A matemática deixa claro: a Terra não é plana!
Mais de 2.100 anos atrás, Eratóstenes calculou o raio da Terra com um erro surpreendentemente pequeno. Mas como ele fez isso? Vamos descobrir.
Mesmo hoje, com tanta tecnologia, não é tão simples encontrar uma maneira prática de calcular o raio da Terra. Mas Eratóstenes conseguiu apenas com observação, raciocínio lógico, uma estaca e a ajuda de algumas pessoas.
Já dá para imaginar que o cara era fera na matemática, né?
Só uma ressalva, na verdade verdadeira a terra não é uma esfera perfeita, ok? Mas como diz Neil Degrasse Tyson em seu livro “Astrofísica para apressados”: […] apesar das montanhas e dos vales terrestres, além de ser ligeiramente achatada de um polo ao outro, quando vista do espaço a Terra é indistinguível de uma esfera perfeita.
Mas quem foi Eratóstenes?
Eratóstenes de Cirene ( Eratosthéni̱s; Cirene, 276 a.C. — Alexandria, 194 a.C.) foi muito mais do que um matemático. Ele também foi gramático, poeta, geógrafo, bibliotecário e astrônomo da Grécia Antiga. Nasceu em Cirene, no norte da África, e morreu em Alexandria. Estudou em Cirene, em Atenas e em Alexandria.
No campo da matemática, Eratóstenes escreveu uma obra chamada Platonicus, que tratava da matemática que fundamenta a filosofia de Platão.
Além disso, ele desenvolveu o famoso Crivo de Eratóstenes, um método ainda ensinado em teoria dos números para encontrar todos os números primos até um valor determinado.
Ele também escreveu um livro chamado Sobre os Significados que, apesar de perdido, é mencionado por Papo de Alexandria como sendo um importante livro de geometria, e um livro denominado Sobre a Medição da Terra, também perdido, em que trata da medição da circunferência da Terra.
E como ele estimou o raio da Terra?
A estratégia foi calcular a circunferência da Terra e, apartir dela, obter o raio.
Eratóstenes, diretor da Biblioteca de Alexandria, sabia que na cidade de Siena (atual Assuã, Egito), ao meio-dia do solstício de verão, o Sol ficava quase exatamente no zênite (como se o Sol formasse um ângulo reto com o solo). Isso podia ser percebido porque os raios solares iluminavam diretamente o fundo de poços, sem formar sombra.
Porém, em Alexandria, na mesma data e horário, o Sol não estava exatamente no zênite: havia uma pequena inclinação, formando sombra. Ele percebeu que, se conseguisse medir esse ângulo e conhecesse a distância entre as duas cidades, poderia estimar o tamanho da Terra.
Então ele percebeu que se pudesse determinar esse ângulo e descobrisse a distância entre as cidades, poderia determinar o tamanho da Terra.
Assim, fincou uma estaca perpendicular ao solo em Alexandria e mediu o comprimento da sombra. Pela proporção entra a altura da estaca e a somba, encontrou o ângulo:
$$tan \theta = \frac{comp. \hspace{3pt} estaca}{sombra \hspace{3pt} estaca} \Rightarrow \theta = arctan \frac{comp. \hspace{3pt} estaca}{sombra \hspace{3pt} estaca} \Rightarrow \theta \approx 7,2°$$
Esse ângulo equivale a aproximadamente \(1/50\) da circunferência completa.
Finalmente, para encontrar o raio descoberto por Eratóstenes, é só usar aquela velha fórmula que conhecemos:
$$C = 2\pi . R \Rightarrow R = \frac{C}{2\pi} = \frac{39.250}{6,283} \approx 6.247$$
Atualmente, o valor conhecido é de \(6.370\) km, apenas 123 km maior que o resultado obtido por Eratóstenes. Um feito extraordinário para a época!
Inicialmente, Eratóstenes pensou em medir a distância entre as cidades com caravanas de camelos, cronometrando o tempo da viagem. Mas logo percebeu que os camelos eram pouco confiáveis: alguns andavam devagar, outros rápidos demais, alguns se dispersavam.
A solução veio do próprio rei, que lhe cedeu os bematistas, agrimensores treinados para dar passos sempre do mesmo comprimento. Assim, conseguiram medir a distância de forma mais confiável, tornando possível o cálculo que entraria para a história.
Fontes:
ERATÓSTENES. In: Wikipédia: a enciclopédia livre. Disponível em: <https://pt.wikipedia.org/wiki/Erat%C3%B3stenes> Acesso em: 15 dez 2019.
TYSON, NEIL DEGRASSE. Astrofísica para apressados; tradução Alexandre Martins. – 1. ed. – São Paulo: Planeta, 2017.
Eratóstenes, um gênio do tamanho da Terra. Disponível em:<https://web.archive.org/web/20141010073450/http://www.cic.ulp.edu.ar/CICWeb/Contenido/Pagina53/File/Mini-Curso-Eratostenes,-Um-Genio-do-Tamanho-da-Terra.pdf>. Acesso em: 02 de jan. de 2020.
O raio da Terra. Disponível em: <https://astrociencianet.wordpress.com/2016/05/17/httpastrociencianet-worpress-compostagenscienciasexatas/>. Acesso em: 02 de jan. de 2020.