Rudimentos de Conceitos Topológicos no IRn.

Para ler os textos de cálculo II, entender o enunciado de alguns teoremas, precisamos entender alguns conceitos topológicos, como interior, exterior, fronteira e fecho de um subconjunto do IRn, quando este conjunto é fechado, aberto, limitado ou compacto. Um exemplo é um teorema que garante que, se procurarmos bem o máximo e o mínimo e certos problemas de otimização, os encontraremos: “funções contínuas definidas em domínios compactos atingem seu máximo e seu mínimo”. Outro teorema, que volta e meia tem aplicações interessantes afirma que “uma função contínua, quando não é nula num ponto interior do seu domínio, matém o sinal em uma vizinhança de tal ponto”. Mais outro: “uma função diferenciável, quando tem um máximo em ponto interior do seu domínio, neste ponto tem gradiente zero”.

Bem, além dos conceitos topológicos, também temos que entender conceitos como continuidade e diferenciabilidade de funções. Nestas primeiras notas conversarmos sobre os conceitos topológicos comentados acima, faremos notas seguintes para limites, continuidade e diferenciabilidade. Na lista 2 os senhores já vão estudar um pouco sobre limites e continuidade. Os tais conceitos topológicos aparecem de forma muito precária em textos introdutórios, como o nosso livro texto, o Edwards e Penney, também o Stewart, que é muito empregado nos arredores. Estão melhor enunciados em textos como o do Guidorizzi, Kaplan e Lewis, Apostol, mas esses três textos são um pouco longos e pesados para quem está começando, ainda mais nos tempos frenéticos que vivemos, onde ninguém lê muito.

Os textos mais didáticos, mais empregados, sacrificam um pouco a teoria em função da pedagogia. Isto é compensado em aulas, mas a pandemia fez com que ficássemos sem elas, por conta disso estou escrevendo estas notas. Vamos definir os conceitos topológicos a partir do conceito de distância. Em nosso curso, trabalhamos com várias variáveis, o espaço padrão é o IRn, formado por ênuplas de números reais. O caso mais simples é quando n = 1, então IR1 = IR é identificado com os reais, temos uma coordenada só para cada ponto, que identificamos com o valor da tal coordenada. Então a distância entre x1 e x2 é dada por d(x1, x2) = |x1 - x2|, o módulo da diferença.

O segundo espaço mais complicado, quando trabalhamos com duas variáveis, é o plano, ou IR2. Então a distância entre P = (x1, y1) e Q = (x2, y2), à luz do teorema de Pitágoras, é dada por:

  d(P, Q)  =  ( (x2 - x1)2  +  (y2 - y1)2 )½ .

Tal distância coincide com o comprimento do vetor “ Q - P ”  =  (x2 - x1) i + (y2 - y1) j, que leva o ponto P ao ponto Q ('aedes aegypti' é o vetor da dengue, pois leva o vírus; na geometria os vetores levam os pontos, através de translações).

Definição 1: No IRn definimos a distância entre P = (x1, x2, ...xn) e Q = (w1, w2, ...wn) por:

  d(P, Q)  =  ( (w1 - x1)2  +  (w2 - x2)2  +  ...  +  (wn - xn)2 )½ ,

que corresponde ao comprimento do vetor que leva P em Q,

  “ Q - P ”  =  { w1 - x1,  w2 - x2,  ... ,  wn - xn }.

Podemos identificar os pontos com seus vetores de posição, fazendo isso vemos o IRn como um espaço vetorial e a expressão Q - P faz sentido. Na matemática contemporânea, o conceito de produto escalar, nos espaços vetoriais, é mais primitivo que os conceitos de norma (ou comprimento) de vetores e distância. Para dois vetores u = {u1, u2, ...un} e v = {v1, v2, ...vn} do espaço vetorial IRn definimos o seu produto escalar, ou produto interno por

  u • v  =  u1 v1  +  u2 v2  +  ...  +  u2 v2

e a norma ou comprimento do vetor u por ||u|| = (u • u)½ = ( u12 + u12 + ... + un2 )½. Então a distância de P a Q é a norma do vetor Q - P, podendo ser escrita como

  d(P, Q)  =  || Q - P ||  =  ( (Q - P) • (Q - P) )½ .

Verifique, é um bom exercício, que a distância tem três propriedades notáveis,

 (d1) d(P, Q)  =  0 se e somente P = Q, 
 (d2) d(P, Q)  =  d(Q, P)
 (d3) d(P, Q)  £  d(P, R) + d(R, Q)


A terceira delas é chamada de desigualdade
triangular, diz que a distância de P a Q é
sempre menor ou igual à soma das distâncias
de P e Q a um outro ponto R.
                 

Pode-se mudar o conceito de distância, por exemplo, para uma cidade plana com quarteirões quadrados alinhados com os eixos x e y, sem ruas na contramão, uma métrica aproximada para trafegar entre dois pontos, uma boa aproximação seria dtaxi(P, Q) = |x1 - x2| + |y1 - y2|. Teríamos uma geometria diferente com esta noção de distância, círculos seriam losangos. Um autor chamado Eugene F. Krause escreveu um paradidático utilizando essa distância, intitulado" Taxicab Geometry", para intruduzir a jovens como os senhores as chamadas geometrias não Euclideanas. Ainda neste conceito de distância, valem as propriedades d1, d2 e d3 mais acima.

Estas propriedades são eleitas a axiomas em uma tal Teoria dos Espaços Métricos, que a matemática desenvolveu (disciplina ma641 aqui no IMECC). Existem até geometrias não euclideanas que alteram os três axiomas, isto acontece na Relatividade Especial, de Einstein. Iremos partir do conceito de distância, como definimos mais acima, no IRn, para a partir deste definir os conceitos topológicos de que falamos no início destas notas. Mas a matemática não tem limites nas suas abstrações e generalizações, os conceitos topológicos, abertos, fechados etc., podem ser definidos sem alusão a qualquer métrica, segundo uma teoria chamada Topologia Geral.

Mas chega de papo furado. A partir do conceito de distância no IRn, definiremos o conceito de bola aberta no IRn e a partir deste conceito, os tais conceitos topológicos.

Definição 2: Dados um ponto P0 ∈ IRn e δ > 0, definimos “bola aberta de raio δ centrada em P0 como sendo o seguinte conjunto do IRn,

  Bδ(P0)  =  {P ∈ IRn  t.q.  d(P, P0) < δ} ,

que é constituído pelos pontos P do IRn cuja distância ao ponto P0 é estritamente menor que δ. No caso em que n = 1 e P0 = x0 ∈ IR, a bola aberta Bδ(x0) = (x - δ, x + δ) é um intervalo aberto de comprimento 2δ centrado em x0.

Quando n = 2, P0  =  (x0, y0) ∈ IR2, Bδ  =  {(x, y) ∈ IRn t.q. (x - x0)2 + (y - y0)2  £  δ2} é um disco de diâmetro 2δ centrado no ponto P0 = (x0, y0), exclusive a circunferência que lhe serve de fronteira  (daremos precisão ao conceito de fronteira no que segue).

Tendo em mãos a nossa bola aberta, ela servirá como um verdadeiro pivô na definição dos conceitos topológicos.

Definiçao 3: Seja A ⊂ IRn, um subconjunto do IRn, e P0 ∈ A, dizemos que P0 é ponto interior de A quando podemos construir uma bola aberta de raio δ > 0 tal que Bδ ⊂ A. Ou seja, vide figuras mais abaixo, quando podemos construir uma bola aberta de raio δ > 0 centrada em P0 e totalmente contida em A. O conjunto dos pontos interiores de A é denotado por intA, temos intA ⊂ A.

Definiçao 4: Denotamos por IRn \ A  =  {P ∈ IRn t.q. P Ï A} o complemento de A no IRn, isto é, conjunto dos pontos do IRn que não pertencem a A. Se P0 Ï A, ou equivalentemente P0 ∈ IRn \ A, dizemos que P0 é ponto exterior ao conjunto A se existe δ > 0 tal que Bδ ⊂ IRn \ A. Ou seja, se P0 ∈ IRn \ A é exterior a A, podemos construir uma bola de raio δ > 0 centrada em P0 e totalmente fora do conjunto A (vide figuras abaixo). Denotamos o conjunto de todos pontos exteriores ao conjunto A por extA, temos ext A = int (IRn \ A) ⊂ IRn \ A.

Definição 5: Quando P0 ∈ IRn não é ponto exterior nem ponto interior de A ⊂ IRn, dizemos que P0 é um ponto de fronteira de A. Então ∀δ > 0, Bδ ∩ A ≠ Æ e Bδ ∩ (IRn \ A) ≠ Æ. Ou seja quando qualquer bola aberta centrada em P0 contém pontos de A e também pontos fora de A. O conjunto dos pontos de fronteira de A é denotado por ∂A e chamado de fronteira de A (o uso do símbolo de derivação parcial não é sem motivo, mas por conta de uma confusão que em análise no IRn fica mais clara).

                  Assim, para cada A ⊂ IRn, temos uma
partição, ou divisão do IRn, em três partes
disjuntas, isto é, em que cada uma não tem
elementos em comum com outra,
 IRn = intA ∪ ∂A ∪ extA
dado qualquer suconjunto A,  IRn é a união
disjunta de interior, fronteira e exterior de A.

Definição 5: Dizemos que A é aberto, quando A = intA, isto é, se todos pontos de A são pontos interiores, daí A não tem seus pontos de fronteira.

Sempre que um ponto esviver contido num aberto, dizemos que este aberto é uma vizinhança do tal ponto.

Definição 7: Definimos o fecho de A ⊂ IRn por

  A  =  intA ∪ ∂A = A ∪ ∂A = IRn \ extA 

e dizemos que A é fechado quando coincide com seu fecho, A = A, então A tem todos seus pontos de fronteira, ∂A ⊂ A.

Notamos que intA  =  ext(IRn \ A), ∂A  =  ∂(IRn \ A). Portanto, filosofe um pouco, A é aberto se e somente se seu complemento, IRn \ A, é fechado (e vice-versa).

Exemplo 1: A título de exemplo, consideramos três retângulos do IR2.

R1 = {(x, y) ∈ IR3 t.q. a  £  x  £  b, c  £  y  £  d}, = [a, b] × [c, d]
R2 = {(x, y) ∈ IR3 t.q. a  <  x  <  b, c  £  y  £  d}, = (a, b) × [c, d]
R3 = {(x, y) ∈ IR3 t.q. a  <  x  <  b, c  <  y  <  d}. = (a, b) × (c, d)

Explique, é um bom exercício, que estes três retângulos têm a mesma fronteira, dada pela união dos quatro lados,

 ∂R1  =  ∂R2  =  ∂R1  =  F  =  L1 ∪ L2 ∪ L3 ∪ L4

entenda que, usando a notação de produto cartesiano para conjuntos, podemos escrever quatro os lados da forma L1 = {a} × [c, d], L2 = [a, b] × {c}, L3 = {b} × [c, d], L4 = [a, b] × {d} ...verifique que os três retângulos têm o mesmo interior, que coincide com o retângulo R3,

 int R1  =  int R2  =  int R3  = (a, b) × (c, d)  =  R3, e que, dos três retângulos, apenas R3 é aberto.

Explique que os três retângulos têm o mesmo fecho, que coincide com R1,

  R1  =  R2  =  R3  =  [a, b] × [c, d]  =  R1, e que, dos três retângulos, apenas R1 é fechado ...e R2 não é aberto nem fechado

Note, sempre temos que extA = IRn \ A, o exterior de um conjunto é o complemento do seu fecho. Para os três retângulos, verifique que

 ext R1  =  ext R2  =  ext R3  =  IR2 \ R1, todos têm o mesmo exterior, dado pelo complemento de R1

Definição 8: Se A ⊂ IRn é tal que existem
P0 ∈ IRn e R > 0 tais que  A  ⊂  Bδ(P0),

  dizemos que A é limitado. Então A cabe 
 numa bola aberta suficientemente grande.

                 

Definição 10  Quando A ⊂ IRn é fechado e limitado, dizemos que A é compacto. 

Pois é, definimos os conceitos topológicos, a bola aberta, definida pelo conceito de distância, ajudou, agora temos bem definido, para um conjunto do IRn, seu interior, exterior, fronteira, fecho, quando é aberto, fechado, limitado ou compacto. Vamos fazer uma metaobservação, mais psicológica que matemática.

Observação 1: Dependência dos Conceitos Topológicos relativos a um conjunto com o IRn que escolhemos para incluir tal conjunto.

Consideremos o intervalo aberto A = (a, b) ⊂ IR1, temos intA = A e (a, b) é aberto. Temos também ∂A = {a} ∪ {b} e extA = (-∞, a) ∪ (b, ∞).

Agora, se alguém considera IR1 ⊂ IR2, fazendo para isto uma identificação de cada x ∈ IR1 com o ponto (x, 0) ∈ IR2, isto é se o IR1 é identificado com o eixo x, parte do IR2, temos A ⊂ IR1 ⊂ IR2 e podemos considerar A como um conjunto do IR2 dado por

A ={(x, y) ∈ IR2 t.q. y = 0 e x ∈ (a, b)} ⊂ IR2.

Então intA = Æ, o conjunto A, como suconjunto do IR2 tem interior vazio. Todo ponto de A é ponto de fronteira de A pois qualquer disco centrado num ponto de A contém pontos de A e pontos de fora de A. A está contido em sua fronteira, A ⊂ ∂A.

Se tivéssemos A = ∂A, isto é, se A fosse igual à sua fronteira, A, tendo interior vazio, seria igual ao com seu fecho, A = intA ∪ ∂A = Æ ∪ A = A, e nese caso A seria um conjunto fechado no IR2.

Mas isso não acontece, os pontos (a, 0) e (b, 0) não são pontos de A, mas são pontos da fronteira de A, pois qualquer disco, centrado em um desses dois pontos, conteria pontos de A e também pontos de fora de A. A não é aberto nem fechado, quando visto como subconjunto do IR2.

Nas figuras abaixo, ilustramos para ver que A é aberto se visto como subconjunto do IR1, mas, visto como subconjunto do IR2, não é aberto nem fechado. Na figura mais à esquerda vemos que qualquer ponto de A é ponto interior deste conjunto, se visto como subconjunto do IR1. No IR1 as bolas são conjuntos abertos. Dado x ∈ A, escolhemos δ = mínimo{|x - a|, |x - b|} e daí Bδ(x) = (x - δ, x + δ) ⊂ (a, b).

Na figura mais à direita vemos a situação quando consideramos A como um subconjunto do IR2, identificando x com (x, 0). Agora a bola aberta tem a forma de disco sem beirada. Dado (x, 0) ∈ A, para qualquer δ > 0, Bδ(x, 0) contém pontos de fora de A, isto é de IRn \ A, portanto A não tem pontos interiores. Ademais, Bδ(x, 0) além de conter pontos de fora de A, contém pontos de A, assim sendo, todo ponto de A é ponto de fronteira.

A está contido em sua fronteira, mas não a contém completamente, basta imaginarmos uma bola centrada em (a, 0), ponto que não pertence a A. Tal bola conteria pontos de A e pontos fora de A, assim sendo (a, 0) está na fronteira de A mas não está em A. O mesmo ocorre com (b, 0).

Por conter pontos que não são interiores, A não é aberto em IR2. Também não é fechado, pois, não contendo sua fronteira, não coincide com seu fecho.