Prefácio

Este texto tem por objetivo apresentar aos alunos do curso de graduação em Matemática Aplicada e Computacional, da modalidade Análise Aplicada, do Departamento de Matemática Aplicada-IMECC  UNICAMP, bem como para os estudantes de engenharia, uma introdução à resolução numérica de Equações Diferenciais Parciais pelo Método de Diferenças Finitas. Este tema é extremamente importante, pois, em geral, os fenômenos físicos, químicos ou biológicos podem ser modelados através de equações a derivadas parciais. Tais equações são classificadas por tipos. Assim, equações elípticas descrevem os fenômenos de difusão estacionários, equações parabólicas descrevem os fenômenos de difusão de evolução e as equações hiperbólicas descrevem os fenômenos de transporte. Para cada tipo de equação existe uma classe de métodos numéricos que são mais adequados.

Vamos apresentar os esquemas de diferenças finitas que são estáveis para os problemas de advecção-difusão, no caso em que o transporte advectivo é predominante sobre o transporte difusivo. Como aplicação de um problema de advecção dominante, apresentamos um modelo matemático e as simulações numéricas para o transporte de soluto em colunas de solo saturado. Este modelo representa, por exemplo, a infiltração de pesticidas em áreas agrícolas. Para um problema puramente difusivo, apresentamos modelos para o estudo do processo de resfriamento, que também é muito interessante nas aplicações práticas em várias áreas tecnológicas. O problema de Poisson, que é um exemplo clássico de um problema elíptico, está relacionado com as aplicações em potencial elétrico ou na distribuição de temperatura em regime estacionário. Vários tipos de condições de contorno serão apresentadas para cada um dos problemas acima, assim como o seu significado físico.

Para um bom aproveitamento do texto é conveniente uma certa familiaridade com os métodos matemáticos para obtenção da solução de problemas de valores de contorno através da técnica de separação de variáveis, bem como da forma de classificação das equações a derivadas parciais. Além disso, uma disciplina introdutória de equações diferenciais ordinárias também é recomendado.

Na construção das fórmulas de diferenças finitas para aproximação do valor das derivadas de uma função real em um ponto, vamos necessitar da teoria sobre Fórmula de Taylor com resto e de alguns outros resultados sobre função diferenciável. Apresentamos uma breve introdução sobre esses temas no primeiro capítulo. Nos exercícios, do quarto capítulo, abordamos uma segunda maneira de obtermos as fórmulas de diferenças finitas através de interpolação polinomial.

Os esquemas de diferenças finitas utilizados para a discretização dos problemas de valores de contorno, bem como a análise de erro local, estabilidade, consistência e convergência, que vamos apresentar, fazem parte do programa da disciplina MS 711 Análise Numérica  III, que é sugerida para o sétimo semestre da modalidade Análise Aplicada. Assim, consideramos que os alunos têm um conhecimentos dos tópicos estudados na disciplina de Cálculo Numérico e um aprofundamento nos métodos numéricos para sistemas lineares que são abordados na disciplina MS 512 Análise Numérica  I, sugerida para o quinto semestre do curso de graduação em Matemática Aplicada e Computacional.

A discretização de problemas de valores de contorno através dos esquemas de diferenças finitas nos levam a um problema de sistemas lineares de grande porte, e com uma certa estrutura de esparsidade. No terceiro capítulo apresentamos os métodos iterativos e os métodos diretos para obtenção de soluções numéricas para os sistemas lineares provenientes das discretizações. Na análise de convergência dos métodos iterativos, bem como para o estudo da estabilidade, consistência e convergência dos esquemas numéricos, necessitamos de uma teoria mais específica sobre matrizes especiais e normas matriciais. Esses tópicos serão apresentados, visando as necessidades do texto, no segundo capítulo, e requerem um certa habilidade em álgebra linear. Neste capítulo também apresentamos uma análise de sensibilidade para sistemas lineares, onde pretendemos colocar um pouco de luz na influência do número de condição da matriz na qualidade das soluções numéricas.

No quarto capítulo faremos as construções das fórmulas de diferenças finitas para aproximar o valor da primeira e segunda derivada, através das fórmulas de Taylor com resto, explicitando o erro local de cada uma das fórmulas descritas. Este procedimento tem por objetivo a análise do erro de truncamento local dos esquemas de diferenças finitas, bem como a obtenção do termo de difusão numérica dos esquemas estáveis para os problemas de advecção dominante. Vamos também construir fórmulas de diferenças finitas atrasada e avançada para aproximar a primeira derivada, tendo por objetivo a discretização de condições de contorno de Robin. Os capítulos seguintes serão destinados aos métodos de diferenças finitas para problemas de valores de contorno e suas aplicações.

No final de cada capítulo apresentamos um conjunto de exercícios, alguns dos quais são necessários a elaboração de uma implementação computacional, que pode ser feita utilizando a estrutura de programação do Matlab. Com o objetivo de apresentar uma maneira eficiente de programação dos métodos numéricos estudados, estão disponíveis na página  www.ime.unicamp.br/~pulino/MDF_AsTeCA/ a implementação computacional em Matlab de alguns dos métodos. Os procedimentos disponibilizados serão utilizados como ponto de partida para a implementação computacional dos modelos numéricos para os problemas práticos sugeridos nos projetos, que estão relacionados com o tema do capítulo.