t1.pdf t1.tex picanha.jpg teatro.jpg tgente.jpg
esta é para o primeiro teste, acima em pdf, latex, figuras em .jpg ...abaixo questões, resolução, comentários, interpretações.

                      

(1) (3,0 pontos) (1,5 pontos) Um estuDante, para achar um volume, digitou:

0πyπ Cos[y] eCos[x] dx dy

e o programa não fez a integral, na execução simplesmente repetiu aquilo que fora digitado, pipocou. Seu amigo Virgílio, que fazia bicos como guia turístico, sabia um pouco de cálculo, fez um desenho do domínio no plano xy, pensou um pouco ...e que comédia, resolveu o problema, encontrando o volume e fazendo até chacota do seu colega estuDante. Desenhe a região, explique que manobra diabólica teria feito Virgílio ...e qual é o tal volume.

Resolução

Bom, espiando a integral, vemos que x varia, na primeira integração entre duas funções de y, isto é, varia entre x = x1[y] = y, por baixo e x = x2[y] = π, por cima.

O mathematica 9 piratão aqui do meu home office pipoca mesmo, vejamos.

Bom, na primeira integral o fator Cos[y] é uma constante, o problema é fazer a integral

∫ eCos[x] dx

...que não parece nada fácil.

Ao que parece, a manobra diabólica do cicerone Virgílio foi trocar a ordem de integração ...é a manobra que se tenta nestas situações e veremos, neste caso, ela funciona.

Espiando bem a região, vemos que podemos colocar x entre dois extremos fixos, 0 e π ...e para cada x dado, y variando entre dois gráficos de funções de x, y = y1[x] = 0, por baixo e y = y2[x] = x, por cima. Daí a integral é feita primeiro em y, entre as duas funções de x, depois em x, entre os extremos fixos.

0π0x Cos[y] eCos[x] dy dx

Na primeira integral, feita agora em y, x é visto como um parâmetro fixo, temos o seguinte.

0x Cos[y] eCos[x] dy =
= eCos[x]0x Cos[y] dy
= eCos[x] [Sin[y]]0x
= eCos[x] (Sin[x] - Sin[0])
= eCos[x] Sin[x].

Agora a segunda integração

0π eCos[x] Sin[x] dx

tem a troca de variáveis u = Cos[x], du = - Sin[x] dx, com esta troca obtemos uma primitiva para a integração, pois

∫ eCos[x] Sin[x] dx =
= - ∫ eu du
= - eu = - eCos[x],

portanto

0π eCos[x] Sin[x] dx =
= - [eCos[x]]0π
= - (eCos[π] - eCos[0])
= e - 1/e.

Até o mathematica faz nesta ordem, né? (rêrê)

Bom ...o tal estuDante calculava algum volume com sinal, pois o integrando fica negativo em parte da região

...talvez estivesse calculando o volume de boas ações menos o volume de pecados, algo assim.


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(2) Volume por seções transversas é o mesmo que Fubinni, para ilustrar

a = Plot3D[{0, Sin[x] Cos[y]}, {x, 0, π/2}, {y, 0, π/2}, Mesh → False, PlotStyle → {{Opacity[0.3], Red},
{Opacity[0.3], LightBlue}}, Filling → {1 → {2}}, BoundaryStyle → {Thick, Blue}]
b = ParametricPlot3D[α[y, λ], {y, 0, π/2}, {λ, 0, 1}, Mesh → False, BoundaryStyle → {Thick, Red}]

A picanha fatiada aparece após o Show[a, b]. Explique as opções no Plot3D[ ], qual o motivo daquele 0 no começo? ...e do tal {1 → {2}}? ...a região ficou com proporções reais? ...isto pode ser alterado? A função α, que depende dos parâmetros y e λ, assume valores no IR3. Apesar de empregada, foi ocultada aqui sua definição, como foi feita? Explique.

Resolução

Aquele zero no começo é a função identicamente nula, o mathematica aceita fazer o gráfico em 3D de duas funções entre chaves, colocando a função identicamente nula além da função altura, aparece a sombra do gráfico no plano xy, ou o domínio da função altura na região considerada ...é entre esta sombra e o gráfico que calculamos o volume, colocando a função identicamente nula colocamos a 'tampa de baixo' do sólido cujo volume estamos a calcular. Neste contexto Filling → {1 → {2}} faz o soft pintar a região entre os dois gráficos, pintando nosso sólido.

A opção BoundaryStyle, faz a beirada dos dois gráficos ficar ressaltada e azul, pondo Mesh → False, evitamos que o mathematica coloque a grade que usualmente coloca nos gráficos. Na opção PlotStyle definimos transparência (oposto de opacidade) e cor dos dois gráficos.

Basta olhar o desenho e ver que as proporções não estão corretas, como usualmente ocorre no Plot e no Plot3D, quando a altura é aproximadamente 62% das dimensões lineares horizontais (o inverso da razão áurea, tal qual fazem ao construir TVs e pintar quadros). Para colocar proporções corretas, teríamos que modificar a opção BoxRatios, colocando BoxRatios → Automatic.

Vamos à principal pergunta, a mais difícil de responder nesta questão, como é a expressão da função α, que parametriza a fatia destacada no gráfico. Notamos que a fatia é uma superfície vertical que fica entre duas curvas, um segmento no plano xy e um arco sobre o gráfico, mais acima.

No tal segmento do plano xy, que serve de base para a fatia, a coordenada x, vemos pelo desenho, está fixa e igual a um, a variável y é livre e corre de 0 até π/2, a variável z está fixa e igual a zero, para que o segmento fique no plano xy. Teríamos a seguinte parametrização para o segmento.

{1, y, 0}, com y variando entre 0 e π/2

No arco pertencente ao gráfico, que fica acima da fatia, a coordenada x também está fixa e igual a um, a variável y também é livre e corre de 0 até π/2, mas a a variável z deve ser escolhida de forma que o arco fique no gráfico da função Sin[x]Cos[y], como y varia enquanto x é fixo e igual a um ao longo do arco, sua parametrização é a seguinte.

{1, y, Sin[1]Cos[y]}, com y variando entre 0 e π/2

Então para parametrizar a superfície vertical correspondente a fatia podemos empregar um parâmetro λ que reduz a altura do arco até que este se transforme no segmento. Obteríamos a seguinte parametrização com dois parâmetros.

α[y, λ] = {1, y, λ Sin[1]Cos[y]},
y entre 0 e π/2, λ entre zero e um.

Notamos que quando λ = 0, temos a parametrização do segmento por y ...e quando λ = 1, temos a parametrização do arco por y. Colocando um valor intermediário para λ, por exemplo λ = 1/2, teremos um arco no meio da fatia da picanha, com forma parecida ao do arco superior, mas com metade da altura.

Mais acima, a fatia que foi juntada ao sólido, vemos pelo desenho, tinha a opção Mesh → False. Vamos executar a plotagem deixando o Mesh default do mathematica, assim vemos bem o efeito do segundo parâmetro, λ, deformando, quando varia entre um e zero, o arco que fica no gráfico, sobre a fatia, até o segmento que fica em sua base.


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(3)(3,0 pontos) Seja f [x] = x (x-1) (x-2), no intervalo [0,2], tem máximo em a = 1 - √3/3 @ 0.42265, com valor f[a] = 2 √3/9 @ 0.3849, mínimo em b = 1 + √3/3 @ 1.57735, com o valor oposto. Ispirados em f definimos g[x,y] = y - x (x-1) (x-2). Digitamos, para achar mínimo e máximo de g, com as restrições 0.5 £ x £ 1.5, -1 £ y £ 1 - 8 (x-1)2, o seguinte.

g[x _, y _ ] = y - x (x-1) (x-2);
curvas = ContourPlot[g[x,y], {x, 0, 2}, {y, -2, 2}, ContourShading → False, ContourLabels → True];
region = RegionPlot[And[0.5 £ x £ 1.5, -1 £ y £ 1 - 8 (x-1)2], {x, 0, 2}, {y, -2, 2}] ;

Depois executamos Show[curvas, region] e o soft desenhou, no retângulo [0,2] × [-2,2], sobre uma região pintada, nove conjuntos de nível da função g, isto é, curvas dadas por equações da forma g[x,y] = k com k variando de -2 até 2, de meio em meio.

Faça acima, com o maior capricho possível, o desenho obtido após a execução do Show[ ], para ajudá-lo até desenhamos o retângulo. Empregue seu desenho para calcular exatamente o mínimo de g na região, diga em que ponto (x,y) ocorre e qual é este mínimo de g. Também para calcular aproximadamente o máximo de g na região, valor e ponto em que ocorre. Imagina alguma estratégia que o levaria ao valor exato do tal máximo de g? Explique.

Resolução

Pois é, a arma mais poderosa que os softs propiciam são as imagens ...por conta de nossa poderosa intuição visual podem aumentar muito a capacidade de empregar o cálculo em aplicações ...um fenômeno semelhante à revolução que as imagens causaram na medicina. Para empregar bem os softs devemos investir em geometria, acostumar-se com gráficos, fazê-los.

O primeiro item do exercício pedia para desenhar os conjuntos de nível da tal g. O conjunto de nível g(x,y) = 0 obedece à equação y - x(x-1)(x-2) = 0, isto é, corresponde ao gráfico do polinômio de terceiro grau dado por y = x(x-1)(x-2), com zeros em 0, 1, 2 ...com um máximo e um mínimo no intervalo [0, 2], dados no primeiro parágrafo do enunciado.

Os outros conjuntos de nível, com equações dadas por g(x,y) = k, correspondem aos gráficos de polinômios de terceiro grau da forma y = x(x-1)(x-2) + k, são apenas translações verticais do conjunto de nível g(x,y) = 0. Segundo o enunciado temos oito translações, quatro positivas e quatro negativas, totalizando nove conjuntos de nível.

As variáveis muitas vezes estão restritas ...nas aplicações é raro as coordenadas variarem entre menos até mais infinito, outras variáveis interessantes também têm sua limitação.

A restrição sobre as variáveis é por vezes dada na forma de inequações ...tais inequações definem regiões do plano. Em nosso caso, a restrição às variáveis é dada por 0.5 £ x £ 1.5, -1 £ y £ 1 - 8 (x-1)2. Notamos que se trata de uma situação muito semelhante à da primeira questão, onde estávamos a fazer integrais duplas.

Podemos dizer que a variável y está presa entre dois gráficos de funções de x, y1[x] = -1, por baixo ...e y2[x] = 1 - 8 (x-1)2, por cima. Podemos pensar que para cada valor de x entre os extremos fixos 0.5 e 1.5, y fica entre dois valores que dependem de x.

Temos uma região delimitada por um semento e uma parábola de boca para baixo, lembra um capuz ...ou se preferir, o morro do pão de açúcar.

A estratégia que nos leva a encontar os máximos e mínimos de g(x,y), estando a variável (x, y) restrita à região, é superpor os conjuntos de nível de g com a região. Vejamos.

Ao espiar o desenho devemos notar que temos desenhados apenas nove dentre uma infinidade de conjuntos de nível, que estes conjuntos de nível fatiam o plano. Em cada ponto do domínio de g passa algum conjunto de nível desta função, basta calcular o valor de g no ponto para ver qual. Dois conjuntos de nível distintos nunca se cruzam, pois g não pode ter dois valores no mesmo ponto. Ademais, entre dois conjuntos de nível, com rótulos k1 e k2, existem infinitos, com todos os rótulos possíveis entre estes dois valores (clique aqui para ver uma prova deste fato).

Percebemos visualmente que o mínimo de g ocorre no canto inferior esquerdo da nossa região, que tem coordenadas x = 0.5 e y = -1. Aplicando g neste ponto temos g(0.5,-1) = -1 + 0.5(-0.5)(-1.5) = -1.375. Apenas o desenho determinou exatamente o mínimo de g e o ponto em que ocorre.

Quanto ao máximo, vemos que ocorre aproximadamente no topo do capuz, onde x = 1 e y = 1. Seu valor aproximado é portanto g(1,1) = 1.

Filosofando um pouco, percebemos que o ponto em que ocorre o máximo é um ponto de tangência da parábola de boca para baixo com algum dos conjuntos de nível ...algum ponto em que são iguais, portanto, as derivadas das funções y2[x] = 1 - 8 (x-1)2 e y = x(x-1)(x-2) + k, o k é constante e desaparece na derivada, acabamos com uma equação do segundo grau. Vejamos no mathematica.

Pelo contexto escolhemos uma das soluções, o máximo ocorre quando x = xmax = (1/2)(√67 - 5) ~ 1.062, y = y2[xmax] ~ 0.97, então g vale g[xmax, y2[xmax]] ~ 1.031 no seu máximo.

Tendo os valores, podemos juntar ao desenhos os conjuntos de nível correspondentes ao mínimo e máximo de g na região, também os pontos em que ocorrem.


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(4) (2,0 pontos) Um carrinho com equação horária x = 1 + 0.5 Cos[t], y = 1 + 0.3 Sin[t], percorre uma curva na região dada por 0 £ x £ 2, 0 £ y £ 2. Esboce a curva e algumas das isotermas da distribuição de temperatura dada por u[x,y] = 3x + 5y na região. Quais os pontos de menor e maior temperatura pelos quais o carrinho passa? Mostre no seu desenho estes pontos, junto com a velocidade vetorial v = x'[t] i + y'[t] e o gradiente ∇u ...qual a relação entre tais vetores?

Resolução

Devemos procurar a colecionar algumas parametrizações e gráficos que conhecemos bem. A parametrização da elipse vem daquela que empregávamos para a circunferência unitária ou trigonométrica, no ensino médio. As equações horárias x = Cos[t], y = Sin[t] obedecem à equação x2 + y2 = 1, por causa da relação fundamental da trigonometria. Analogamente as equações horárias x = a Cos[t], y = b Sin[t] obedecem à equação (x/a)2 + (y/b)2 = 1, que corresponde a uma elipse com semi-eixo horizontal a e semi-eixo vertical b, centrada na origem.

Portanto a parametrização correspondente à equação horária dada,

{x[t], y[t]} = {1, 1} + {0.5 Cos[t], 0.3 Sin[t]},

faz com que o tal carrinho percorra uma elipse centrada no ponto {1, 1}, com semi-eixo maior na horizontal, dado por a = 0.5 e semi-eixo menor na vertical, dado por b = 0.3. Os vértices desta elipse serão, na horizontal, {0.5, 1} e {1.5, 1}, ...na vertical, {1, 0.7} e {1, 1.3}.

As isotermas de g[x,y] = 3x + 5y são retas com coeficiente angular -5/3, todas paralelas entre si ...vamos desenhar algumas delas na região [0,2] × [0.2], onde desenhamos também o movimento do carrinho.

Já vemos mais ou menos o máximo e o mínimo da temperatura, tais ocorrem nas tangências do movimento com as isotermas, onde o carrinho passa a cruzar novamente as isotermas que havia cruzado, invertendo a taxa de variação da temperatura, de crescente para decrescente no máximo e de decrescente para crescente no mínimo.

Bom sabemos que a temperatura num ponto de coordenadas (x, y) é u[x,y] = 3x + 5y. No instante t o carrinho ocupa a posição com coordenadas x[t] = 1 + 0.5 Cos[t] e y[t] = 1 + 0.3 Sin[t], assim sua temperatura é

θ[t] = u[x[t], y[t]] = 3 (1 + 0.5 Cos[t]) + 5 (1 + 0.3 Sin[t]) =
= 8 + 1.5 Cos[t] + 1.5 Sin[t].

Podemos pensar que t varia em toda a reta real ...o carrinho não sai da elipse, né? Assim os pontos críticos da temperatura θ[t] = u[x[t], y[t]], vista como função do tempo ao longo do movimento, irão ocorrer nos pontos em que a derivada de θ[t], dada pela expressão acima se anula. Notamos que tal função é a composta da função t → α[t] = {x[t], y[t]}, que parametriza o movimento, com o campo de temperaturas, (x,y) → u[x,y]. α vai do IR para o IR2, u vai do IR2 para IR, a composta θ = u◦α vai de IR para IR, associa cada instante a uma temperatura.

d/dt u[x[t], y[t]] = -1.5 Cos[t] + 1.5 Cos[t] = 0,
Cos[t] = Sin[t], ou Tan[t] = 1.

Tal nos leva a t = π/4, no primeiro quadrante, quando x = 1 + 0.5 √2/2 ~ 1.35 e y = 1 + 0.3 √2/2 ~ 1.21. Também nos leva a t = 5π/4, no terceiro quadrante, quando x = 1 - 0.5 √2/2 ~ 0.65 e y = 1 - 0.3 √2/2 ~ 0.79. Temos um máximo de ~ 10.12 e um mínimo de ~ 5.88 para a temperatura.

Vamos juntar as isotermas correspondentes ao desenho.

Sabemos que por conta da regra vetorial da cadeia, se α[t] = {x[t], y[t]},

d/dt u[α[t]] = ∇u[α[t]] • α[t],

como tanto a velocidade do carrinho quanto o gradiente de u, dado por ∇u = {∂u/∂x, ∂u/∂x} = {3, 5}, são não nulos na curva percorrida pelo carrinho. Para o produto escala logo acima anular-se, velocidade e gradiente devem ser ortogonais nos pontos críticos da temperatura. Haja vista que os gradientes são ortogonais às isotermas, isto é equivalente ao fato do carrinho tangenciar estas curvas nos pontos críticos. Vejamos no mathematica.


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(5) (1,5 pontos) Obteve-se no mathematica

em parte com os comandos abaixo,

cil = ContourPlot3D[y2 + z2 == 1, {x, -3/2, 3/2}, {y, -3/2, 3/2}, {z, -3/2, 3/2},
Mesh → False, Boxed → False]
{p, q} = {{0, 1/2, √3/2}, {1, 1, √3/3}};
Show[plan, cil, Graphics3D[{PointSize[Large],
Thick, Point[{p, q}], Arrow[{p, q}]}]]

falta apenas o comando que define plan, tal é muito parecido com o comando que define cil, além da equação, a opacidade também é diferente, igual a $0.2.$ Escreva este comando. Diga se algum dos pontos, p ou q, pertence ao cilindro. Explique.

Resolução

Espiando o comando que define o cilindro,

cil = ContourPlot3D[y2 + z2 == 1, {x, -3/2, 3/2}, {y, -3/2, 3/2}, {z, -3/2, 3/2},
Mesh → False, Boxed → False]

vemos que é um cilindro de raio um, centrado no eixo x, definido pela equação y2 + z2 = 1. Esta equação é uma equação no espaço xyz, apesar de depender apenas de duas variáveis, a não dependência em x é pelo fato de que o cilindro tem simetria translacional na direção x ...se transladamos um ponto do cilindro paralelamente à direção x, ele continua no cilindro. Podemos pensar que o cilindro é um feixe de retas paralelas ao eixo x ...ou que foi produzido pela translação da circunferência unitária do plano yz na direção x.

Agora vamos pensar nos pontos p e q. Temos os seguintes comandos, definindo p e q ...e em seguida empregando-os no desenho.

{p, q} = {{0, 1/2, √3/2}, {1, 1, √3/3}};
Show[plan, cil, Graphics3D[{PointSize[Large],
Thick, Point[{p, q}], Arrow[{p, q}]}]]

Espiando o comando Graphics3D, um de seus subcomandos, o Point, é para ressaltar p e q ...já o comando Arrow é para desenhar uma seta entre os dois. Pela ordem vemos que p está no começo da seta, q está no fim dela. Assim sendo, espiando o desenho, p e q pertencem ao plano tangente ao cilindro, mas apenas p pertence ao cilindro, q não. Aliás, p é o ponto onde o plano é tangente ao cilindro. Podemos verificar que p pertence ao cilindro e q não empregando a equação do cilindro, que temos, de fato p = {0, 1/2, √3/2} satisfaz à equação y2 + z2 = 1, mas q = {1, 1, √3/3} não.

Agora vamos à questão de como escrever o comando que desenha o plano tangente ...precisamos da equação deste plano. Definimos uma distribuição de temperaturas no IR3 por u[x,y,z] = y2 + z2, no espaço as isotermas são superfícies ...e o cilindro corresponde a uma delas, aquela em que u é constante e igual a um. Assim sendo, o gradiente de u,

∇u = {∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z} = {0, 2y, 2z},

é orgonal ao plano tangente ao cilindro em todo ponto (x,y,z) que esteja no cilindro.

Já sabemos que o plano tangente passa por p, que está no cilindro, calculando o gradiente de u neste ponto, teremos um vetor normal a este plano ...e poderemos obter sua equação.

Bom, ∇u[p] = {0, 2(1/2), 2(√3/2)} = {0, 1, √3}. Dado que este é vetor normal, o plano tem equação 0x + 1y + √3 z = d. O fato de que o plano tem o ponto p nos leva a obter d = 0(0) + 1(1/2) + √3(√3/2) = 2. A equação do plano é portanto y + √3 z = 2 e podemos escrever o comando que desenha o cilindro,

plan = ContourPlot3D[y + √3 z == 2, {x, -3/2, 3/2}, {y, -3/2, 3/2}, {z, -3/2, 3/2},
Mesh → False, ContourStyle → Opacity[0.2], Boxed → False]

...partindo do comando que desenha o cilindro, além da equação, alteramos a transparência, como pedido.


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