MM 439, Álgebras de Lie
Segundo semestre de 2020
Aulas: terça e quinta, 08:00--10:00 no Google Meet, link para a sala:
meet.google.com/civ-innn-auc
Acessos serão permitidos apenas de endereços da Unicamp (isto é os alunos terão de usar seu endereço da DAC).
Ementa:
1. Definições,
exemplos e construções básicas: álgebras de Lie, subálgebras,
ideais, homomorfismos, representações, subrepresentações,
homomorfismo de representações, representação adjunta,
derivações, produto semidireto de álgebras, produto tensorial de
representações.
2. Álgebra universal envelopante, teorema de Poincaré - Birkhoff - Witt, Álgebras de Lie livres
3. Álgebras solúveis e nilpotentes, séries derivada e central, teorema de Engel, teorema de Lie,
radicais solúveis e nilpotentes, critério de Cartan para
solubilidade, forma de Cartan-Killing e critério para
semi-simplicidade.
4. Teorema de Weyl sobre redutibilidade completa de
representações de álgebras semi-simples, teorema da decomposição
de Levi.
5. Classificação das representações de dimensão finita de
sl(2), subálgebras de Cartan e subálgebras torais maximais,
teoremas de conjugação, decomposição de álgebras semi-simples em
espaços de raízes, sistemas de raízes, grupo de Weyl, sequências
de raízes, bases de sistemas de raízes, matrizes de Cartan,
diagramas de Dynkin, classificação de sistemas de raízes, teorema
de Serre e classificação das álgebras de Lie simples, subálgebras
de Borel.
6. Representações de dimensão finita de álgebras
semi-simples, pesos, pesos integrais e dominantes, representações
de peso máximo, classificação das representações irredutíveis,
geradores e relações para as representações irredutíveis, breve
introdução a teoria de caracteres (definição e invariância pela
ação do grupo de Weyl).
Bibliografia principal:
1. J. E. Humphreys, Introduction to Lie algebras and
representation theory, Springer, GTM 9, 1972.
2. L. A. B. San Martin, Álgebras de Lie, Ed. Unicamp, 2010.
3. Yu. A. Bahturin, Identical relations in Lie algebras, VNU Science Press, Utrecht, 1987.
4. N. Jacobson, Lie Algebras,
Interscience Publishers.
5. N.
Bourbaki, Lie Groups and Lie Algebras 1-3, 4-6, 7-9, Elements of
Mathematics, Springer, 1989, 2002, 2005.
A
principal referência será o livro [1]. Os alunos poderão fazer download
do arquivo pdf diretamente da página da Editora Springer
(www.springer.com), buscando pelo título, e depois entrando no
springerlink.Para ter acesso (gratuitamente) ao conteúdo, é necessário usar número IP da
Unicamp, por exemplo via VPN, ou acessar a partir de computador da rede da
Unicamp.
Instruções
sobre a instalação e a configuração de VPN para vários sistemas
operaacionais podem ser encontradas na página do CCUEC:
www.ccuec.unicamp.br
Avaliações:
Serão aplicadas 3 provas com pesos iguais, em datas a definir (dentro da respectiva semana) até o final de setembro de 2020.
Primeira prova: 19 a 23 de outubro
Segunda prova: 16 a 20 de novembro
Terceira prova: 21 a 23 de dezembro
As provas terão pesos iguais. Se a média do aluno for maior ou igual a
8, a nota será A. Média entre 6,5 e 7,999999... significa nota B, média
entre 5,0 e 6,499999... - nota C. Média abaixo de 5 equivale a D
(reprovado).
Observações importantes
1. As aulas serão dadas online, usando Google Meet. Após a primeira
semana de aulas providenciarei um planejamento do material para as
próximas aulas. Exercícios serão postados no Google classroom periodicamente.
2. Pré-requisitos (que não serão feitos nas
aulas): Álgebra Linear (o conteúdo da matéria MM 719), especialmente
espaços com produto interno e formas canônicas; conhecimento das
estruturas algébricas básicas: grupo, anel, homomorfismos.
3. A principal referência será o livro [1] (ver após a bibliografia como obter, legalmente, uma cópia em pdf deste livro).
4.
Todo
material será dado nas aulas online. Apesar disso recomenda-se que os
alunos façam uma leitura antecipadamente, assim nas aulas poderemos
focar nos pontos mais importantes da matéria. Exercícios do livro [1]
serão indicados para resolução, e outras listas serão providenciadas.
5.
As provas serão aplicadas fora do horário das aulas, desta forma até o
final de dezembro teremos as 30 aulas. As provas serão aplicadas
remotamente: os alunos receberão os problemas da prova às 08:00 de
manhã e terão 4 horas para a resolução (permitida consulta a livros
etc.) Em seguida terão de escanear (fotografar) as resoluções e enviar
para o professor através do Google Classroom. Recomenda-se o uso de
CamScanner (disponível para Android e IOS).
6. Nas provas, além dos exercícios computacionais, os alunos terão de enunciar e demonstrar pontos da teoria estudada.