<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass{article}
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\newcommand{\R}{\mathbb{R}}

\renewcommand{\thefootnote}{\fnsymbol{footnote}}

 
\begin{document}

%\pagestyle{empty}

{\large
\noindent
DM-IMECC-UNICAMP -- MA901/902-Estágio Supervisionado I/II\\
Turma A -- 2o semestre de 2019 \hfill  Prof. Marcelo Santos}

\bigskip

\begin{center}
\large
\bf{Por que podemos aplicar a {\em regra de três} para converter graus em radianos? e o {\lq\lq}{\em Teorema Fundamental da Proporcionalidade}}{\rq\rq}\footnote[1]{Texto motivado pela Apresentação da Maysa.}
\end{center}

\smallskip

\hfill {\bf Atualizado em 12/09/2019}

\bigskip

\begin{center}
 {\sl{\bf\underline{Versão }p\underline{reliminar}.}} 

{\sl{\bf{Corrija os erros e, comentários e sugestões são mais do que bem-vindos!}}}
\end{center}

\bigskip

Consideremos as relações/correspondências
\begin{center}
\begin{tabular}{ccc}
Graus &amp; &amp; Radianos\\
$x_0$ &amp; $\longrightarrow$ &amp; $y_0$\\
$x$ &amp; $\longrightarrow$ &amp; y
\end{tabular}
\end{center}

$$
\fbox{$y=?$}
$$

\noindent
Aplicando a {\em regra de três}/{\lq\lq}multiplicando em cruz{\rq\rq}, temos:

%\begin{center} 
%\begin{tabular}{ccc}
%Graus &amp; &amp; Radianos\\
%$x_0$ &amp; $\searrow$ &amp; $y_0$\\
%$x$ &amp; $\nearrow$ &amp; y,
%\end{tabular}
%\end{center}

%\noindent
%temos:
$$
x_0 \cdot y = x \cdot y_0\\
$$

\begin{center}
\fbox{$\displaystyle{y=\frac{y_0}{x_0} x}$}
\end{center}


\noindent
\underline{\bf{Primeira Observa}}{\bf{ç}}\underline{\bf{ão}}{\bf{:}} Note que na tabela/nas relações acima está implícito que temos uma função \ $f:\R\to\R$ dada por
$$
x \ \mbox{graus} \longrightarrow y \ \mbox{radianos},
$$
ou seja, para cada $x\in\R$ graus temos um único valor $y\in\R$ radianos.

\smallskip

\noindent
\underline{\bf{Se}}{\bf{g}}\underline{\bf{unda Observa}}{\bf{ç}}\underline{\bf{ão}}{\bf{:}} Valendo a regra de três, concluímos que esta função é uma \underline{fun}ç\underline{ão linear}:
$$
f(x)=k\cdot x, \qquad k=y_0/x_0.
$$

\bigskip

\noindent
\underline{\bf{Observa}}{\bf{ç}}{\underline{\bf{ão }}{\bf{g}}\underline{\bf{eral}}/\underline{\bf{Generaliza}}{\bf{ç}}\underline{\bf{ão}}{\bf{:}} \ Não importa que temos acima uma relação entre graus e radianos: sempre que escrevemos uma tabela/correspondência entre (medidas de) duas grandezas

\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{ccc}
Uma grandeza &amp; &amp; Outra grandeza\\
$x_0$ &amp; $\longrightarrow$ &amp; $y_0$\\
$x$ &amp; $\longrightarrow$ &amp; y
\end{tabular}
\end{center}

\noindent
com o intuito de usar a regra de três, estamos admitindo (supondo) que $y$ é uma função de $x$ e quando aplicamos a regra de três/{\lq\lq}multiplicamos em cruz{\rq\rq}, obtemos que esta função é a função linear dada por

\smallskip

\begin{center}
\fbox{$y=k\cdot x, \qquad k=y_0/x_0$}.
\end{center}

\bigskip

\noindent
\underline{\bf{Conclusão até a}}{\bf{q}}\underline{\bf{ui}}{\bf{:}} {\em Só podemos aplicar a regra de três a uma correspondência}
$$
x\longrightarrow y
$$
{\em quando $y$ é uma função linear (depende linearmente) de $x$, i.e. $y=k\cdot x$, sendo $k$ uma constante}. 

\smallskip

Neste caso dizemos que $y$ é ({\em diretamente}) {\em proporcional a} $x$ e chamamos $k$ de {\em constante de proporcionalidade}.

\smallskip

Note que vale a recíproca da Conclusão acima, i.e. se temos uma função linear $y=k\cdot x$ então vale a regra de três para a tabela 

\smallskip

\begin{center}
\begin{tabular}{ccc}
$x_0$ &amp; $\longrightarrow$ &amp; $y_0$\\
$x$ &amp; $\longrightarrow$ &amp; y\, .
\end{tabular}
\end{center}

\noindent
De fato, neste caso, temos
$$
y_0=k\cdot x_0, \qquad y=k\cdot x,
$$
logo, aplicando as propriedades associativas e comutativa do produto de números reais, obtemos
$$
x_0\cdot y = x_0\cdot (k\cdot x) = (x_0\cdot k)\cdot x = (k\cdot x_0)\cdot x = y_0\cdot x = x\cdot y_0,
$$
ou seja, vale a {\lq\lq}multiplicação em cruz{\rq\rq}.
\noindent

\bigskip\bigskip

A questão agora é a seguinte: dada uma correspondência
$$
x\longrightarrow y
$$
entre (as medidas de) duas grandezas $x,y$, 

\smallskip

\begin{framed}
\centerline{\bf Como sabemos que $\mathbf{y}$ é (diretamente) proporcional a $\mathbf{x}$?}
\end{framed}

\noindent
ou, equivalentemente, pelo que vimos acima, sabendo que $y$ é uma função de $x$, como sabemos que esta função é uma função linear? ou seja (falando mais matematicamente),

\begin{framed}
\bf
Dada uma função $\mathbf{f:\R\to\R}$, como podemos verificar que $\mathbf{f}$ é uma função linear, i.e. que $\mathbf{f}$ é da forma 
$$
\mathbf{f(x)=k\cdot x,}
$$
para alguma constante $\mathbf{k}$?
\end{framed}

Para responder esta questão, na prática usamos o seguinte teorema que Elon L. Lima et al. chamam de

\smallskip

\noindent
\underline{\bf{Teorema Fundamental da Pro}}{\bf{p}}\underline{\bf{orcionalidade}}\footnote[1]{V. e.g. Elon L. Lima et al., {\em Temas e Problemas}, SBM, 3a ed., 2010, pág. 15}{\bf{:}}

\begin{framed}
{\em Se $f:\R^{+}\to\R^{+}$ é crescente, i.e. $x_1&lt;x_2\Rightarrow f(x_1)&lt;f(x_2)$, e\break\hfill $f(nx)=n\cdot f(x)$ para todo $n\in\mathbb{N}$ e todo $x\in\R^{+}$, então $f(x)=kx$ para todo $x\in\R^{+}$, onde $k$ é uma constante} ($k=f(1)$).
\end{framed} 

\medskip

Usando este Teorema, temos o seguinte critério para verificar se uma grandeza $y$ é diretamente proporcional a uma grandeza $x$, ou seja, se podemos aplicar a regra de três para uma dada correspondência $x\longrightarrow y$:

\noindent
Em primeiro lugar, verificamos que
\begin{framed}
1. \ quando $x$ aumenta (cresce), $y$ também aumenta;
\end{framed}

\noindent
Em segundo lugar, verificamos que 
\begin{framed}
2. \ quando multiplicamos $x$ por um número natural $n$, o número correspondente a $nx$ fica sendo $y$ também multiplicado por $n$, i.e. 
$$
\mbox{se} \quad x\longrightarrow y \quad \mbox{ então } \quad nx\longrightarrow ny, \qquad \forall\ n\in\mathbb{N}, \quad \forall x.
$$ 
\end{framed} 




\bigskip\bigskip

Voltando à relação entre graus e radianos, definindo \underline{\bf{a medida de 1}} {\bf{(}}\underline{\bf{um}}{\bf{)}} \underline{\bf{radiano}} como sendo o ângulo $x$, medido em graus, tal que o comprimento do arco determinado por $x$, no círculo de raio $r$, seja $r$, podemos nos convencer que valem as duas propriedades acima (por experimentação/inspeção). No entanto, sem uma demonstração\footnote[7]{Uma das mínimas coisas que o Professor do EF ou EM deve saber é o que é uma\break\hfill Demonstração (em Matemática): \underline{\bf{{\em Uma demonstra}}}{\bf{{\em{ç}}}}\underline{\bf{{\em ão}}} ({\em matemática}) {\em é uma sequência de}\break\hfill {\em linhas/afirmações em que cada uma é uma consequência da anterior, devido a um Axioma, uma Definição ou um Resultado} ({\em Teorema/Proposição/Corolário/Lema/Afirmação}) {\em demonstrado previamente.}} das duas propriedades acima, a rigor, o que podemos dizer é que quando usamos a regra de três para converter graus em radianos, estamos usando (supondo) que a correspondência
$$
x \ \mbox{graus} \longrightarrow y \ \mbox{radianos},
$$
satisfaz as mesmas. \ 
Uma alternativa seria dizer que vale a fórmula
$$
y=\frac{\pi r}{180}x.
$$
Mas como se demonstra esta fórmula?



\end{document}</pre></body></html>