\documentclass[8pt,a4paper]{article}
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\linespread{1.3}

\begin{document}

\begin{center}
\large\textbf{teste 1, ma211tuv, $\text{ss2018}^{\text{\huge{\fbox{RA: \_ \_ \_ \_ \_ \_ }}}}$}
\end{center}
\begin{quote}
\textbf{nome, assinatura:}

\textbf{(1)} (1,5 pontos) Um estuDante, para achar um volume, digitou
$$\int _0^{\pi }\int _y^{\pi }\text{Cos[y]}\;e^{\small{\text{Cos}[x]}}\;\text{dx dy}$$
e o programa não fez a integral, na execução simplesmente repetiu 
aquilo que fora digitado, pipocou. Seu amigo Virgílio, 
que fazia bicos como guia turístico, sabia um pouco de cálculo, 
fez um desenho do domínio no plano $xy,$ pensou um pouco 
\ldots e que comédia, resolveu o problema, encontrando 
o volume e fazendo até chacota do seu colega estuDante. 
Desenhe a região, explique que manobra 
diabólica teria feito Virgílio \ldots e qual é o tal volume.

\textbf{(2)} (2,0 pontos) Volume por seções transversas 
é o mesmo que Fubinni, para ilustrar
\begin{displaymath}
\begin{array}{ll}
\text{a = Plot3D[}\{0,\text{Sin[}x] \text{Cos[}y]\}, \{x,0,\pi/2\}, 
\{y,0,\pi/2\}, \text{Mesh} \to \text{False}, \text{PlotStyle} \to 
\{\{\text{Opacity[0.3], Red}\},\\\{\text{Opacity[0.3], LightBlue}\}\},  
\text{Filling} \to \{1 \to \{2\}\}, \text{BoundaryStyle} \to 
\{\text{Thick, Blue}\}]\\
\text{b = ParametricPlot3D[} \alpha[y,\lambda],\{y, 0, \pi/2\}, 
\{\lambda, 0, 1\}, \text{Mesh} \to \text{False}, 
\text{BoundaryStyle} \to \{\text{Thick, Red}\}] 
\end{array}
\end{displaymath}
\begin{center}
\includegraphics[height=2in]{picanha.jpg}
\end{center}
A picanha fatiada aparece após o Show[a, b]. 
Explique as opções no Plot3D[ ], qual o motivo daquele $0$ no começo? 
\ldots e do tal $\{1 \to \{2\}\}$? \ldots a região ficou com proporções reais? 
\ldots isto pode ser alterado?
A função $\alpha,$ que depende dos parâmetros 
$y$ e $\lambda,$ assume valores no $\mathbb{R}^{3}$. Apesar 
de empregada, foi ocultada aqui sua definição, como foi feita? Explique.

\textbf{(3)} (3,0 pontos)  Seja 
$f[x] = x (x-1) (x-2)$, no intervalo $[0,2],$ tem máximo em 
$a = 1 - \sqrt{3}/3 \simeq 0.42265,$ com 
valor $f[a] = 2 \sqrt{3} /9 \simeq 0.3849,$ 
mínimo em $b = 1 + \sqrt{3}/3 \simeq  1.57735$ 
com o valor oposto. Ispirados em $f$ 
definimos $g[x,y] = y - x (x-1) (x-2).$  
Digitamos, para achar mínimo e máximo de g, com as restrições 
$0.5 \leq x \leq 1.5$,  $-1 \leq y \leq 1 - 8 (x-1)^{2},$ o seguinte
\begin{displaymath}
\begin{array}{lll}
g\left[ x\_ \; , y\_ \; \right] \;=\; y - x (x-1) (x-2);\\
\text{curvas = ContourPlot}\left[ g[x,y], \{x , 0 , 2 \} , 
\{y , -2 , 2 \} , \text{ContourShading} 
\to\text{False} , \text{ContourLabels} 
\to\text{True} \right]; \\
\text{region = RegionPlot[And[} 0.5 \leq x \leq 1.5, -1 \leq y \leq 1 - 8 (x-1)^{2}],  
\{x , 0 , 2 \} , \{y , -2 , 2 \}] ;
\end{array}
\end{displaymath}
Depois executamos Show[curvas, region] e  o soft desenhou, 
no retângulo $[0,2]\times[-2,2],$ sobre uma região pintada, 
nove conjuntos de  nível da função $g,$ isto é, curvas dadas por equações 
da forma $g[x,y] = k$ com $k$ variando de $-2$ até $2,$ 
de meio em meio.
\begin{center}
\includegraphics[height=2in]{teatro.jpg}
\end{center}
Faça acima, com o maior capricho possível, 
o desenho obtido após a execução do Show[ ], 
para ajudá-lo até desenhamos o retângulo. 
Empregue seu desenho para calcular 
exatamente o mínimo de g na região, diga em que 
ponto $(x,y)$ ocorre e qual é este mínimo de g.
Também para calcular 
aproximadamente o máximo de g na região, valor e 
ponto em que ocorre. Imagina alguma estratégia 
que o levaria ao valor exato do tal 
máximo de g? Explique.

\textbf{(4)} (2,0 pontos)  Um carrinho com equação horária 
$x = 1 + 0.5 \text{ Cos[t]},$ $y = 1 + 0.3 \text{ Sin[t]},$ percorre uma 
curva na região dada por $0 \leq x \leq 2,$ $0 \leq y \leq 2.$ Esboce 
a curva e algumas das isotermas da distribuição de 
temperatura dada por $u[x,y] = 3 x + 5 y$ na região. Quais  
os pontos de menor e maior temperatura pelos quais o carrinho 
passa? Mostre no seu desenho estes pontos, junto com a velocidade 
vetorial $v = x'[t] i + y'[t]$ e o gradiente 
$\nabla u$ \ldots qual a relação entre tais vetores?

\textbf{(5)} (1,5 pontos) Obteve-se no mathematica
\begin{center}
\includegraphics[height=2in]{tgente.jpg}
\end{center} 
em parte com os comandos abaixo,
\begin{displaymath}
\begin{array}{lllll}
\text{cil = ContourPlot3D[} y^{2} + z^{2} == 1, \{x, -3/2, 3/2\}, \{y, -3/2, 3/2\}, \{z, -3/2, 3/2\}, \\
\text{Mesh} \to \text{False}, \text{Boxed} \to \text{False]}; \\
\{p, q\} = \{\{0, 1/2, \sqrt{3}/2\}, \{1, 1, \sqrt{3}/3\}\}; \\
\text{Show[plan, cil, Graphics3D[}\{\text{PointSize[Large]}, \\
\text{Thick, Point[}\{p, q\}], \text{Arrow[}\{p, q\}]\}]]
\end{array}
\end{displaymath}
falta apenas o comando que define plan, 
tal é muito parecido com o comando que define cil, 
além da equação, a opacidade também é diferente, igual a $0.2.$ 
Escreva este comando. Diga se algum dos pontos, p ou q, pertence ao 
cilindro. Explique.

\end{quote}
\end{document}