Capítulo 3

Grupos de Lie

3.1 Definição

Um grupo de Lie é um grupo cujo conjunto subjacente tem uma estrutura de variedade diferenciável, de tal forma que a aplicação produto

p : (g, h) ∈ G × G ⟼ gh ∈ G

é diferenciável.

Tanto a estrutura de variedade diferenciável de G, quanto a diferenciablidade de p, pressupõem um grau de diferenciabilidade C^{k}, 1 ≤ k ≤ ω. Para desenvolver boa parte da teoria, é necessário tomar apenas derivadas de primeira ordem em G e no fibrado tangente T G, e assim supor que G e p são de classe C^{2}. No entanto, não existe perda de generalidade em assumir que G e p são analíticas (C^{ω}), pois é possível provar que se p é classe C^{1} então p é analítica em relação à estrutura de variedade analítica contida na estrutura C^{k}, 1 ≤ k ≤ ∞.

Dado g ∈ G, as translações à esquerda e à direita E_{g} : G → G e D_{g} : G → G, são definidas respectivamente por E_{g} (h) = gh e D_{g} (h) = hg. Essas aplicações são diferenciáveis pois E_{g} = p ∘ s_{g,1} e D_{g} = p ∘ s_{g,2} onde s_{g,1} (h) = (g, h) e s_{g,2} (h) = (h, g) são aplicações diferenciáveis G → G × G. Na verdade, ambas as translações, à esquerda e à direita, são difeomorfismos, já que E_{g} ∘ E_{g^{−1}} = D_{g} ∘ D_{g^{−1}} = id.

Ao contrário dos grupos topológicos a definição de grupo de Lie não exige a priori que a inversão ι : g ∈ G ↦ g^{−1} ∈ G seja uma aplicação diferenciável ou sequer contínua. A razão para isso é que a diferenciabilidade de p implica a de ι através do teorema da função implícita.

Proposição 3.1 Num grupo de Lie G a aplicação ι : g ∈ G ↦ g^{−1} ∈ G é um difeomorfismo. A diferencial de ι é dada por

dι_{g} = − (dE_{g^{−1}})_{1} ∘ (dD_{g^{−1}})_{g} .

Em particular, (dι)_{1} = −id.

Demonstração: Dado (g, h) ∈ G×G, a diferencial parcial do produto p em relação à segunda variável é

∂_{2}p (g, h) = d (E_{h})_{g}

onde d (∗)_{x} significa a diferencial de ∗ no ponto x. Como E_{h} é difeomorfismo, segue que d (E_{h})_{g} é bijetora e, em particular, sobrejetora. O teorema da função implícita, garante então que para c ∈ G fixo a equação p (g, h) = c tem uma solução diferenciável local h = ϕ_{c} (g) de h como função de g. Quando c = 1, ϕ_{1} é a inversão ι, mostrando que ι é diferenciável. Daí segue que ι é difeomorfismo, pois sua inversa ι^{−1} coincide com ι, isto é, ι ∘ ι = id.

Ainda pelo teorema da função implícita, a diferencial dι_{g} é dada por

dι_{g} = − (∂_{2}p)_{(g,g^{−1})}^{−1} ∘ (∂_{1}p)_{(g,g^{−1})}

onde (∂_{j}p)_{(x,y)} denota a diferencial de p em relação à variável j = 1, 2, no ponto (x, y). Essas diferenciais parciais são dadas por (∂_{2}p)_{(x,y)} = d (E_{x})_{y} e (∂_{1}p)_{(x,y)} = d (D_{y})_{x}. Portanto, (∂_{1}p)_{(g,g^{−1})} = d (D_{g^{−1}})_{g} e (∂_{2}p)_{(g,g^{−1})}^{−1} = d (E_{g})_{g^{−1}}^{−1} = d (E_{g^{−1}})_{1}, mostrando a fórmula do enunciado. No caso em que g = 1, D_{1} (g) = g é a aplicação identidade, portanto, (dD_{1})_{1} é a aplicação identidade do espaço tangente T_{1}G. Da mesma forma, (dE_{1})_{1} = id e daí que dι_{1} : T_{1}G → T_{1}G é −id. □

Esta proposição mostra que todo grupo de Lie é um grupo topológico. A seguinte notação simplificada facilita diversos cálculos: seja t ↦

g_{t} uma curva diferenciável em G e tome h ∈ G. Então,

hg′_{t} = d (E_{h})_{g_{t}} (g′_{t}) g′_{t}h = d (D_{h})_{g_{t}} (g′_{t}) .

Com essas notações cálculos de derivada em G podem ser feitos como se fossem no grupo de matrizes. Por exemplo, (g_{t}^{2})′ = g′_{t}g_{t} + g_{t}g′_{t} ou ainda de g_{t}g_{t}^{−1} = 1 obtém-se (g_{t}g_{t}^{−1})′ = g′_{t}g_{t}^{−1} +g_{t} (g_{t}^{−1})′ = 0. Portanto,

(g_{t}^{−1})′ = −g_{t}^{−1}g′g_{t}^{−1},

que é a fórmula para dι_{g} da proposição acima.

As fórmulas a seguir relacionam as translações com a inversão ι.

Proposição 3.2 Para g, h ∈ G vale:

1. D_{g} ∘ E_{h} = E_{h} ∘ D_{g}.

2. E_{g} ∘ ι = ι ∘ D_{g^{−1}}.

3. D_{g} ∘ ι = ι ∘ E_{g^{−1}}.

Demonstração: Basta aplicar as definições. □

Exemplos:

1. Seja Gl (n, ℝ) o grupo das transformações lineares inversíveis de ℝ^{n}, ou o que é a mesma coisa, o grupo das matrizes n × n inversíveis. Esse grupo é um subconjunto aberto do espaço vetorial M_{n} (ℝ) das matrizes n × n, e portanto é uma variedade diferenciável. O produto no grupo Gl(n, ℝ) é proveniente do produto usual de matrizes. Se X = (x_{ij}) e Y ∈ (y_{ij}) são matrizes n × n, então Z = XY = (z_{ij}) é dado por

z_{ij} = ∑_{k=1}^{n} x_{ik}y_{kj},

que é um polinômio de grau dois nas variáveis x_{ij}, y_{ij} e, portanto, é uma aplicação diferenciável. Por esta razão Gl (n, ℝ) é um grupo de Lie.

Se V é um espaço vetorial real de dimensão finita, denote por Gl (V) o grupos das transformações lineares inversíveis de V.

Tomando uma base de V define-se um isomorfismo entre Gl (V) e Gl (n, ℝ) por h ∈ Gl (V) ↦ [h] ∈ Gl (n, ℝ) onde [h] denota a matriz de h em relação à base fixada.

Esse grupo serve de exemplo guia no estudo dos grupos de Lie.

2. Qualquer espaço vetorial de dimensão finita V é um grupo de Lie, com a operação + em V.

3. Seja G o grupo das matrizes n × n triangulares superiores com entradas diagonais iguais a 1:

G = \{( \begin{matrix}1 & ⋯ & ∗ \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & ⋯ & 1 \end{matrix} )\} .

Como conjunto G está em bijeção com o espaço vetorial ℝ^{\frac{n(n−1)}{2}} . Portanto, G tem uma estrutura de variedade diferenciável. Em relação à esta estrutura, o produto em G (produto de matrizes) é diferenciável, tornando G um grupo de Lie.

4. Sejam G e H grupos de Lie. Então, o produto cartesiano G × H admite a estrutura de variedade produto e a estrutura de grupo produto (g_{1}, h_{1}) (g_{2}, h_{2}) = (g_{1}g_{2}, h_{1}h_{2}), tornando G×H um grupo de Lie.

5. Seja G um grupo qualquer munido da topologia discreta. Com esta topologia G tem uma estrutura de variedade diferenciável de dimensão 0 em que o produto é diferenciável. Portanto, todo grupo G pode ser visto como um grupo de Lie. Um grupo de Lie desses é denominado de grupo de Lie discreto (Este exemplo é puramente formal, já que a estrutura discreta não acrescenta informação alguma à estrutura de G.)

□

3.2 Álgebra de Lie

O primeiro passo no estudo dos grupos de Lie consiste na construção das álgebras de Lie associadas. Uma álgebra de Lie consiste de espaço vetorial 𝔤 munido de um produto (colchete) [·, ·] : 𝔤×𝔤 → 𝔤 que satisfaz as propriedades:

1. bilinearidade.

2. Anti-simetria, isto é, [A, B] = −[B, A], para A, B ∈ 𝔤.

3. Identidade de Jacobi: para A, B, C ∈ 𝔤,

[A, [B, C]] = [[A, B], C] + [B, [A, C]].

Um exemplo de álgebra de Lie é dado pelo espaço vetorial dos campos de vetores sobre uma variedade diferenciável munido do colchete de Lie de campos de vetores. Já a álgebra de Lie de um grupo de Lie G será definida como uma subálgebra da álgebra de Lie dos campos de vetores sobre G. Antes de introduzir a álgebra de Lie de G convém fazer uma resumo de algumas propriedades dos campos de vetores sobre variedades diferenciáveis.

3.2.1 Preliminares: campos de vetores

Um campo de vetores numa variedade diferenciável M é uma aplicação X : M → T M que satisfaz X (x) ∈ T_{x}M para x ∈ M.

O campo X induz a equação diferencial ordinária em M dada por

\frac{dx}{dt} = X (x) .

Se X é diferenciável, existe para todo x ∈ M uma única solução maximal com condição inicial (0, x). Essa solução é denotada por t ↦ X_{t} (x). O seu domínio de definição é um intervalo (α, ω) ⊂ ℝ que contém 0.

Fixando t ∈ ℝ, a aplicação X_{t} : x ↦ X_{t} (x) é um difeomorfismo local de M no sentido em que o domínio domX_{t} de X_{t} é um aberto de M e X_{t} : domX_{t} → X_{t} (domX_{t}) é um difeomorfismo (domX_{t} é o conjunto dos elementos de M, cuja solução maximal se estende até t, isto é, o seu intervalo de definição contém t). O campo é dito completo se domX_{t} = M para todo t ∈ ℝ. De forma equivalente, X é completo se todas as soluções maximais estão definidas em ℝ = (−∞, +∞).

O conjunto de difeomorfismos locais X_{t}, t ∈ ℝ, é denominado de fluxo do campo de vetores. A menos de restrição de domínios, o fluxo satisfaz a propriedade de homomorfismo: X_{t+s} = X_{t} ∘ X_{s}. Em particular, os elementos do fluxo comutam entre si: X_{t} ∘ X_{s} = X_{s} ∘ X_{t} e X_{−t} = (X_{t})^{−1}.

Em suma, X_{t} satisfaz as seguintes propriedades que o caracterizam:

1. X_{0} = id.

2. \frac{d}{dt}X_{t} (x) = X (X_{t} (x)).

3. X_{t+s} = X_{t} ∘ X_{s} = X_{s} ∘ X_{t}.

Sejam X e Y dois campos de vetores. O colchete de Lie entre eles é definido por

[X, Y] (x) = \frac{d}{dt} (d (X_{−t})_{X_{t}(x)} (Y (X_{t} (x))))_{|t=0} .

Se os campos X e Y são de classe C^{k} então [X, Y] é um campo de vetores de classe C^{k−1}. O colchete de Lie satisfaz as propriedades:

1. anti-simetria: [X, Y] = −[Y, X] e a

2. identidade de Jacobi: [X, [Y, Z]] = [[X, Y], Z] + [Y, [X, Z]].

Sejam f : M → ℝ uma função diferenciável e X um campo de vetores. A derivada direcional de f, em relação a X é a função Xf definida por

Xf (x) = df_{x} (X (x)) = \frac{d}{dt} (f (X_{t} (x)))_{|t=0} .

Se X, Y são campos de vetores, então [X, Y]f = X (Y f) − Y (Xf).

Em coordenadas locais o colchete de Lie admite a seguinte expressão: suponha que M seja um aberto de ℝ^{n}. Os espaços tangentes T_{x}M, x ∈ M, se identificam a ℝ^{n}. Via essa identificação, um campo de vetores passa a ser uma aplicação X : M → ℝ^{n}. Então,

[X, Y] (x) = dY_{x} (X (x)) − dX_{x} (Y (x))

onde dX_{x} é a diferencial de X : M → ℝ^{n}.

Um difeomorfismo ϕ : M → N entre variedades diferenciáveis transladada um campo X em M a um campo ϕ_{∗}X em N definido por

(ϕ_{∗}X) (y) = dϕ_{ϕ^{−1}(y)} (X (ϕ^{−1} (y))) .

De maneira mais geral, se ϕ é apenas diferenciável, um campo X em M é dito ϕ-projetável se dϕ_{x} (X (x)) = dϕ_{y} (X (y)) sempre que ϕ (x) = ϕ (y). Nesse caso (ϕ_{∗}X) (ϕ (x)) = dϕ_{x} (X (x)) é um campo de vetores bem definido em N.

Em qualquer uma dessas situações, se α (t) é uma trajetória do campo X (solução da equação diferencial correspondente), então ϕ (α (t)) é uma trajetória de ϕ_{∗}X. Em termos de fluxos isso significa que ϕ ∘ X_{t} = (ϕ_{∗}X)_{t} ∘ ϕ.

Seja ϕ : M → N um difeomorfismo e X, Y campos de vetores em M. Então vale a seguinte fórmula para o colchete de Lie:

ϕ_{∗}[X, Y] = [ϕ_{∗}X, ϕ_{∗}Y].

Usando translações desse tipo com difeomorfismos que fazem parte de um fluxo, isto é, ϕ = X_{t}, algum t ∈ ℝ, obtém-se as seguintes condições equivalentes:

1. dois campos de vetores X e Y comutam, isto é, [X, Y] = 0.

2. (X_{t})_{∗} Y = Y para todo t.

3. (Y_{t})_{∗} X = X para todo t.

4. X_{t} ∘ X_{s} = X_{s} ∘ X_{t}.

3.2.2 Campos invariantes

Definição 3.3 Um campo de vetores X em G é dito invariante à direita se para todo g ∈ G, (D_{g})_{∗} X = X (ou de forma mais detalhada, d (D_{g})_{h} (X (h)) = X (hg) para todo g, h ∈ G. De forma análoga, X é dito invariante à esquerda se para todo g ∈ G, (E_{g})_{∗} X = X.

Os campos invariantes à direita ou à esquerda são completamente determinados por seus valores na identidade 1, pois para todo g ∈ G a condição de invariança à direita, por exemplo, implica que X (g) = d (D_{g})_{1} (X (1)). Portanto, cada elemento do espaço tangente T_{1}G determina um único campo invariante à direita e um único campo invariante à esquerda.

Dado A ∈ T_{1}G a notação A^{d} indica o campo invariante à direita tal que A^{d} (1) = A. Já A^{e} denota o campo invariante à esquerda correspondente. Explicitamente,

A^{d} (g) = d (D_{g})_{1} (A) A^{e} (g) = d (D_{g})_{1} (A) .

Denote por Inv^{d} o conjunto dos campos invariantes à direita. Este conjunto é um subespaço vetorial (sobre ℝ) do espaço de todos os campos de vetores em G, já que (D_{g})_{∗} é uma aplicação linear sobre os campos de vetores. Analogamente, o conjunto Inv^{e} dos campos invariantes à esquerda também é um subespaço vetorial (em geral, diferente do subespaço dos campos invariantes à direita). As aplicação A ∈ T_{1}G ↦ A^{d} ∈ Inv^{d} e A ∈ T_{1}G ↦ A^{e} ∈ Inv^{e} são isomorfismos entre os espaços vetoriais correspondentes.

Exemplos:

1. Seja G = Gl (n, ℝ) o grupo linear geral, que é um conjunto aberto do espaço vetorial das matrizes M_{n} (ℝ). Fixando g ∈ G, as translações à esquerda e à direita E_{g} (h) = gh e D_{g} (h) = hg, podem ser estendidas a todo o espaço de matrizes, dando origem a transformações lineares de M_{n} (ℝ) = ℝ^{n^{2}}. O fibrado tangente a G se identifica com G×M_{n} (ℝ). Daí que um campo de vetores X em G é nada mais nada menos que uma aplicação X : G → M_{n} (ℝ). Além do mais, por essa identificação, as transformações lineares E_{g} e D_{g} satisfazem d (E_{g})_{h} = E_{g} e d (D_{g})_{h} = D_{g} para quaisquer g, h ∈ G.

A partir dessas observações é possível descrever os campos invariantes em Gl (n, ℝ). Suponha que X : G → M_{n} (ℝ) é invariante à direita. Então, para todo g ∈ G,

X (g) = d (D_{g})_{1} (X (1)) = D_{g} (X (1)) = X (1) g.

Portanto, os campos invariantes à direita são da forma X (g) = Ag com A uma matriz em T_{1}G. A equação diferencial definida por X é o sistema linear

\frac{dg}{dt} = Ag

no espaço das matrizes. De forma análoga, os campos invariantes à esquerda são da forma X (g) = gA que estão associados aos

sistemas lineares \frac{dg}{dt} = gA.

Em Gl (n, ℝ) existem campos invariantes à esquerda que não são invariantes à direita e vice-versa. De fato, suponha que o campo X (g) = Ag coincide com o campo Y (g) = gB, isto é, Ag = gB para todo g ∈ G. Em particular, para g = 1, deve-se ter A = B. Daí que Ag = gA e, portanto, A comuta com todas as matrizes em Gl (n, ℝ). Mas, isso ocorre se, e somente se, A = a · 1, a ∈ ℝ, isto é, A é uma matriz escalar. Portanto, o campo invariante à esquerda X (g) = Ag não é invariante à direita se A não é uma matriz escalar.

2. Seja G = (ℝ^{n}, +). Fixando v ∈ ℝ^{n}, as translações à esquerda e à

direita são

E_{v} (x) = D_{v} (x) = x + v.

Portanto, d (E_{v})_{y} = d (D_{v})_{y} = id para todo y ∈ ℝ^{n}. Isso significa que os campos invariantes são constantes, isto é, X (x) = v, com v ∈ ℝ^{n} fixado.

□

A álgebra de Lie de um grupo de Lie é definida em qualquer um dos espaços de campos invariantes Inv^{d} ou Inv^{e} munido com o colchete de Lie. O lema a seguir coloca isso em termos precisos.

Lema 3.4 Sejam X e Y campos invariantes à direita num grupo de Lie G. Então o colchete de Lie [X, Y] é invariante à direita. A mesma afirmação vale para campos invariantes à esquerda.

Demonstração: É consequência da seguinte fórmula geral: sejam M uma variedade, X, Y campos de vetores em M e ϕ um difeomorfismo de M. Então ϕ_{∗}[X, Y] = [ϕ_{∗}X, ϕ_{∗}Y]. Aplicando esta fórmula a ϕ = D_{g} (ou E_{g}) e X, Y, campos invariantes, chega-se à invariança do colchete. □

Dito de outra maneira, os espaços Inv^{d} e Inv^{e} são subálgebras de Lie da álgebra de Lie de todos os campos de vetores em G. Em particular, ambos os espaços vetoriais admitem estruturas de álgebra de Lie. A álgebra de Lie do grupo G é qualquer uma das álgebras de Lie Inv^{d} ou Inv^{e}. Os argumentos a seguir mostram que essas álgebras de Lie são, em essência, as mesmas, não existindo, portanto, nenhuma ambiguidade na terminologia.

O espaço tangente T_{1}G é isomorfo tanto a Inv^{d} quanto a Inv^{e}. Através dos isomorfismos o colchete de Lie restrito aos subespaços de campos invariantes induz colchetes [·, ·]_{d} e [·, ·]_{e} em T_{1}G. Esses colchetes são dados por [A, B]_{d} = [A^{d}, B^{d}] (1) e [A, B]_{e} = [A^{e}, B^{e}] (1), A, B ∈ T_{1}G. O seguinte lema permite relacioná-los.

Lema 3.5 Sejam A ∈ T_{1}G e ι (g) = g^{−1} a inversão em G. Então, (ι)_{∗} (A^{d}) = (−A)^{e} (em detalhes: (dι)_{g^{−1}} (A^{d} (g)) = −A^{e} (g)) e (ι)_{∗} (A^{e}) =

(−A)^{d}

Demonstração: Escreva Y = (ι)_{∗} (A^{d}). Então,

(E_{g})_{∗} (Y) = (E_{g})_{∗} (ι)_{∗} (A^{d}) .

Usando a regra da cadeia e a igualdade E_{g} ∘ ι = ι ∘ D_{g^{−1}}, segue que (E_{g})_{∗} (Y) = (ι ∘ D_{g^{−1}})_{∗} (A^{d}). Este segundo membro é igual a (ι)_{∗} (A^{d}) = Y, pela a regra da cadeia e pelo fato que A^{d} é invariante à direita. Portanto, (E_{g})_{∗} (Y) = Y e daí que Y é invariante à esquerda. Agora, Y (1) = (dι)_{1} (A^{d} (1)). Mas A^{d} (1) = A e (dι)_{1} = −id, daí que Y (1) = −A, mostrando que Y = A^{e}. A outra igualdade é provada da mesma maneira. □

Proposição 3.6 Sejam A, B ∈ T_{1}G. Então, [A, B]_{d} = −[A, B]_{e}.

Demonstração: Por definição [A, B]_{d} = [A^{d}, B^{d}] (1). Aplicando dι_{1} = −id a essa igualdade obtém-se

−[A, B]_{d} = (dι)_{1} [A, B]_{d} = (dι)_{1} ([A^{d}, B^{d}] (1)) .

Mas, pelo lema anterior, ι_{∗}[A^{d}, B^{d}] = [ι_{∗}A^{d}, ι_{∗}B^{d}] = [A^{e}, B^{e}]. Daí que

−[A, B]_{d} = [A^{e}, B^{e}] (1) = [A, B]_{e},

concluindo a demonstração. □

Alterando um pouco o ponto de vista, esta proposição, mostra que as estruturas de álgebra de Lie em T_{1}G induzidas por Inv^{d} e Inv^{e} são isomorfas, no sentido em que existe uma aplicação linear inversível L : T_{1}G → T_{1}G tal que L[A, B]_{d} = [LA, LB]_{e}. De fato, tome L = −id. Então, L[A, B]_{d} = −[A, B]_{d} enquanto que [LA, LB]_{e} = [A, B]_{e}, portanto −id é um isomorfismo pela proposição. Visto ainda de outra maneira, a proposição anterior mostra que a aplicação ι_{∗} define um isomorfismo entre Inv^{d} e Inv^{e} munidos do colchete de Lie de campos de vetores.

Definição 3.7 A álgebra de Lie de G, denotada por 𝔤 ou Lie (G), é qualquer uma das álgebras isomorfas Inv^{d}, Inv^{e}, (T_{1}G, [·, ·]_{d}) ou ainda (T_{1}G, [·, ·]_{e}).

Para o desenvolvimento da teoria pode-se escolher qualquer uma das álgebras de Lie concretas para representar 𝔤. A diferença principal está, é claro, na escolha entre invariança à direita e à esquerda. Dependendo da realização que for tomada, algumas fórmulas são alteradas, mudando a ordem em que aparecem os elementos que a constituem. No entanto, escolhendo de antemão o tipo de campo invariante, todas as fórmulas são desenvolvidas de forma coerente. Um critério para a escolha entre os campos invariantes à esquerda ou à direita surge no momento de estudar ações de grupos. Se forem consideradas ações à esquerda (o que ocorre quando se escreve o valor uma função f como f (x)) então os campos que interessam são os invariantes à direita. Já em ações à direita (quando se escreve uma função como (x) f), o que conta são os campos invariantes esquerda.

Exemplos:

1. Os campos invariantes à direita e Gl (n, ℝ) são da forma X_{A} (g) = Ag, com A uma matriz n × n, enquanto que os invariantes à esquerda são da forma Y_{A} (g) = gA. Em coordenadas locais o colchete de Lie de dois campos é dado por

[X, Y] = dY (X) − dX (Y) .

Para uma matriz A, X_{A} se estende uma aplicação linear no espaço das matrizes. Portanto, dX_{A} = X_{A}. Assim, aplicando essa fórmula do colchete a X_{A} e X_{B}, obtém-se

[X_{A}, X_{B}] (g) = B (Ag) − A (Bg) ,

isto é, [X_{A}, X_{B}] = X_{BA−AB}. Por outro lado, o colchete de Lie de campos invariantes à esquerda é dado por [Y_{A}, Y_{B}] = X_{AB−BA}.

2. Os campos invariantes em (ℝ^{n}, +) são os campos constantes. Como o colchete de Lie de campos constantes é zero (como segue da fórmula mencionada acima), a álgebra de Lie do grupo abeliano (ℝ^{n}, +) é abeliana, isto é, satisfaz [·, ·] ≡ 0.

3. Se G e H são grupos de Lie com álgebras de Lie 𝔤 e 𝔥, respectivamente então a álgebra de Lie de G × H é 𝔤 × 𝔥, onde o colchete é dado por

[(X_{1}, Y_{1}) , (X_{2}, Y_{2})] = ([X_{1}, X_{2}], [Y_{1}, Y_{2}]) .

4. Se G é um grupo de Lie discreto, dim G = 0 e, portanto, 𝔤 = {0}.

□

3.3 Aplicação exponencial

A aplicação exponencial exp : 𝔤 → G é o objeto central usado para transportar ao grupo de Lie G propriedades de sua álgebra de Lie 𝔤. A idéia básica de sua construção é que, por definição, os elementos de 𝔤 são equações diferenciais ordinárias em G (campos invariantes), que possuem fluxos, os quais são formados por difeomorfismos locais de G. Os elementos formadores desses fluxos se identificam naturalmente a elementos de G, permitindo construir, a partir de X ∈ 𝔤, um subgrupo de G parametrizado por t ∈ ℝ. A aplicação exponencial é construida a partir desses subgrupos a 1-parâmetro, isto é, parametrizados por ℝ.

Para colocar esses comentários de maneira precisa, seja X um campo invariante (à esquerda ou à direita em G). Denote por X_{t} o seu fluxo. Em princípio X_{t} é um fluxo local, isto é, para t fixado, o domínio de X_{t} é o subconjunto aberto de G das condições iniciais que se prolongam até t.

A invariança de X acarreta a seguinte simetria do fluxo X_{t}: suponha, por exemplo, que X ∈ Inv^{d}, tome g, h ∈ G e considere a curva α (t) = D_{g} (X_{t} (h)) = X_{t} (h) g. O seu domínio é um intervalo aberto de ℝ, contendo 0. Como X_{0} (h) = h, α (0) = hg. Além do mais,

α′ (t) = d (D_{g})_{X_{t}(h)} (X (X_{t} (h))) = X (X_{t} (h)) ,

pois X é invariante à direita. Portanto, α é solução de dg/dt = X (g) com condição inicial α (0) = hg, isto é, α (t) = X_{t} (hg). Isso significa que

X_{t} (hg) = X_{t} (h) g X ∈ Inv^{d}.

Tomando em particular h = 1, fica X_{t} (g) = X_{t} (1) g. Isto é, a solução que passa por g é obtida por translação da solução que passa pelo elemento neutro. De maneira análoga, se mostra que gY_{t} (h) = Y_{t} (gh) (e Y_{t} (g) = gY_{t} (1)) se Y é campo invariante à esquerda. Como as trajetórias são obtidas umas das outras por translação, elas se prolongam pelo mesmo intervalo de ℝ. Isso permite mostrar que os campos invariantes são completos, isto é, suas trajetórias se prolongam sobre todo ℝ.

Proposição 3.8 Um campo invariante (à esquerda ou à direita) é completo. Além do mais, se A ∈ T_{1}G, então (A^{d})_{t} (1) = (A^{e})_{t} (1) para todo t ∈ ℝ e a aplicação t ∈ ℝ ↦ (A^{d})_{t} (1) ∈ G é um homomorfismo do grupo aditivo ℝ a valores em G.

Demonstração: Seja X um campo invariante à direita. Para mostrar que X é completo basta mostrar que a trajetória X_{t} (1) que passa pelo elemento neutro em t = 0 se prolonga por todo ℝ. Seja (α, ω) o domínio de definição da solução maximal t ↦ X_{t} (1). Suponha por absurdo que ω < +∞. Então, X_{ω/2} (1) é bem definido e a trajetória s ↦ X_{s} (X_{ω/2} (1)) se prolonga sobre (α, ω), pois todas as trajetórias de um campo invariante se prolongam ao mesmo intervalo. Esse prolongamento permite definir a curva σ : (α, 3ω/2) → G por

σ (t) = \{ \begin{matrix}X_{t} (1) se t ∈ (α, ω/2] \\ X_{t−ω/2} (X_{ω/2} (1)) se t ∈ (ω/2, 3ω/2). \end{matrix}

É claro que σ (0) = 1, assim para chegar a uma contradição basta mostrar que σ (t) é solução de dg/dt = X (g). Por construção, σ′ (t) = X (σ (t)) para t ∈ (α, ω/2] ou t ∈ (ω/2, 3ω/2). Quanto a t = ω/2, devese observar que σ (t) = X_{t} (1) se t ∈ (α, ω), pois se t ∈ (ω/2, ω) então X_{t−ω/2} (X_{ω/2} (1)) = X_{t−ω.2+ω.2} (1) = X_{t} (1), pela propriedade de fluxo. Daí que σ′ (t) = X (σ (t)) também em t = ω/2. Portanto, σ é uma solução de dg/dt = X (g) que se prolonga a (α, 3ω/2) contradizendo (α, ω) é o intervalo da solução maximal passando por 1. Com isso fica mostrado que ω = +∞. Da mesma forma se verifica que α = −∞, concluindo a demonstração de que X é completo.

A propriedade de homomorfismo é agora imediata:

X_{t+s} (1) = X_{t} (X_{s} (1)) ,

já que X_{t} é fluxo. Por outro lado, se, por exemplo X é invariante à direita então X_{t} (1X_{s} (1)) = X_{t} (1) X_{s} (1), mostrando que

X_{t} (1) X_{s} (1) = X_{t+s} (1) = X_{s+t} (1) = X_{s} (1) X_{t} (1) .

Por fim, falta verificar que as trajetórias de A^{d} e A^{e} que passam pelo elemento neutro coincidem. Para isso basta verificar que a curva δ (t) = (A^{d})_{t} (1) é solução do campo invariante à esquerda, isto é, satisfaz δ′ (t) = A^{e} (δ (t)), pois δ (0) = 1. Pela propriedade de homomorfismo, δ (t + s) = δ (t) δ (s) = δ (s) δ (t). Mas, δ′ (t) = \frac{d}{ds}δ (t + s)_{|s=0} . Usando cada uma das expressões para δ (t + s), obtém-se

δ′ (t) = (dD_{δ(t)})_{1} (δ′ (0)) = (dE_{δ(t)})_{1} (δ′ (0)) .

Como δ′ (0) = A, segue que δ (t) é trajetória de ambos os campos A^{d} e A^{e}, concluindo a demonstração. □

Essa descrição das trajetórias dos campos invariantes permite definir a aplicação exponencial.

Definição 3.9 Seja A ∈ T_{1}G. Então, exp A = (A^{d})_{1} (1) = (A^{e})_{1} (1).

A aplicação exponencial é da forma exp : 𝔤 → G. A definição pressupõe que a álgebra de Lie 𝔤 de G está sendo vista como o espaço tangente ao elemento neutro. Pelas identificações acima, se X é um campo invariante exp X faz sentido e é o valor em 1 ∈ ℝ da solução de X que passa pelo elemento neutro quando t = 0. Em virtude da proposição acima, a aplicação t ↦ exp (tX), X ∈ 𝔤, é um homomorfismo. Portanto,

{exp (tX) : t ∈ ℝ}

é um subgrupo de G, denominado de subgrupo a 1-parâmetro gerado por X.

A seguinte proposição reúne algumas propriedades da aplicação exponencial e dos fluxos dos campos invariantes.

Proposição 3.10 Valem as seguintes afirmações:

1. Se X é invariante à direita então X_{t} = E_{exp(tX)}, isto é, X_{t} (g) = exp (tX) g.

2. Se X é invariante à esquerda então X_{t} = D_{exp(tX)}, isto é, X_{t} (g) = g exp (tX).

3. exp 0 = 1.

4. Para todo X ∈ 𝔤, e t, s ∈ ℝ,

exp (t + s) X = exp (tX) exp (sX) = exp (sX) exp (tX) ,

isto é, os elementos do subgrupo {exp (tX) : t ∈ ℝ} comutam entre si.

5. Sejam X, Y ∈ 𝔤. Então, [X, Y] = 0 se, e só se, exp tX exp sY = exp sY exp tX.

Demonstração: Apenas a última propriedade não foi provada ainda. Mas ela é consequência da propriedade geral de campos de vetores que afirma que seus fluxos comutam se, e só se, o colchete de Lie entre eles se anula em todos os pontos. □

O item 4 desta proposição garante que (exp X)^{n} = exp (nX) para todo n ∈ ℤ. Em particular, (exp X)^{−1} = exp (−X).

Exemplos:

1. Como foi visto os campos invariantes à direita em Gl (n, ℝ) são da forma X (g) = Ag, com A matriz n × n. A equação diferencial associada a X é o sistema linear

\frac{dg}{dt} = Ag

no espaço das matrizes. Sua solução fundamental é dada pela exponencial de matrizes, que coincide, portanto, com a aplicação exponencial em Gl (n, ℝ).

2. Em (ℝ^{n}, +) os campos invariantes são constantes: X (x) = x + v. O fluxo de um campo desses é dado pelas translações X_{t} (x) = x + tv. Tomando x = 0, vê-se que

exp (tv) = tv.

Em particular, exp (v) = v e exp = id.

3. Se G e H são grupos de Lie com álgebras de Lie 𝔤 e 𝔥 respectivamente então exp (X, Y) = (exp X, exp Y) se (X, Y) ∈ 𝔤 × 𝔥, a álgebra de Lie de G × H.

□

Além das propriedades algébricas da aplicação exponencial, enunciadas na proposição 3.10, sua diferenciabilidade também é relevante. A aplicação exponencial foi definida através da solução da equação diferencial dg/dt = X (g), com X campo invariante. O conjunto das equações definidas (por exemplo) pelos campos invariantes à direita pode ser colocada numa única equação dependente do parâmetro A ∈ T_{1}G, escrevendo

\frac{dg}{dt} = f (A, g)  (3.1)

onde f : T_{1}G × G → T G é dada por f (A, g) = (dD_{g})_{1} (A). No caso em que G e p são de classe pelos menos C^{2}, f é de classe ≥ C^{1}. Portanto as soluções de (3.1) dependem diferenciavelmente do parâmetro A. Isso significa que a aplicação exponencial exp : 𝔤 → G é uma aplicação diferenciável.

A diferencial de exp é amplamente utilizada no desenvolvimento da teoria. Existe uma fórmula para essa diferencial em termos de uma série cujos termos sucessivos são colchetes de elementos em 𝔤. Essa fórmula será demonstrada posteriormente. Um de seus casos particulares é a expressão enunciada abaixo para a diferencial da exponencial na origem 0 ∈ 𝔤. Para ler a expressão a ser escrita deve-se levar em conta que exp 0 = 1, assim, (d exp)_{0} é uma aplicação linear 𝔤 → T_{1}G = 𝔤.

Proposição 3.11 (d exp)_{0} = id.

Demonstração: Dado A ∈ 𝔤, (d exp)_{0} (A) = \frac{d}{dt} exp (0 + tA)_{|t=0} . Mas essa derivada é exatamente A pois a curva exp (tA) é solução de dg/dt = A^{d} (g). Portanto, (d exp)_{0} (A) = A, concluindo a demonstração. □

Corolário 3.12 Existem uma vizinhança U de 0 ∈ 𝔤 e uma vizinhança V de 1 em G tal que exp |U : U → V é um difeomorfismo.

Demonstração: Segue do teorema da função inversa e do fato que (d exp)_{0} = id é inversível. □

Corolário 3.13 Seja G um grupo de Lie conexo e tome g ∈ G. Então, existem X_{1}, …, X_{s} ∈ 𝔤 tal que

g = exp (X_{1}) ⋯ exp (X_{s}) .

Demonstração: Como G é conexo, a vizinhança V do corolário anterior gera G, isto é,

G = ⋃_{n≥1} V^{n}.

Um elemento de V^{n} é da forma g_{1} ⋯ g_{n} com g_{i} = exp X_{i} ∈ V. Portanto, um elemento de V^{n} é um produto de exponenciais, o mesmo ocorrendo com g ∈ G arbitrário. □

De acôrdo com o corolário 3.12 a aplicação exp^{−1} : V → U é um difeomorfismo entre um aberto de G e um aberto de um espaço vetorial. Portanto, exp^{−1} pode ser considerada uma carta, ou sistema de coordenadas local, de G. Essa carta é denominada de sistema de coordenadas de primeira espécie. Um outro tipo de sistema de coordenadas nas vizinhanças de 1 é dada pela seguinte aplicação: tome uma base {X_{1}} de 𝔤 e considere a aplicação

ψ : (t_{1}, …, t_{N}) ∈ ℝ^{N} ⟼ e^{t_{1}X_{1}} ⋯ e^{t_{N} X_{N}} ∈ G.

Ela satisfaz ψ (0) = 1 e dψ_{0} = id. Portanto, em alguma vizinhança de 0 ∈ ℝ^{N}, ψ é um difeomorfismo. Uma aplicação dessas é chamada de sistema de coordenadas de primeira espécie.

3.4 Homomorfismos

Sejam G e H dois grupos de Lie. Um homomorfismo ϕ : G → H diferenciável entre G e H é chamado às vezes de homomorfismo de grupos de Lie. A mesma terminologia se aplica a isomorfismos e automorfismos entre grupos de Lie.

Levando em conta o principio de que os grupos de Lie devem ser estudados através das álgebras de Lie, os homomorfismos entre grupos de Lie serão descritos através dos homomorfismos entre suas álgebras de Lie. Um homomorfismo entre as álgebras de Lie 𝔤 e 𝔥 é uma aplicação linear θ : 𝔤 → 𝔥 que satisfaz θ[X, Y] = [θX, θY] para todo X, Y ∈ 𝔤. A relação entre os homomorfismos de grupos e álgebras de Lie é fornecida pela diferencial no elemento neutro. Essa relação será provada a seguir usando algumas fórmulas envolvendo homomorfismos de grupos e exponenciais.

Antes de mais nada, deve-se observar que se ϕ : G → H é um homomorfismo de grupos então para todo g ∈ G valem as igualdades:

ϕ ∘ D_{g} = D_{ϕ(g)} ∘ ϕ ϕ ∘ E_{g} = E_{ϕ(g)} ∘ ϕ.

Lema 3.14 Sejam G e H grupos de Lie com álgebras de Lie 𝔤 e 𝔥, respectivamente. Seja ϕ : G → H um homomorfismo diferenciável e tome X ∈ 𝔤. Então, para todo g ∈ G, vale

dϕ_{g} (X^{d} (g)) = Y^{d} (ϕ (g))

onde Y = dϕ_{1} (X).

Demonstração: Como X^{d} é campo invariante à direita,

dϕ_{g} (X^{d} (g)) = dϕ_{g} ∘ d (D_{g})_{1} (X) = d (ϕ ∘ D_{g})_{1} (X) .

Mas, ϕ ∘ D_{g} = D_{ϕ(g)} ∘ ϕ. Portanto,

d (ϕ ∘ D_{g})_{1} (X) = d (D_{ϕ(g)} ∘ ϕ)_{1} (X) = d (D_{ϕ(g)}) ∘ dϕ_{1} (X)

e daí que dϕ_{g} (X^{d} (g)) = d (D_{ϕ(g)})∘dϕ_{1} (X) = Y^{d} (ϕ (g)), que é a igualdade do enunciado. □

Proposição 3.15 Sejam G e H grupos de Lie com álgebras de Lie 𝔤 e 𝔥, respectivamente. Seja ϕ : G → H um homomorfismo diferenciável e tome X ∈ 𝔤. Então,

ϕ (exp (X)) = exp (dϕ_{1} (X)) .

Demonstração: Considere a curva α : ℝ → H dada por α (t) = ϕ (exp (tX)). Essa é uma curva diferenciável e satisfaz

α′ (t) = dϕ_{exp(tX)} (X^{d} (exp (tX)))

já que a derivada exp (tX) é curva integral do campo invariante à direita X^{d}, por definição da exponencial. Pelo lema acima, segue que

α′ (t) = Y^{d} (ϕ (exp (tX))) ,

onde Y = dϕ_{1} (X). Portanto, α é curva integral do campo Y^{d}. Como α (0) = 1, α (t) = exp (tdϕ_{1} (X)) para todo t ∈ ℝ. Em particular, é igualdade do lema é obtida tomando t = 1. □

Lema 3.16 Sejam G e H grupos de Lie com álgebras de Lie 𝔤 e 𝔥, respectivamente. Suponha que ϕ : G → H um homomorfismo diferenciável e tome X ∈ 𝔤. Então,

dϕ_{1} ∘ d (E_{e^{−X}})_{e^{X}} ∘ d (D_{e^{X}})_{1} = d (E_{e^{−Z}})_{e^{Z}} ∘ d (D_{e^{Z}})_{1} ∘ dϕ_{1}

onde Z = dϕ_{1} (X).

Demonstração: Como ϕ ∘ E_{g} = E_{ϕ(g)} ∘ ϕ e ϕ ∘ D_{g} = D_{ϕ(g)} ∘ ϕ a regra da cadeia implica que a fórmula do lema vale com ϕ (exp X) no lugar de exp Z. Mas, a proposição 3.15 garante que ϕ (exp X) = exp Z. □

Proposição 3.17 Sejam G e H grupos de Lie com álgebras de Lie 𝔤 e 𝔥, respectivamente. Seja ϕ : G → H um homomorfismo diferenciável. Então dϕ_{1} : 𝔤 → 𝔥 é homomorfismo.

Demonstração: Como dϕ_{1} é linear, basta mostrar a propriedade de homomorfismo:

dϕ_{1}[X, Y] = [dϕ_{1}X, dϕ_{1}Y].

Pela expressão para o fluxo na proposição 3.10, a definição de colchete de Lie, mostra que

[X, Y] = \frac{d}{dt} (d (E_{e^{−tX}})_{e^{tX}} ∘ d (D_{e^{X}})_{1} (Y))_{|t=0} .

Aplicando dϕ_{1} a esta igualdade, o lema anterior, juntamente com a fórmula para [dϕ_{1} (X) , dϕ_{1} (Y)], mostra a propriedade de homomorfismo de dϕ_{1}. □

Corolário 3.18 Nas condições da proposição anterior, suponha que H é conexo e dϕ_{1} é sobrejetora. Então, ϕ é uma aplicação sobrejetora e aberta.

Demonstração: O teorema da aplicação aberta garante que se dϕ_{1} é sobrejetora então existe uma vizinhança aberta U da identidade tal que a restrição de ϕ a U é uma aplicação aberta. Em particular, ϕ (U) é aberto e, portanto, a imagem de ϕ é um subgrupo de interior não vazio. Mas, por hipótese H é conexo e daí que a imagem de ϕ coincide com H.

Seja V ⊂ G um aberto e tome x ∈ V. Então, existe um aberto W ⊂ U tal que xW ⊂ V. Como ϕ é homomorfismo, ϕ (xW) = ϕ (x) ϕ (W). Mas, por construção de U, ϕ (W) é aberto e daí que ϕ (x) ϕ (W) é um aberto contendo ϕ (x) e contido em ϕ (V), mostrando que ϕ (V) é aberto e, portanto, ϕ é aplicação aberta. □

A proposição acima significa que homomorfismos de grupos de Lie induzem homomorfismos entre as álgebras de Lie correspondentes. O procedimento inverso, isto é, a construção homomorfismos de grupos que “estendem” homomorfismos de álgebras de Lie, nem sempre é possível, isto é, se G e H são grupos de Lie com álgebras de Lie 𝔤 e 𝔥, respectivamente, e θ : 𝔤 → 𝔥 é um homomorfismo, nem sempre existe um homomorfismo ϕ : G → H tal que θ = dϕ_{1}. Por exemplo, tome G = 𝕊^{1} e H = ℝ. Então, dim 𝔤 = dim 𝔥 = 1, e, portanto, existem isomorfismos entre 𝔤 e 𝔥. Mas, nenhum isomorfismo é da forma dϕ_{1}, pois o único homomorfismo G → H é constante, já que 𝕊^{1} é compacto e {0} é o único subgrupo de ℝ contido num compacto. O que está em jogo aqui são as propriedades topológicas globais do grupo G. Como será visto, no caso em que G é simplesmente conexo, todo homomorfismo cujo domínio é a álgebra de Lie 𝔤 de G se estende a um homomorfismo diferenciável com domínio G. Independente da existência de homomorfismos globais, sempre é possível realizar uma construção local, como será visto posteriormente.

Exemplo: O determinante det : Gl (n, ℝ) → ℝ \ {0} é um homomorfismo sobre o grupo multiplicativo real. Esse homomorfismo é diferenciável. Para obter d (det)_{1} tome uma matriz X e uma curva g_{t} = (a_{ij} (t))_{i,j=1}^{n} ∈ Gl (n, ℝ) tal que g_{0} = 1 e a′_{ij} (0) = X. A derivada do produto

det (g_{t}) = ∑_{σ} (−1)^{σ} a_{1σ(1)} (t) ⋯ a_{nσ(n)} (t)

em t = 0 vale trX. Portanto, d (det)_{1} (X) = trX. Como pode ser verificado diretamente, a aplicação X ∈ 𝔤𝔩 (n, ℝ) ↦ trX ∈ ℝ é um homomorfismo de álgebras de Lie. □

3.4.1 Representações

Um caso particular de homomorfismo entre grupos de Lie é quando o contra-domínio é um grupo linear Gl (n, ℝ). Nesse caso, o homomorfismo é chamado de representação do grupo. De maneira mais geral, uma representação de um grupo G num espaço vetorial V é uma ação ρ de G em V tal que todas as transformações ρ (g) são aplicações lineares de V. A partir das propriedades das ações se vê que cada ρ (g) é inversível e que ρ : G → Gl (V) é um homomorfismo, onde Gl (V) denota o grupo das transformações lineares inversíveis de V. A representação é contínua ou diferenciável, de acôrdo com as propriedades correspondentes da ação. Posteriormente, será mostrado que toda representação contínua de dimensão finita é, na verdade, diferenciável.

O espaço V é chamado de espaço da representação e dim V sua dimensão.

Seja ρ é uma representação de dimensão finita (diferenciável) de G em V. A álgebra de Lie do grupo Gl (V) é denotada por 𝔤𝔩 (V), ela coincide com o espaço vetorial das transformações lineares V → V com o colchete dado pelo comutador. A diferencial de ρ na identidade dρ_{1} : 𝔤 → 𝔤𝔩 (V) é um homomorfismo de álgebras de Lie e como tal uma representação em V da álgebra de Lie 𝔤. Essa representação é denominada representação infinitesimal associada a ρ. É comum denotar a representação infinitesimal com a mesma notação (isto é, ρ = dρ_{1}). A fórmula que relaciona as duas representações é dada pela proposição 3.15:

ρ (exp X) = exp (dρ_{1} (X)) .  (3.2)

A exponencial no segundo membro é a do grupo linear e, portanto, pode ser escrita como a soma de uma série de potências.

Exemplos:

1. Seja G = Gl (n, ℝ). Sua representação canônica em ℝ^{n} é a aplicação identidade. A representação infinitesimal correspondente também é a identidade, isto é, associa a um elemento de 𝔤𝔩 (n, ℝ) a transformação linear correspondente de ℝ^{n}. Essa afirmação segue de

\frac{d}{dt} (exp (tX))_{|t=0} = X.

2. Novamente, seja G = Gl (n, ℝ) e considere o produto tensorial

T_{k} = ⨂^{k} ℝ^{n} = ℝ^{n} ⊗ ⋯ ⊗ ℝ^{n}

e, para g ∈ G, defina a transformação linear ρ_{k} (g) : T_{k} → T_{k}, de tal forma que nos produtos tensoriais v_{1}⊗⋯⊗v_{k}, v_{1}, …, v_{k} ∈ ℝ^{n}, vale

ρ_{k} (g) (v_{1} ⊗ ⋯ ⊗ v_{k}) = gv_{1} ⊗ ⋯ ⊗ gv_{k}.

A aplicação ρ_{k} é uma representação de Gl (n, ℝ). Sua representação infinitesimal é calculada pela derivada

\frac{d}{dt} (e^{tX}v_{1} ⊗ ⋯ ⊗ e^{tX}v_{k})_{|t=0} = ∑_{i=1}^{k} v_{1} ⊗ ⋯ ⊗ Xv_{i} ⊗ ⋯ ⊗ v_{k}.

□

3.4.2 Representações adjuntas

Existe uma representação natural de um grupo de Lie G em sua álgebra de Lie. Essa representação é construida da seguinte forma: um elemento g ∈ G define o automorfismo interno C_{g} (x) = gxg^{−1}. É claro que C_{g} (1) = 1, portanto d (C_{g})_{1} é uma aplicação linear 𝔤 → 𝔤. Dados g, h ∈ G, C_{g} ∘ C_{h} (x) = g (hxh^{−1}) g^{−1} = C_{gh} (x). Isso implica que d (C_{g})_{1} ∘ d (C_{h})_{1} = d (G_{gh})_{1} e daí que a aplicação g ↦ d (C_{g})_{1} é uma representação de G em 𝔤.

Definição 3.19 A representação adjunta Ad : G → Gl (𝔤), de G em sua álgebra de Lie 𝔤 é definida por Ad (g) = d (C_{g})_{1} = d (E_{g} ∘ D_{g^{−1}})_{1} = d (D_{g^{−1}} ∘ E_{g})_{1}.

De acôrdo com a proposição 3.17, Ad (g) = d (C_{g})_{1} é um homomorfismo de 𝔤. Além do mais vale a seguinte fórmula, que é bastante usada em relações envolvendo a adjunta:

g exp (X) g^{−1} = exp (Ad (g) X) .  (3.3)

A representação infinitesimal de Ad é uma representação da álgebra de Lie 𝔤 em si mesma, isto é, um homomorfismo de álgebras de Lie 𝔤 → 𝔤𝔩 (𝔤). Como será demonstrado a seguir, a representação infinitesimal é nada mais nada menos que a representação adjunta de 𝔤:

Definição 3.20 Seja 𝔤 uma álgebra de Lie. Sua representação adjunta, é a aplicação ad : 𝔤 → 𝔤𝔩 (𝔤) definida por

ad (X) (Y) = [X, Y].

A identidade de Jacobi garante que a aplicação ad é de fato um homomorfismo de álgebras de Lie, onde o colchete em 𝔤𝔩 (𝔤) é dado pelo comutador.

Uma aplicação linear D : 𝔤 → 𝔤 é denominada derivação, se

D[X, Y] = [DX, Y] + [X, DY].

A propriedade de Jacobi para colchetes em álgebras de Lie garante que as aplicações ad (X), X ∈ 𝔤, são derivações de 𝔤. Elas são denominadas de derivações internas de 𝔤.

Proposição 3.21 Seja G um grupo de Lie, com álgebra de Lie 𝔤, com o colchete dado pelos campos invariantes à esquerda. Então, a representação infinitesimal associada à sua representação adjunta Ad é a representação adjunta ad de 𝔤. Em outras palavras, valem as fórmulas:

1. d (Ad)_{1} (X) = ad_{e} (X), X ∈ 𝔤.

2. Ad (exp X) = exp (ad_{e} (X)).

(O subíndice e foi colocado para enfatizar que o colchete é dado pelos campos invariantes à esquerda).

Demonstração: Seja X um campo invariante à esquerda. Então, d (Ad)_{1} (X) é uma aplicação linear 𝔤 → 𝔤. Para calculá-la, seja Y outro campo invariante á esquerda. Para t ∈ ℝ vale

Ad (exp (tX)) (Y) = d (E_{exp(tX)} ∘ D_{exp(−tX)})_{1} (Y)
= d (D_{exp(−tX)})_{exp(tX)} (d (E_{exp(tX)})_{1} (Y)) .

Como Y é campo invariante à esquerda, d (E_{exp(tX)})_{1} (Y) = Y (exp (tX)). Agora, o fluxo X_{t} de X é dado por X_{t} = D_{exp(tX)}. Usando esse fluxo a igualdade acima se reescreve como

Ad (exp (tX)) (Y) = d (X_{−t})_{X_{t}(1)} (Y (X_{t} (1))) .

Portanto, \frac{d}{dt} (Ad (exp (tX)) (Y))_{|t=0} = [X, Y] (1), pela fórmula que define o colchete de Lie de dois campos de vetores. Esta igualdade significa que

\frac{d}{dt} (Ad (exp (tX)))_{|t=0} = ad_{e} (X) ,

mostrando que ad é a representação infinitesimal associada a Ad. A segunda fórmula do enunciado é um caso particular de (3.2), que vale para representações em geral. □

Se ao invés do colchete de campos à direita, for tomado o colchete de campos à direita, as fórmulas que relacionam as representações adjuntas Ad e ad são

1. d (Ad)_{1} (X) = −ad_{d} (X), X ∈ 𝔤.

2. Ad (exp X) = exp (−ad_{e} (X)),

já que [X, Y]_{e} = −[X, Y]_{d} e, portanto, ad_{e} (X) = −ad_{d} (X), X ∈ 𝔤.

As fórmulas da proposição 3.21 relacionam as representações adjuntas do grupo e da álgebra de Lie, através da aplicação exponencial. A proposição a seguir segue o mesmo espírito, estabelecendo uma relação entre as conjugações e as adjuntas.

Como foi observado acima, cada Ad (g), g ∈ G, é um homomorfismo da álgebra de Lie 𝔤. Esses homomorfismos são de fato automorfismos pois Ad (g)^{−1} = Ad (g^{−1}), g ∈ G. Portanto, é natural considerar Ad como um homomorfismo de grupos Ad : G → Aut (𝔤), onde Aut (𝔤) denota o grupo dos automorfismos de 𝔤. A imagem de Ad é então um subgrupo de Aut (𝔤). Posteriormente será demonstrado que Aut (𝔤) é um grupo de Lie e que Ad é diferenciável quando considerada como um homomorfismo a valores nesse grupo de Lie.

Já o núcleo ker Ad é um subgrupo fechado de G, pois o Ad é uma aplicação diferenciável e, em particular, contínua, a valores no grupo Gl (𝔤). Em geral, não é possível dizer nada sobre a natureza de ker Ad. Por exemplo, num grupo de Lie é discreto (isto é, dim G = 0), ker Ad = G, isto é, não existe nenhuma restrição para os elementos de ker Ad. No entanto, se G é conexo as fórmulas desenvolvidas acima permitem caracterizar ker Ad.

Proposição 3.22 Seja

Z (G) = {g ∈ G : ∀h ∈ G, gh = hg}

o centro de G. Então, Z (G) ⊂ ker Ad. Suponha que o grupo de Lie G é conexo. Então ker Ad = Z (G).

Demonstração: É consequência da fórmula

exp (Ad (g) X) = g (exp X) g^{−1}

e do corolário 3.13. Em primeiro lugar, se g ∈ Z (G) então

exp (Ad (g) X) = exp X

para todo X ∈ 𝔤. Mas, exp é um difeomorfismo ao redor da origem, isto é, existe uma vizinhança V ⊂ 𝔤 de 0 tal que exp é injetora nessa vizinhança. Portanto, Ad (g) X = X para todo X ∈ V. Isso ímplica que Ad (g) = id pois para todo Y ∈ 𝔤 existe r ∈ ℝ tal que rY ∈ V e como Ad (g) é linear, segue que Ad (g) Y = Y. Portanto, g ∈ ker Ad, concluindo que Z (G) ⊂ ker Ad.

Por outro lado, suponha que G é conexo e seja g ∈ ker Ad. Então, Ad (g) X = X para todo X ∈ 𝔤 e daí que

exp (X) = g (exp X) g^{−1}.

Isto significa que g comuta com todos os elementos da forma exp X, X ∈ 𝔤. Portanto, g comuta com produtos de exponenciais exp (X_{1}) ⋯ exp (X_{s}). Como G é conexo todo elemento de G é um produto de exponenciais, concluindo que ker Ad ⊂ Z (G). □

Esta proposição está em concordância com o fato de que o núcleo ker ad da representação adjunta de 𝔤 é o seu centro

𝔷 (𝔤) = {X ∈ 𝔤 : ∀Y ∈ 𝔤, [X, Y] = 0}.

Será mostrado posteriormente que o Z (G) é um subgrupo de Lie de G, cuja subálgebra de Lie é o centro de 𝔤.

Exemplos:

1. Em Gl(n, ℝ), Ad (g) coincide com a conjugação C_{g}, pois C_{g} se estende a uma transformação linear no espaço das matrizes, portando coincide com Ad (g) que é sua diferencial na identidade. Em outras palavras, se X ∈ 𝔤𝔩 (n, ℝ) e g ∈ Gl (n, ℝ) então

Ad (g) X = gXg^{−1}.

O centro de Gl (n, ℝ) é o subgrupo das matrizes escalares a · 1, 0 ≠ a ∈ ℝ. Apesar de Gl (n, ℝ) ter duas componentes conexas a expressão para Ad (g) confirma de imediato que Z (Gl (n, ℝ)) = ker Ad.

2. Num grupo abeliano G a representação adjunta é trivial: Ad (g) = id para todo g ∈ G, pois C_{g} = id.

□