Imersões

Sejam V e M variedades diferenciáveis. Uma imersão f : V → M é uma aplicação diferenciável tal que para todo x ∈ V, df_{x} é injetora. Quando f é uma imersão o conjunto f (V) é chamado de subvariedade imersa de M. Uma subvariedade imersa será denotada por L ↪ M, com L = f (V), subconjunto de M, ou apenas por L.

Em L existem duas topologias naturais:

1. a topologia induzida em L como subconjunto de M e

2. a topologia intrínseca , que é dada pela topologia de N: os abertos nessa topologia são os conjuntos A ⊂ L tais que f^{−1} (A) é aberto em N.

Como a imersão é uma aplicação contínua, todo aberto da topologia induzida é um aberto intrínseco, mas em geral as duas topologias são diferentes. A comparação entre elas fornece as seguintes classes de subvariedades imersas:

i) Uma subvariedade imersa é chamada de subvariedade regular ou subvariedade mergulhada se as topologias induzida e intrínseca coincidem. Nesse caso a imersão é chamada de mergulho ou imersão regular.

ii) Uma subvariedade imersa, é dita quase-regular se a seguinte condição for satisfeita:

• Se uma aplicação contínua ϕ : N → M, com N espaço topológico localmente conexo, assume valores em L então ϕ : N → L é contínua em relação à topologia intrínseca.

Se uma aplicação contínua ϕ : N → M assume valores em L então ϕ : N → L é contínua em relação à topologia induzida. Portanto, se a topologia induzida coincide com a topologia intrínseca a condição de quase-regularidade é satisfeita. Em outras palavras, toda subvariedade mergulhada é quaseregular.

Os seguintes exemplos ajudam a esclarecer o conceito de subvariedade quase-regular.

Exemplos:

1. Se L ⊂ ℝ^{2} tem pontos de auto-interseção, como os da figura, então L não é quase-regular.

No caso a), por exemplo, se I é um intervalo da reta e ϕ (I) é contínua e injetora com ϕ (I) como indicado na figura, então ϕ^{−1} (V) se reduz a um ponto. Como V é um aberto na topologia intrínseca, ϕ não é contínua em relação a essa topologia.

2. A imersão ϕ : (0, +∞) → ℝ^{2} dada por

ϕ (t) = \{ \begin{matrix}(cos (t − π/2) , sen (t − π/2)) se 0 < t ≤ 2π \\ (t − 2π, −1) se t ≥ 2π \end{matrix}

é de classe C^{1}, não tem pontos de auto-interseção e não é quase-regular. De fato, seja ψ : (−ϵ, ϵ) → ℝ^{2} com ϵ > 0 suficientemente pequeno definida por ψ (t) = (cos (t − π/2) , sen (t − π/2)). Então ψ é contínua e não é contínua na topologia intrínseca pois se V é o aberto (da topologia intrínseca) indicado na figura então ψ^{−1} (V) é um intervalo do tipo (−δ, 0] contido em (−ϵ, ϵ).

3. Considere o toro bi-dimensional 𝕋^{2} = ℝ^{2}/ℤ^{2}, com a projeção canônica π : ℝ^{2} → 𝕋^{2}. Se r é uma reta parametrizada em ℝ^{2} sua projeção π (r) é uma subvariedade imersa de 𝕋^{2}. Em particular, as retas passando pela origem r_{α} = {x (1, α) : x ∈ ℝ} dão origem a imersões π (r_{α}) ↪ 𝕋^{2}. Se α é irracional então π (r_{α}) é uma curva fechada em 𝕋^{2} e a imersão correspondente é um mergulho. Já se α é irracional π (r_{α}) é denso em 𝕋^{2}. Nesse caso a imersão não é um mergulho, pois, por exemplo, um intervalo do tipo {x (1, α) : x ∈ (−ε, ε)} é um aberto intrínseco mas não na topologia induzida. No entanto, as imersões π (r_{α}), são quaseregulares. Para ver isso tome ϕ : N → 𝕋^{2} contínua com ϕ (N) ⊂ π (r_{α}) e N localmente conexo. Para verificar que ϕ é contínua na topologia intrínseca, pode-se tomando restrições a vizinhanças de N e 𝕋^{2} e assumir que ϕ (N) está contido num retângulo aberto do tipo

R = {(x − αy, αx + y) : x ∈ I_{1}, y ∈ I_{2}}
= (I_{1} (1, α)) + (I_{2} (−α, 1)) .

com I_{1} e I_{2} intervalos abertos de ℝ. Se I_{1} e I_{2} são suficientemente pequenos a aplicação

(x, y) ∈ I_{1} × I_{2} ↦ x (1, α) + y (−α, 1) ∈ 𝕋^{2}

é um homeomorfismo. Portanto, a projeção p_{2} sobre a reta gerada por (−α, 1) é bem definida em R e é uma aplicação contínua. Daí que p_{2} ∘ϕ é uma aplicação contínua sobre o intervalo I_{2} (−α, 1). Agora, a intersecção de π (r_{α}) com o retângulo R tem no máximo uma quantidade enumerável de componentes conexas. Cada componente conexa é da forma (π (r_{α}) ∩ I_{2} (−α, 1)) + I_{1} (1, α). Isso significa que p_{2} ∘ ϕ assume valores num conjunto enumerável. Como essa aplicação é contínua, ela deve ser constante. Portanto, ϕ (N) ∩ R está contido num intervalo do tipo I_{1} (1, α) + (−αy_{0}, y_{0}). Sendo assim, seja A ⊂ R um aberto intrínseco. Então, ϕ^{−1} (A) = ϕ^{−1} (B) onde B é um aberto de 𝕋^{2}, garantindo que ϕ é contínua em relação à topologia intrínseca.

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A propriedade de continuidade que aparece na definição de subvariedade quase-regular se estende à diferenciabilidade em relação à estrutura diferenciável intrínseca:

Proposição 0.1 Seja L ↪ M uma subvariedade quase-regular e N uma variedade diferenciável conexa. Se uma aplicação diferenciável ϕ : N → M assume valores em L então ela é diferenciável em relação à topologia intrínseca de L.

Demonstração: Tome y ∈ N e ponha x = ϕ (y) ∈ L. Pela forma local das imersões, pode-se supor que L é uma vizinhança V da origem em ℝ^{k} e M é uma vizinhança da origem em ℝ^{k} × ℝ^{l} da forma V × W; a inclusão L ↪ M fica sendo a inclusão canônica V ↪ V × {0}.

Como L é quase-regular, ϕ^{−1} (V × {0}) é um aberto de N que contém y. Ao redor de y, ϕ é da forma ϕ : U → V × W que assume valores em V × {0}. Como ϕ é diferenciável, é claro que ϕ é diferenciável a valores em V. □

Corolário 0.2 Na situação do lema acima, se ϕ : N → M é imersão então ϕ : N → L também é imersão. Em particular, se dim N = dim L então ϕ é um difeomorfismo local.

Demonstração: Uma vez que ϕ : N → L é diferenciável, a imagem de sua diferencial está contida no espaço tangente a L e portanto ϕ : N → L é imersão. □

Corolário 0.3 Se L é subvariedade quase-regular com dim L = k então o conjunto pressuposto por L admite uma única estrutura de subvariedade imersa de dimensão k.

Demonstração: Aplique o corolário acima à identidade id de L. □