGO, I. Geometria Analítica – Um Tratamento Vetorial. 3a. ed. São Paulo: Prentice Hall, 2005.
ÁVILA, G. A hipérbole e os Telescópios. Revista do Professor de Matemática (RPM) 34. Disponível em: <http://rpm.org.br/cdrpm/34/5.htm>. Acesso em: abr. 2020.
A hipérbole e os telescópios. Adaptado do artigo de Geraldo Ávila. Disponível em: <http://www.ufrgs.br/espmat/disciplinas/geotri2014/modulo6/complementos/telescopios_hiperboles1.pdf>. Acesso em: abr. 2020.
QUEIRÓ, J. F. A elipse, a parábola e a hipérbole – propriedades e aplicações. Universidade de Coimbra.
SILVA, Diego M. F. A Hipérbole e suas Aplicações; 2013; Dissertação (Mestrado em Matemática) – Universidade Federal de Goiás, Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior; Orientador: Durval José Tonon;