Capítulo 5

Homomorfismos e Recobrimentos

Os resultados sobre subgrupos de Lie demonstrados anteriormente permitem obter diversas informações sobre homomorfismos entre grupos de Lie. A idéia aqui é que o gráfico de um homomorfismo ϕ : G → H é um subgrupo do grupo produto G × H isomorfo a G através da projeção π_{1} : G × H → G, π_{1} (x, y) = x, e vice-versa, se o gráfico de uma aplicação ϕ é um subgrupo então ϕ é homomorfismo. Caso o homomorfismo ϕ seja contínuo ou diferenciável, o seu gráfico tem propriedades topológicas ou diferenciáveis. Uma das aplicações obtidas é a demonstração de que qualquer homomorfismo entre as álgebras de Lie se “estende” aos grupos caso o domínio seja simplesmente conexo. Juntando essas extensões com a construção de uma estrutura de grupo de Lie no recobrimento universal de um grupo dado se obtém uma descrição dos grupos de Lie conexos a partir dos simplesmente conexos. As classes de isomorfismos dos grupos conexos e simplesmente conexos estão em bijeção com as classes de isomorfismos das álgebras de Lie de dimensão finita.

5.1 Homomorfismos

Dados os grupos G e H o produto Cartesiano G × H é um grupo com o produto componente a componente. O gráfico grafϕ de uma aplicação ϕ : G → H é o conjunto dos elementos da forma (x, ϕ (x)) com x ∈ G. Como (x, ϕ (x)) (y, ϕ (y)) = (xy, ϕ (x) ϕ (y)), a aplicação ϕ é um homomorfismo de grupos se, e só se, o seu gráfico é um subgrupo de G × H. Quando isso ocorre, os grupos G e grafϕ são isomorfos e l : x ∈ G ↦ (x, ϕ (x)) ∈ grafϕ é um isomorfismo, cuja inversa é a projeção p : grafϕ → G, p (x, ϕ (x)) = x.

Reciprocamente, um subgrupo Γ ⊂ G × H é o gráfico de um homomorfismo G → H se, e só se, a restrição a Γ da projeção G × H → G é um isomorfismo.

No contexto topológico os gráficos dos homomorfismos contínuos são caracterizados através dos subgrupos fechados.

Proposição 5.1 Sejam G e H grupos topológicos tal que H′ é de Hausdorff. Uma aplicação ϕ : G → H é um homomorfismo contínuo se, e só se, o seu gráfico

grafϕ = {(x, ϕ (x)) ∈ G × H : x ∈ G}

é um subgrupo fechado de G × H homeomorfo a G.

Demonstração: Segue direto da definição que uma aplicação entre dois grupos é um homomorfismo se, e só se, o seu gráfico é um subgrupo do produto cartesiano. Supondo que ϕ é contínua, a aplicação l : x ∈ G ↦ (x, ϕ (x)) ∈ grafϕ é contínua cuja inversa é a restrição ρ : grafϕ → G da projeção π_{1} : (x, y) ∈ G × H ↦ x ∈ G, que é contínua. Dessa forma, grafϕ é homeomorfo a G. Além do mais, seja θ : G×H → H×H a aplicação dada por θ (x, y) = (ϕ (x) , y). Então grafϕ = θ^{−1} (Δ_{H}), onde

Δ_{H} = {(y, y) ∈ H × H : y ∈ H}

é a diagonal de H × H. Essa diagonal é fechada se, e só se H é de Hausdorff. Portanto, grafϕ é um subgrupo fechado.

Por outro lado, se o gráfico é fechado então (F × G) ∩ grafϕ é um fechado de grafϕ para todo fechado F ⊂ H. Como grafϕ é homeomorfo a G, segue que ϕ^{−1} (F) = π_{1} ((F × G) ∩ grafϕ) é fechado em G. □

Da mesma forma que para aplicações entre grupos, o gráfico de uma aplicação θ : 𝔤 → 𝔥 entre álgebras de Lie é uma subálgebra da álgebra produto 𝔤 × 𝔥 se, e somente se, θ é um homomorfismo. A partir desta observação, juntamente com a construção dos subgrupos conexos a partir das subálgebras de Lie, são feitas as “extensões” de homomorfismos de álgebras de Lie a homomorfismos de grupos de Lie. Em geral essas extensões só podem ser feitas localmente, no seguinte sentido. Um homomorfismo local entre os grupos de Lie G e H é uma aplicação ϕ : U → H com 1 ∈ U ⊂ G vizinhança da identidade, tal que ϕ (g_{1}g_{2}) = ϕ (g_{1}) ϕ (g_{2}) sempre que g_{1}, g_{2} e g_{1}g_{2} estejam em U.

Dado então um homomorfismo θ : 𝔤 → 𝔥, denote por 𝔤 (θ) o seu gráfico em 𝔤 × 𝔥. Se 𝔤 e 𝔥 são as álgebras de Lie de G e H, respectivamente, então 𝔤 × 𝔥 é a álgebra de Lie de G × H. Seja G (θ) o único subgrupo de Lie conexo de G × H cuja álgebra de Lie é 𝔤 (θ). O que seria desejável é que G (θ) fosse o gráfico de um homomorfismo G → H que estende θ. No entanto, G (θ) nem sempre é o gráfico de uma aplicação entre G e H, como mostra o exemplo a seguir.

Exemplo: Seja G = 𝕊^{1} e H = ℝ. Suas álgebras de Lie coincidem com ℝ, a álgebra abeliana unidimensional. Os homomorfismos θ : ℝ → ℝ são da forma θ_{a} (X) = aX, a ∈ ℝ. O gráfico de θ_{a} é a reta r_{a} de equação u = av, (u, v) ∈ ℝ^{2} e o subgrupo G (θ_{a}) ⊂ 𝕊^{1} × ℝ é imagem de r_{a} pela projeção canônica ℝ × ℝ → 𝕊^{1} × ℝ. Geometricamente, os grupos G (θ_{a}) são espirais se a ≠ 0 e o círculo 𝕊^{1}×{0} se a = 0. Apenas no caso a = 0, G (θ_{a}) é o gráfico de uma aplicação 𝕊^{1} → ℝ. □

Apesar de G (θ) não ser em geral o gráfico de uma aplicação, localmente ele é o gráfico de um homomorfismo local. Para ver isso considere a projeção π_{1} : G × H → G e denote por p : G (θ) → G sua restrição a G (θ), que é um homomorfismo diferenciável G (θ) → G. A diferencial de p na identidade é a restrição a 𝔤 (θ) da projeção 𝔤 × 𝔥 → 𝔤. Porém, a subálgebra 𝔤 (θ) é o gráfico do homomorfismo θ. Portanto, d (p)_{1} : 𝔤 (θ) → 𝔤 é um isomorfismo de álgebras de Lie.

Proposição 5.2 Seja θ : 𝔤 → 𝔥 um homomorfismo. Então, existe um homomorfismo local diferenciável ϕ : U ⊂ G → H tal que d (ϕ_{1}) = θ.

Demonstração: Como d (p)_{1} é um isomorfismo, existem vizinhanças da identidade V′ ⊂ G (θ) e U′ ⊂ G tal que a restrição p_{V} : V′ → U′ de p a V′ é um difeomorfismo. Seja \overline{ϕ} a inversa de p_{V}, isto é, p (\overline{ϕ} (x)) = x para todo x ∈ U.′ Por definição p (x, y) = x, se y ∈ H, daí que \overline{ϕ} é da forma \overline{ϕ} (x) = (x, ϕ (x)) com ϕ (x) ∈ H, para todo x ∈ U′. Isso define a aplicação ϕ : U′ → H e como \overline{ϕ} (x) percorre V′ quando x varia em U′, o gráfico de ϕ é V′.

Para obter o homomorfismo local, seja V ⊂ V′ uma vizinhança de 1 tal que V^{2} ⊂ V′ e defina U = pV. Restringindo as aplicações a V e U, ϕ é um homomorfismo local. De fato, se g_{1}, g_{2} e g_{1}g_{2} estão em U, então \overline{ϕ} (g_{1}) = (g_{1}, ϕ (g_{1})), \overline{ϕ} (g_{2}) = (g_{2}, ϕ (g_{2})) e \overline{ϕ} (g_{1}g_{2}) = (g_{1}g_{2}, ϕ (g_{1}g_{2})) pertencem a V. Mas, G (θ) é um subgrupo de G × H o que garante que

(g_{1}, ϕ (g_{1})) (g_{2}, ϕ (g_{2})) = (g_{1}g_{2}, ϕ (g_{1}) ϕ (g_{2})) ∈ G (θ) .

Então, (g_{1}g_{2}, ϕ (g_{1}) ϕ (g_{2})) ∈ V′ pois V^{2} ⊂ V′. Como p é injetora e p (g_{1}g_{2}, ϕ (g_{1}) ϕ (g_{2})) coincide com p (g_{1}g_{2}, ϕ (g_{1}g_{2})) segue que ϕ (g_{1}g_{2}) = ϕ (g_{1}) ϕ (g_{2}).

Por fim, ϕ é diferenciável pois seu gráfico é a subvariedade V de G × H. □

O objetivo agora é estender o homomorfismo local a todo grupo G. Levando em conta propriedades topológicas globais de G, deve-se buscar condições para que G (θ) seja o gráfico de uma aplicação G → H. A próxima proposição garante que, no caso conexo, G (θ) cumpre um dos requisitos para ser gráfico de uma aplicação, qual seja o de que para todo g ∈ G existe h ∈ H tal que (g, h) ∈ G (θ).

Proposição 5.3 Com as notações acima, a imagem da projeção p : G (θ) → G é a componente conexa G_{0} do elemento neutro de G. Em particular, p é sobrejetora se G é conexo.

Demonstração: Como d (p)_{1} é um isomorfismo, sua imagem tem interior não vazio em G e, portanto, é um subgrupo aberto, que contém a componente conexa do elemento neutro. Por outro lado a imagem de p é conexa pois G (θ) é conexo. □

O próximo passo na construção de homomorfismos globais envolve as aplicações de recobrimento entre espaços topológicos. Uma aplicação f : A → B é um recobrimento se para todo x ∈ B existe uma vizinhança V ∋ x tal que a restrição de f a cada componente conexa C de f^{−1} (V) é um homeomorfismo entre C e V.

Lema 5.4 Seja ϕ : G → H um homomorfismo diferenciável tal que d (ϕ)_{1} : 𝔤 → 𝔥 é um isomorfismo das álgebras de Lie. Então, ϕ é uma aplicação de recobrimento se ϕ é sobrejetor.

Demonstração: Sejam U′ ⊂ G e V′ ⊂ H vizinhanças conexas das identidades tal que a restrição ϕ : U′ → V′ é difeomorfismo. Tome uma vizinhança U ⊂ U′ tal que U^{−1} = U e U^{2} ⊂ U′.

Então,

ϕ^{−1} (V) = (ker ϕ) U.

De fato, seja g ∈ ϕ^{−1} (V), isto é, ϕ (g) ∈ V. Como ϕ é uma bijeção entre U e V, existe g_{1} ∈ U tal que ϕ (g_{1}) = ϕ (g). Portanto,

ϕ (gg_{1}^{−1}) = ϕ (g) ϕ (g_{1})^{−1} = 1,

isto é, x = gg_{1}^{−1} ∈ ker ϕ. Daí que g = xg_{1} ∈ (ker ϕ) U e ϕ^{−1} (V) ⊂ (ker ϕ) U. Reciprocamente, ϕ (xg) = ϕ (g) ∈ V se g ∈ U e x ∈ ker ϕ.

De maneira mais geral, para todo h ∈ H,

ϕ^{−1} (hV) = ϕ^{−1}{h} (ker ϕ) U.  (5.1)

De fato, dado g ∈ ϕ^{−1} (hV), tome a ∈ ϕ^{−1}{h}. Então,

ϕ (a^{−1}g) = ϕ (a^{−1}) ϕ (g) = h^{−1}ϕ (g) ∈ V,

e daí que a^{−1}g ∈ U ker ϕ, isto é, g ∈ ϕ^{−1}{h}U ker ϕ. Por outro lado, dados a ∈ ϕ^{−1} (h), b ∈ U e c ∈ (ker ϕ),

ϕ (abc) = ϕ (a) ϕ (b) ϕ (c) = hϕ (b) ∈ hV,

estabelecendo a igualdade (5.1). O segundo membro dessa igualdade pode ser escrito da seguinte maneira: para todo a ∈ ϕ^{−1}{h}, ϕ^{−1}{h} (ker ϕ) = a ker ϕ. De fato, se b ∈ ϕ^{−1}{h} então ϕ (ba^{−1}) = ϕ (b) ϕ (a)^{−1} = 1, isto é, b ∈ a ker ϕ. Portanto, para qualquer a ∈ ϕ^{−1}{h},

ϕ^{−1} (hV) = a (ker ϕ) U = ⋃_{g∈ker ϕ} agU.

Cada aberto agU que aparece nessa união é homeomorfo a U e, portanto, a V e hV. Esses conjuntos são conexos, assim para demonstrar a propriedade de recobrimento de ϕ basta mostrar que eles são dois a dois disjuntos. Suponha que z ∈ ag_{1}U ∩ ag_{2}U com g_{1}, g_{2} ∈ ker ϕ. Então,

z = ag_{1}u_{1} = ag_{2}u_{2}

com u_{1}, u_{2} ∈ U, isto é, g_{2}^{−1}g_{1} = u_{2}u_{1}^{−1}. Mas U^{−1} = U e U^{2} ⊂ U′. Portanto u_{2}u_{1}^{−1} ∈ U′ ∩ker ϕ. Como a restrição de ϕ a U′ é uma bijeção, segue que g_{2} = g_{1} e os abertos coincidem se eles tem intersecção não vazia. Portanto, ϕ^{−1} (hV) é união disjunta de abertos conexos cada um deles homeomorfo a hV, mostrando que ϕ é uma aplicação de recobrimento. □

Teorema 5.5 Sejam G e H com álgebras de Lie 𝔤 e 𝔥, respectivamente. Suponha que G é conexo e simplesmente conexo. Então, para todo homomorfismo θ : 𝔤 → 𝔥 existe um homomorfismo ϕ : G → H tal que θ = d (ϕ)_{1}.

Demonstração: Como anteriormente, seja 𝔤 (θ) ⊂ 𝔤 × 𝔥 o gráfico de θ e G (θ) ⊂ G × H o subgrupo de Lie conexo cuja álgebra de Lie é 𝔤 (θ). Por hipótese G é conexo, portanto a proposição 5.3 garante que a projeção p : G (θ) → G é um homomorfismo diferenciável sobrejetor. Sua diferencial d (p)_{1} é um isomorfismo. Dessa forma, pelo lema 5.4, p é uma aplicação de recobrimento. Porém, por hipótese G é simplesmente conexo. Portanto, p é um homeomorfismo. Isso garante que G (θ) é o gráfico de uma aplicação ϕ : G → H. A posteriori ϕ é um homomorfismo diferenciável, já que G (θ) é um subgrupo de Lie. Por fim, d (ϕ)_{1} = θ, já que o espaço tangente à identidade de G (θ) é o gráfico de θ. □

As propriedades demonstradas acima levaram em conta a construção de subgrupos conexos a partir das subálgebras de Lie. No mesmo espírito, o teorema do subgrupo fechado fornece a seguinte aplicação aos homomorfismos contínuos.

Teorema 5.6 Seja ϕ : G → H um homomorfismo contínuo entre os grupos de Lie G e H. Então ϕ é diferenciável.

Demonstração: Como ϕ é continuo, seu gráfico grafϕ é um subgrupo fechado de G × H homeomorfo a G (veja proposição ?? abaixo). Portanto, grafϕ é um subgrupo de Lie de G × H, e daí que é uma subvariedade mergulhada.

A aplicação ϕ é dada pela composta da aplicação l : x ∈ G ↦ (x, ϕ (x)) ∈ grafϕ com a restrição da projeção π_{2} : G × H → H ao gráfico. Como ambas as projeções, definidas em G × H, são aplicações diferenciáveis, para verificar que ϕ é diferenciável, basta mostrar que G é difeomorfo a grafϕ. Para isso considere a aplicação p : grafϕ → G dada pela restrição de π_{1} : G × H → G ao gráfico, que é a inversa da aplicação l. É claro que p é um homomorfismo de grupos. Além do mais, por ser restrição a uma subvariedade de uma aplicação diferenciável, p é diferenciável. Além do mais, p é homeomorfismo. Portanto, a imagem da componente conexa da identidade p ((grafϕ)_{0}) é um subgrupo conexo aberto de G. Daí que p ((grafϕ)_{0}) = G_{0}, a componente da identidade de G. Isso implica que a diferencial dp_{1} é sobrejetora, pois caso contrário o subgrupo

p ((grafϕ)_{0}) = ⟨exp (imdp_{1})⟩

seria próprio. Por outro lado, dp_{1} é injetora pois p é homeomorfismo e, portanto, dim (grafϕ) = dim G. Portanto, dp_{1} é um isomorfismo. Mas todo homomorfismo bijetor entre grupos de Lie tal que sua diferencial na identidade é isomorfismo é um isomorfismo de grupos de Lie. Portanto, a restrição de p às componentes conexas dos elementos neutros é isomorfismo, o que implica que λ é diferenciável, concluindo a demonstração. □

5.2 Recobrimento universal

Teorema 5.7 Seja G um grupo de Lie conexo. Denote por π : G̃ → G o recobrimento universal da variedade subjacente. Dado um ponto ˜1 ∈ G̃ tal que π \binom{}{1} = 1. Então, existe um único produto em G̃, que o torna

um grupo de Lie, tal que ˜1 é o elemento neutro e π é um homomorfismo.

Demonstração: O produto em G̃ é obtido através do levantamento do produto em p : G×G → G da seguinte maneira: seja q : G̃×G̃ → G a aplicação diferenciável dada por

q (x, y) = p (π (x) , π (y)) .

Como G̃×G̃ é simplesmente conexo, o Principio da Monodromia garante que existe uma única aplicação diferenciável p̃ : G̃ × G̃ → G̃ tal que p̃(˜1, ˜1) = ˜1.

O produto em G̃ definido por p̃ satisfaz os axiomas de grupo. Isso se demonstra por existência e unicidade de levantamentos como segue:

1. ˜1 é elemento neutro, pois a aplicação x ∈ G̃ ↦ p̃(˜1, x) ∈ G̃ é

um levantamento de x ∈ G̃ ↦ q (˜1, x) ∈ G. Esta aplicação é

nada mais nada menos que a projeção π : G̃ → G. Porém o único levantamento de π que fixa algum ponto é a aplicação identidade de G̃. Como p̃(˜1, ˜1) = ˜1, segue que p̃(˜1, x) = x. Da mesma

forma, se mostra que p̃(x, ˜1) = x.

2. O único levantamento ι̃ da aplicação x ∈ G̃ ↦ π (x)^{−1} ∈ G, que satisfaz ι̃\binom{}{1} = ˜1 define a inversa em G̃. De fato, a aplicação

x ∈ G̃ ↦ p̃(x, ι̃(x)) ∈ G̃ é um levantamento da aplicação constante x ∈ G̃ ↦ 1 ∈ G. Como x ∈ G̃ ↦ ˜1 ∈ G̃ também é um levantamento e ambas coincidem em ˜1, segue que p̃(x, ι̃(x)) é constante, igual a ˜1, mostrando que ι̃(x) = x^{−1}.

3. A associatividade segue do fato que as aplicações G̃^{3} → G̃ determinadas pelos produtos x (yz) e (xy) z são levantamentos da aplicação G̃^{3} → G dada por π (x) π (y) π (z). Ambos os levantamentos coincidem em (˜1, ˜1, ˜1), portanto eles coincidem.

As construções de q e p̃ mostram que

πp̃(x, y) = q (x, y) = p (πx, πy)

portanto, π é um homomorfismo. Reciprocamente, essas igualdades mostram que qualquer levantamento de q satisfaz a propriedade de homomorfismo. Da unicidade dos levantamentos segue então a unicidade do produto em G̃. □

Como ocorre entre qualquer aplicação de recobrimento entre variedades diferenciáveis, em cada x ∈ G̃, a diferencial dπ_{x} é um isomorfismo, o que implica que as álgebras de Lie de G e G̃ são isomorfas. Na verdade a classe de isomorfismo do recobrimento universal G̃ depende apenas da álgebra de Lie de G.

Proposição 5.8 Sejam G_{1} e G_{2} grupos de Lie conexos com álgebras de Lie isomorfas. Então, seus recobrimentos universais G̃_{1} e G̃_{2} são isomorfos.

Demonstração: Sejam 𝔤_{1} e 𝔤_{2} as álgebras de Lie de G_{1} e G_{2}, respectivamente. e θ : 𝔤_{1} → 𝔤_{2} um isomorfismo. Como as álgebras de Lie dos recobrimentos coincidem com as álgebras de Lie dos grupos, segue que a álgebra de Lie de G̃_{1} × G̃_{2} é 𝔤_{1} × 𝔤_{2}. O gráfico de θ é uma subálgebra de 𝔤_{1} ×𝔤_{2}. De acôrdo com o teorema 5.5, o subgrupo de Lie conexo ⟨exp (grafθ)⟩ gerado pelo gráfico de θ é gráfico tanto de um homomorfismo G̃_{1} → G̃_{2} quanto de um homomorfismo G̃_{2} → G̃_{1}. É claro que esses homomorfismos são isomorfismos e um é a inversa do outro. □

Corolário 5.9 Seja 𝔤 uma álgebra de Lie de dimensão finita sobre ℝ. Então, a menos de isomorfismo, existe no máximo um grupo de Lie conexo e simplesmente conexo com álgebra de Lie 𝔤.

Corolário 5.10 Todo grupo de Lie conexo G é da forma G = G̃/D com G̃ conexo e simplesmente conexo e D ⊂ G um subgrupo discreto central, isto é, D está contido no centro Z (G) de G.

Demonstração: Segue da construção de G̃ que G = G̃/D onde D = ker π. Como π é uma aplicação de recobrimento, D = π^{−1}{1} é um subgrupo discreto e normal. Mas num grupo conexo qualquer todo subgrupo discreto e normal está contido no centro. □

Exemplos:

1. Um grupo de Lie conexo é abeliano se, e só se, sua álgebra de Lie for abeliana. Dessa forma, para determinar esses grupos basta exibir um grupo simplesmente conexo abeliano G̃ e determinar seus subgrupos discretos (pois todos eles estão contidos no centro de G̃). Como G̃ pode-se tomar o grupo aditivo ℝ^{n}. Os subgrupos discretos de ℝ^{n} são isomorfos a ℤ^{k}, k = 1, …, n. De fato, vale o seguinte resultado: seja V um espaço vetorial real de dimensão n e H ⊂ V um subgrupo discreto do grupo aditivo de V tal que H ≠ {1}. Então, existe um conjunto linearmente independente {v_{1}, …, v_{k}}, 1 ≤ k ≤ n, tal que

H = {n_{1}v_{1} + ⋯ + n_{k}v_{k} : n_{i} ∈ ℤ}.

A demonstração disso é feita por indução sobre n. Em primeiro lugar, para n = 1, os subgrupos discretos da reta real ℝ são da forma ℤ · x com x ∈ ℝ e, portanto, da forma desejada (veja exemplo ????). Para n ≥ 2, suponha que V é munido de um produto interno ⟨·, ·⟩. O fato de H ser discreto garante que ínfimo

inf{|v| ∈ ℝ : v ∈ H, v ≠ 0}

é atingido, isto é, existe v_{1} ∈ H tal que |v_{1}| é mínimo entre os comprimentos dos elementos não nulos de H. Seja [v_{1}] o espaço gerado por v_{1}. O subgrupo [v_{1}] ∩ H é discreto em [v_{1}] e é dado por ℤ · v_{1}. Além do mais, a escolha de v_{1} garante que a bola B (0, |v_{1}|) ⊂ V de centro 0 e raio |v_{1}| só intercepta H apenas na origem. Denote por p : V → V/[v_{1}] a projeção canônica sobre o espaço quociente V/[v_{1}] de dimensão n − 1 e considere o subgrupo p (H). Este subgrupo é discreto em V/[v_{1}]. Isso é mostrado verificando

que a bola U = B (0, \frac{1}{3} |v_{1}|) satisfaz p (U) ∩ p (H) = \{0\}. Con-

sidere o conjunto

p^{−1} (p (U)) = [v_{1}] + U.

Um elemento x desse conjunto é da forma x = av_{1} + u, a ∈ ℝ,

u ∈ U. Suponha av_{1} + u ∈ H. Então, existe b com |b| ≤ \frac{1}{2} tal

que bv_{1} + u ∈ H. Mas, bv_{1} + u ⊂ B (0, |v_{1}|) pois |bv_{1}| ≤ \frac{1}{2} e

|u| ≤ \frac{1}{3}. Pela escolha de v_{1}, segue que bv_{1} + u = 0, o que implica que u ∈ [v_{1}]. Isso mostra que

p^{−1} (p (U)) ∩ H = [v_{1}] ∩ H.

Como esta igualdade é equivalente a p (U) ∩ p (H) = {0}, o subgrupo p (H) é discreto em V/[v_{1}].

Pela hipótese de indução existem elementos linearmente independentes w_{2}, …, w_{k} ∈ V/[v_{1}], 1 ≤ k ≤ n tal que

p (H) = ℤ · w_{2} + ⋯ + ℤ · w_{k}.

Tomando representantes esses elementos se escrevem como w_{1} = [v_{1}], i = 2, …, k. O conjunto {v_{1}, v_{1}, …, , v_{k}} é linearmente independente em V. Por construção todo elemento de x ∈ H se escreve como

x = av_{1} + n_{2}v_{2} + ⋯ + n_{k}v_{k}

com n_{i} ∈ ℤ. Para concluir a demonstração falta verificar que a ∈ ℤ. Mas n_{2}v_{2} + ⋯ + n_{k}v_{k} ∈ H e, portanto, av_{1} ∈ H e daí que a ∈ ℤ.

Essa descrição dos subgrupos discretos mostra que, a menos de conjugação (escolha de uma base), os subgrupos discretos de ℝ^{n} são da forma

ℤ^{k} = {(x_{1}, …, x_{k}, 0, …, , 0) : x_{i} ∈ ℤ}.

Portanto, os grupos de Lie abelianos conexos são da forma ℝ^{n}/ℤ^{k}, n ≥ 0, k = 0, …, n. No caso em que k = n, ℝ^{n}/ℤ^{n} é o toro 𝕋^{n}, enquanto que ℝ^{n}/ℤ^{k} ≈ ℝ^{n−k} × 𝕋^{k}. Em particular, os únicos grupos de Lie conexos abelianos que são compactos são os toros 𝕋^{n}, n ≥ 0.

2. O grupo afim Af (1) tem dimensão dois e duas componentes conexas. Sua álgebra de Lie 𝔞𝔣 (1) é a única álgebra de Lie bidimensional que não é abeliana. A componente conexa da identidade Af (1)_{0} é difeomorfa a ℝ_{+} × ℝ, que é simplesmente conexo. Por outro lado, o centro de Af (1) é trivial pois se (a, v) ∈ Af (1) comuta com (b, w) então aw +v = bv +w. Se isso ocorre para todo (b, w), então v = 0 (tomando w = 0) e, portanto, a = 1. Consequentemente, Af (1)_{0} é o único grupo de Lie conexo não-abeliano de dimensão dois. (Existem, portanto, quatro grupos de Lie conexos de dimensão dois: os abelianos ℝ^{2}, 𝕋^{1} × ℝ e 𝕋^{2} juntamente com o não-abeliano Af (1)_{0}.)

3. O grupo conexo Gl^{+} (2, ℝ) tem a seguinte estrutura geométrica: seja g uma matriz 2 × 2, inversível. As colunas de g formam uma base de ℝ^{2}. Aplicar o processo de ortonormalização de Gram-Schmidt a essa base é equivalente a multiplicar g à direita por uma matriz triangular superior da forma

t = ( \begin{matrix}a & x \\ 0 & b \end{matrix} )

com a, b > 0, obtendo a matriz gt = u cujas colunas formam uma base ortonormal, isto é, u é uma matriz ortogonal. Como det g > 0 e det t = ab, segue que det u > 0, isto é, u ∈ SO (2). Portanto, Gl^{+} (2, ℝ) = SO (2) T onde T é o grupo das matrizes triangulares superiores com entradas positivas na diagonal. Os grupos SO (2) e T são conexos com SO (2) difeomorfo ao círculo 𝕊^{1} e T difeomorfo a ℝ^{3}.

A aplicação ϕ : SO (2) × T → Gl^{+} (2, ℝ), dada por ϕ (u, t) = ut é um difeomorfismo. A demonstração disso segue os seguintes passos: foi verificado que ϕ é sobrejetora. Por outro lado, ϕ é injetora pois SO (2) ∩ T = {1} (e dai que u_{1}t_{1} = u_{2}t_{2} implica que u_{1}^{−1}u_{2} = t_{1}t_{2}^{−1} = 1), além do mais, dϕ_{(u,t)} é um isomorfismos para cada (u, t) (a verificação disto usa o fato de que a única matriz anti-simétrica que é triangular superior é a matriz nula). Portanto, Gl^{+} (2, ℝ) é difeomorfo ao cilindro 𝕊^{1} × ℝ^{3} e seu recobrimento universal é difeomorfo a ℝ^{4}.

Os mesmos argumentos valem para Sl (2, ℝ) que se decompõe em Sl (2, ℝ) = SO (2) T_{1} onde T_{1} é o grupo das matrizes triangulares superiores de determinante 1 e elementos positivos na diagonal.

Esse grupo é difeomorfo a ℝ^{2} e assim Sl (2, ℝ) é difeomorfo a 𝕊^{1} × ℝ^{2} e seu recobrimento simplesmente conexo é difeomorfo a ℝ^{3}.

4. A álgebra ℚ dos quatérnions, com coeficientes reais, tem dimensão quatro e é gerada por {1, i, j, k}, onde 1 é o elemento neutro da multiplicação e os demais produtos dos geradores são:

ij = −ji = k, jk = −kj = i, ki = −ik = j, i^{2} = j^{2} = k^{2} = −1.

Essa álgebra é associativa e todo elemento não nulo em ℚ admite uma inversa (por exemplo i (−i) = 1, isto é, i^{−1} = −i). Portanto, ℚ^{∗} = ℚ \ {0} é um grupo de Lie, pois o produto é uma aplicação polinomial.

As translações à direita em ℚ^{∗} são restrições de transformações lineares, por isso, os campos invariantes à direita são da forma X_{a} (x) = ax com a ∈ ℚ. O cálculo do colchete de Lie entre esses campos mostra que a álgebra de Lie de ℚ^{∗} é o próprio ℚ com o colchete dado pelo comutador

[a, b] = ba − ab.

A conjugação em ℚ é definida por \overline{z} = a − bi − cj − dk se z = a + bi + cj + dk. A expressão ⟨z, w⟩ = z\overline{w} define um produto interno em ℚ de tal forma que {1, i, j, k} é uma base ortonormal. A esfera unitária

{q ∈ ℚ : |q| = 1}

é um subgrupo de Lie de ℚ^{∗}, denotado por Spin (3). Em outras palavras,

Spin (3) = \{z ∈ ℚ : z\overline{z} = 1\} = \{z ∈ ℚ : z^{−1} = \overline{z}\}.

A áalgebra de Lie de Spin (3) é a subálgebra de ℚ formada pelos quatérnions puramente imaginários (isto é, \overline{z} = −z). Essa álgebra de Lie é isomorfa a 𝔰𝔬 (3). Portanto, Spin (3) é o único grupo simplesmente conexo com álgebra de Lie 𝔰𝔬 (3).

Como a álgebra de Lie de SO (3) também é 𝔰𝔬 (3), a teoria geral garante que existe um homomorfismos sobrejetor ϕ : Spin (3) → SO (3) cujo núcleo é um subgrupo discreto central de Spin (3). Esse homomorfismo é dado concretamente pela representação adjunta de Spin (3) em sua álgebra de Lie, a álgebra dos quatérnions puramente imaginários. Em termos do produto de quatérnions Ad (z) (w) = zwz^{−1} = zw\overline{z}, z ∈ Spin (3) e \overline{w} = −w. Para todo z ∈ Spin (3), Ad (z) é uma isometria. Portanto, a imagem de Ad é um subgrupo conexo de dimensão três de SO (3), daí que Ad (Spin (3)) = SO (3), isto é, Ad : Spin (3) → SO (3) é um homomorfismo sobrejetor. O núcleo de Ad é o centro de Spin (3), que é Z (Spin (3)) = {±1}. Portanto, Spin (3) → SO (3) é um recobrimento duplo, e daí que o grupo fundamental de SO (3) é isomorfo a ℤ_{2} = ker Ad.

□

5.2.1 Existência

O teorema de existência e unicidade do recobrimento simplesmente conex0 de um grupo de Lie e seus corolários fornecem uma descrição bastante completa dos grupos de Lie que possuem uma mesma álgebra de Lie, ou seja dos grupos globais que são localmente isomorfos. O ponto de partida desses resultados é um grupo de Lie G com álgebra de Lie 𝔤. Por essa razão esses resultados não reduzem completamente a descrição dos grupos conexos às álgebras de Lie. Para completar o quadro falta determinar as álgebras de Lie que admitem um grupo de Lie. A resposta a isso é a melhor possível, já que toda álgebra de Lie real de dimensão finita é álgebra de Lie de algum grupo de Lie (e, portanto, de um único grupo de Lie conexo e simplesmente conexo).

Dada uma álgebra de Lie 𝔤 a estratégia para mostrar a existência de um grupo de Lie G cuja álgebra de Lie é (isomorfa a) 𝔤 consiste em construir um grupo de Lie H de tal forma que sua álgebra de Lie 𝔥 contenha uma subálgebra isomorfa a 𝔤. Os candidatos naturais para desempenhar o papel de H são os grupos lineares. Portanto, devese encontrar em algum 𝔤𝔩 (n, ℝ) uma subálgebras isomorfa a 𝔤. Em outras palavras, deve-se provar a existência de uma representação ρ : 𝔤 → 𝔤𝔩 (V) de dimensão finita de 𝔤 que seja fiel, isto é, injetora. A existência de uma representação dessas é garantida pelo

Teorema de Ado: Toda álgebra de Lie real de dimensão finita admite uma representação fiel, também de dimensão finita.

A imagem de uma representação fiel de 𝔤 é uma álgebra de Lie de matrizes isomorfa a 𝔤 e, portanto, é a álgebra de Lie de algum grupo conexo. Juntando isso com a teoria desenvolvida anteriormente, chegase à seguinte bijeção entre classes de isomorfismo de grupos de Lie e álgebras de Lie.

Teorema 5.11 Dada uma álgebra de Lie real, de dimensão finita 𝔤, existe, a menos de isomorfismo, um único grupo de Lie conexo e simplesmente conexo cuja álgebra de Lie é isomorfa a 𝔤.

A demonstração completa do teorema de Ado envolve diversos resultados e construções em álgebras de Lie. No entanto, em diversos casos importantes da teoria a demonstração é elementar. Por exemplo, uma álgebra de Lie 𝔤 é chamada simples se 𝔤 não é abeliana e seus únicos ideais são {0} e 𝔤 (𝔰𝔩 (n, ℝ) e 𝔰𝔬 (n), n ≠ 2, 4, são álgebras simples). O centro de um álgebra simples é {0}. Como o núcleo da representação adjunta de 𝔤 é o seu centro, essa representação é fiel. De forma mais geral, se o centro de uma álgebra de Lie é trivial, a representação adjunta é fiel. Para essas álgebras o teorema de Ado é elementar. A demonstração desse teorema se preocupa de fato com o centro da álgebra de Lie.