Grupos nilpotentes

1 Álgebras nilpotentes

Definição 1.1 Uma álgebra de Lie é nilpotente se sua série central descendente se anula em algum momento, isto é,

𝔤^{k_{0}} = {0}

para algum k_{0} ≥ 1 (e, portanto, 𝔤^{k} = 0 para todo k ≥ k_{0}).

Por exemplo, as álgebras abelianas são nilpotentes. Da mesma forma, as seguintes subálgebras de matrizes são nilpotentes

1. 𝔤 = \{( \begin{matrix}0 & & & & ∗ \\ & . & . & . \\ & & & & 0 \end{matrix} )_{n×n}\}.

2. 𝔤 = \{( \begin{matrix}a & & & & ∗ \\ & . & . & . \\ & & & & a \end{matrix} )_{n×n}\}.

Por outro lado, a álgebra de todas as matrizes triangulares superiores

𝔤 = \{( \begin{matrix}∗ & & & & ∗ \\ & . & . & . \\ & & & & ∗ \end{matrix} )_{n×n}\}

não é nilpotente.

Subálgebras e quocientes de álgebras nilpotentes são também nilpotentes:

Proposição 1.2 Seja 𝔤 uma álgebra nilpotente.

1. Se 𝔥 ⊂ 𝔤 é subálgebra então 𝔥 é nilpotente.

2. Se 𝔥 ⊂ 𝔤 é um ideal então 𝔤/𝔥 é nilpotente.

De fato, 𝔥^{k} ⊂ 𝔤^{k} se 𝔥 ⊂ 𝔤 e π(𝔤^{k}) = (π(𝔤))^{k} se π é um homomorfismo.

Proposição 1.3 O centro de uma álgebra de Lie nilpotente não é trivial.

De fato, seja k tal que 𝔤^{k} ≠ 0 e 𝔤^{k+1} = 0. Então, 𝔤^{k} ⊂ 𝔷(𝔤), pois [𝔤, 𝔤^{k}] = 𝔤^{k+1} = 0.

Se 𝔤 é uma álgebra nilpotente, existe um inteiro k tal que todos os colchetes envolvendo k elementos de 𝔤 se anulam. Em particular,

[X, …, [X, Y] …] = 0

se X aparece k−1 vezes, isto é, ad(X)^{k−1} = 0 para todo X ∈ 𝔤. Em outras palavras, nas álgebras nilpotentes, as adjuntas de seus elementos são transformações lineares nilpotentes. A recíproca a esta afirmação também é verdadeira: se 𝔤 é uma álgebra de dimensão finita tal que ad(X) é nilpotente para todo X ∈ 𝔤, então 𝔤 é nilpotente. Este é o conteúdo do teorema de Engel.

2 Grupos nilpotentes simplesmente conexos

Seja G um grupo de Lie com álgebra de Lie 𝔤. O objetivo aqui é mostrar que se 𝔤 é nilpotente e G é conexo e simplesmente conexo então exp : 𝔤 → G é um difeomorfismo. Esse fato descreve completamente os grupos de Lie nilpotentes, que são aqueles que têm álgebra de Lie nilpotente.

A fórmula da diferencial da exponencial

d (exp)_{X} = dE_{e^{X}} ∘ T_{X} = dE_{e^{X}} ∘ \frac{e^{ad(X)} − 1}{ad (X)}

garante que, no caso nilpotente, d (exp)_{X} é um isomorfismo para todo X ∈ 𝔤. De fato, como ad (X) é uma aplicação linear nilpotente, seus auto-valores são todos iguais a 0, o que implica que os auto-valores de T_{X} são iguais a 1, e daí que T_{X} e, portanto, d (exp)_{X} é injetora. Como as dimensões do domínio e da imagem coincidem, segue que d (exp)_{X} é bijetora. Isso garante que exp é um difeomorfismo local. Dessa forma, exp é difeomorfismo se, e somente se, é uma bijeção.

2.1 exp é sobrejetora

A demonstração de que a aplicação exponencial é sobrejetora é feita por indução sobre a dimensão do grupo. Em primeiro lugar, se dim G = 1 e G é simplesmente conexo então tanto G quanto 𝔤 coincidem com ℝ e exp é a identidade.

O passo de indução requer a seguinte propriedade dos subgrupos normais de um grupo simplesmente conexo.

Lema 2.1 Seja g um grupo de Lie conexo e simplesmente conexo e H ⊂ G um subgrupo de Lie normal e conexo. Então H é fechado.

Demonstração: A álgebra de Lie 𝔥 de H é um ideal de 𝔤, o que permite formar a álgebra quociente 𝔮 = 𝔤/𝔥. Seja Q o grupo de Lie conexo e simplesmente conexo cuja álgebra de Lie é 𝔮. O homomorfismo canônica θ : 𝔤 → 𝔤/𝔥 induz um homomorfismo ϕ : G → Q tal que θ = dϕ_{1}. A álgebra de Lie do núcleo ker ϕ coincide com ker θ, isto é, com 𝔥. Como H e a componente conexa da identidade de ker ϕ têm a mesma álgebra de Lie esses grupos são iguais. Por outro lado, ker ϕ é um subgrupo fechado e daí que H = (ker ϕ)_{0} também é fechado. □

Votando ao grupo de Lie nilpotente, seja 𝔷 (𝔤) o centro da álgebra de Lie 𝔤. O fato de que 𝔤 é nilpotente garante que dim 𝔷 (𝔤) > 1 e daí que dim (𝔤/𝔷 (𝔤)) < dim 𝔤. Denote por H o grupo conexo cuja álgebra de Lie é 𝔷 (𝔤). Pelo lema H é um subgrupo fechado o que permite construir o grupo quociente G/H, cuja álgebra de Lie 𝔤/𝔷 (𝔤) também é nilpotente. Portanto, G/H é um grupo nilpotente cuja dimensão é menor que a dimensão de G. A rigor, para aplicar a hipótese de indução e garantir que a aplicação exponencial em G/H é sobrejetora, deve-se mostrar que G/H é simplesmente conexo. Isso pode ser feito, pois um resultado geral garante que o quociente de um grupo nilpotente simplesmente conexo por um subgrupo fechado conexo é simplesmente conexo. Isso no entanto não é necessário pois a hipótese de indução pode ser aplicada ao recobrimento universal { \atop G/H} de G/H. Se a aplicação exponencial é sobrejetora em { \atop G/H} o mesmo ocorre em G/H, pois o homomorfismo canônico { \atop G/H} → G/H comuta com as exponenciais.

Assumindo então que a exponencial é sobrejetora, tome g ∈ G. Então, existe \overline{X} ∈ 𝔤/𝔥 tal que exp_{G/H} \overline{X} = π (g), onde π : G → G/H denota o homomorfismo canônico. Este homomorfismo comuta as exponenciais, portanto,

π (exp_{G} X) = exp_{G/H} \overline{X} = π (g) .

Isso significa que exp_{G} X = gh com h ∈ H. Porém H é um grupo nilpotente com dim H < dim G. Pelos mesmos argumentos empregados em relação a G/H a hipótese de indução garante que a aplicação exponencial em H é sobrejetora (novamente aqui, pode-se mostrar que H é simplesmente conexo, mas a passagem ao recobrimento universal de H, é suficiente). Dessa forma, h = exp Z, para Z ∈ 𝔷 (𝔤), isto é, g = (exp X) (exp Z). Como Z ∈ 𝔷 (𝔤), segue que

g = exp (X + Z) ,

mostrando que g está na imagem da exponencial, concluindo a demonstração da

Proposição 2.2 Seja G um grupo conexo cuja álgebra de Lie 𝔤 é nilpotente. Então, exp : 𝔤 → G é sobrejetora.

2.2 exp é injetora

A demonstração de que exp é injetora, no caso simplesmente conexo, será feita mostrando que exp é uma aplicação de recobrimento. Para isso não é necessário supor de antemão que G e simplesmente conexo.

Lema 2.3 Se A e B são transformações lineares nilpotentes tais que exp A = exp B então A = B.

Demonstração: Considere as séries formais na variável x com coeficientes reais

ou racionais, exp x = ∑_{k≥0} \frac{1}{k!}x^{k} e log (1 + x) = ∑_{k≥1} \frac{(−1)^{k+1}}{k} x^{k}. Substituindo na série do logaritmo x por exp x − 1, verifica-se a igualdade

log (exp x) = log (1 + (exp x − 1)) = x.

Quando aplicadas a uma transformação linear nilpotente A ambas as séries são polinômios em A e, portanto, dão origem a transformações lineares bem definidas. A expressão formal garante portanto que se exp A = exp B então,

A = log (exp A) = log (exp B) = B.

□

Voltando ao grupo nilpotente G, sejam X, Y ∈ 𝔤 tais que exp X = exp Y. Como Ad (e^{X}) = e^{ad(X)}, segue que

exp (ad (X)) = exp (ad (Y)) .

Portanto, o lema garante que ad (X) = ad (Y), isto é, ad (Y − X) = 0, o que significa que Y − X está no centro de 𝔤. Escrevendo Z = Y − X, segue que exp Z está no centro de G e vale

exp (Y) = exp (X + Z) = exp X exp Z.

Mas exp (Y) = exp (X), portanto, exp Z = 1. Essas observações servem para descrever as imagens inversas da exponencial.

Lema 2.4 Para todo X ∈ 𝔤, a imagem inversa

exp^{−1}{exp X} = {Y ∈ 𝔤 : exp (Y) = exp (X)}

é dada por X +K onde K é o subgrupo discreto (em relação à soma) de 𝔷 (𝔤) definido por

K = {Z ∈ 𝔷 (𝔤) : exp (Z) = 1}.

Demonstração: Falta apenas verificar que K é um subgrupo discreto. É claro que D é um subgrupo pois 𝔷 (𝔤) é abeliano, assim a restrição de exp ao centro é um homomorfismo e K é o núcleo desse homomorfismo. Já K é discreto pois a aplicação exponencial é um difeomorfismo local. □

Agora é possível provar a propriedade de recobrimento.

Proposição 2.5 Seja G é um grupo de Lie conexo, cuja álgebra de Lie 𝔤 é nilpotente. Então, exp : 𝔤 → G é uma aplicação de recobrimento..

Demonstração: Dado g ∈ G, existe X ∈ 𝔤 tal que exp X = g. Fixando X, existe uma vizinhança V de 0 tal que exp é um difeomorfismo entre X + V e U = exp (X + V), pois exp é um difeomorfismo local. Suponha que y ∈ 𝔤 seja de tal forma que exp Y = exp X. Então, a restrição de exp a Y +V também é um difeomorfismo. De fato, pela discussão acima Y = X + Z com Z ∈ K, o que implica que

exp (Y + v) = exp (X + v + Z) = exp (X + v) exp Z = exp (X + v) ,

já que exp Z = 1. Portanto, a menos de translação por Z em 𝔤 as exponenciais coincidem. Além do mais, exp (Y + V) = exp (X + V) = U.

A imagem inversa exp^{−1} U é a união dos abertos X + Z + V com Z ∈ K, pois por um lado é claro que Y + V ⊂ exp^{−1} U. Reciprocamente, se exp W ∈ U, então existe v ∈ V tal que exp (X + v) = exp W, o que implica que W = X + v + Z′ com Z′ ∈ K. Portanto, W ∈ Y′ + V com Y′ = X + Z′ ∈ X + K.

Agora basta escolher V conexo e suficientemente pequeno de tal forma que (Y_{1} + V) ∩ (Y_{2} + V) = ∅ se Y_{1}, Y_{2} ∈ X + K são diferentes. Esta última condição é equivalente a K ∩ V = ∅. Como K é discreto, existe V conexo satisfazendo essa condição.

Com essa escolha de V as componentes conexas de exp^{−1} U são da forma Y + V, Y ∈ X + K e são difeomorfas a U, mostrando que exp é uma aplicação de recobrimento. □

Corollary 2.6 Se 𝔤 é nilpotente e G é conexo e simplesmente conexo, então exp : 𝔤 → G é injetora.

Demonstração: Imediata a partir da proposição. □

Com isso fica concluída a demonstração de que a aplicação exponencial num grupo de Lie nilpotente conexo e simplesmente conexo é um difeomorfismo. Uma consequência óbvia desse resultado é o seguinte teorema, que generaliza para álgebras de Lie nilpotentes o que já havia sido demonstrado para álgebras abelianas.

Teorema 2.7 Seja 𝔤 uma álgebra de Lie real de dimensão finita. Então, o grupo de Lie conexo e simplesmente conexo G̃ cuja álgebra de Lie é 𝔤 é difeomorfo a um espaço euclidiano (isto é, 𝔤).