Supondo que temos uma região plana fechada \( S \) que possa ser descrita por dois parâmetros \( r \in I, s \in J  \), em que \( I \) e \( J \)  intervalos reais, da seguinte forma:                                 $$  S(r,s) = \begin{cases} x = x(r,s) \\[0.05cm] y = y(r,s) \end{cases} $$

Então, das definições e resultados anteriores, temos que a área \( A \) de \( S \)  é dada pela integral (nossa função \(f\) aqui é a função unidade):

$$  A=\underset{S(x,y)} {\iint} dx\ dy = \underset{S(r,s)} {\iint}| \begin{vmatrix} \frac{\partial x} {\partial r} & \frac{\partial x} {\partial s} \\[2mm] \frac{\partial y} {\partial r} & \frac{\partial y} {\partial s} \end{vmatrix}|\ dr\ ds\ \quad (\ast)$$

com \( J = |\begin{vmatrix} \frac{\partial x} {\partial r} & \frac{\partial x} {\partial s} \\ \frac{\partial y} {\partial r} & \frac{\partial y}{\partial s} \end{vmatrix}| \) sendo o determinante do jacobiano da mudança de coordenadas efetuada.

Agora, se aplicamos em \( S(r,s) \) uma transformação linear dada por um operador \( T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 \)  tal que \( T(v) = Bv \) , com \( B \) uma matriz real qualquer \( 2 \times 2 \):  \( B = \begin{bmatrix} a &b \\ c & d \end{bmatrix} \).  Então                $$  T(S) = B \cdot S(r, s) = \begin{bmatrix} a \cdot x(r, s)+ b \cdot y(r,s)\\ c \cdot x(r, s) + d \cdot y(r,s) \end{bmatrix}$$

Então o determinante jacobiano da imagem da transformação será:

$$ \begin{align*}
J_{t}&=
|\begin{vmatrix} \frac{\partial }{\partial r}(ax+by) & \frac{\partial }{\partial s}(ax+by)\\[2mm]
\frac{\partial }{\partial r}(cx+dy) & \frac{\partial }{\partial s}(cx+dy)
\end{vmatrix}| \\[5mm]
&=
|\begin{vmatrix}
a\frac{\partial x}{\partial r} + b\frac{\partial y} {\partial r} &a \frac{\partial x}{\partial s} + b\frac{\partial y}{\partial s} \\[2mm]
c\frac{\partial x}{\partial r}+d\frac{\partial y}{\partial r}& c\frac{\partial x}{\partial s}+d\frac{\partial y}{\partial s}
\end{vmatrix}| \\[5mm]
&= |det(B \cdot J)|
\end{align*} $$

Daí, substituindo \( J \) por \( J_t \) em \( (\ast) \), temos a área da imagem da região por \( T \)  (lembre que pelo teorema de Binet, se temos duas matrizes quadradas de mesma ordem \( M \) e \( N \), então \( det(MN) = det M \cdot det N \):

$$
\begin{align*}
A_{t}
& = \underset{S(r,s)}{\iint}   |detJ_{t}| dr\ ds \\[2mm]
& = \underset{S(r,s)}{\iint}   |det(B \cdot J)| dr\ ds \\[2mm]
& = |detB| \underset{S(r,s)}{\iint} |detJ|dr\ ds \\[2mm]
& = |detB| \cdot A
\end{align*}
$$

Recapitulando, podemos resumir a aplicação dessa propriedade da seguinte forma: