\documentclass[10pt,a4paper]{article} \usepackage{graphicx} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \setlength{\topmargin}{-0.5in} \setlength{\oddsidemargin}{0in} \setlength{\textwidth}{6.5in} \setlength{\textheight}{9in} \linespread{1.3} \begin{document} \begin{center} \textbf{\small{COMO NO VESTIBULAR, LEIA AS QUEST\~{O}ES, PENSE, NELAS EST\'{A} A RESPOSTA.}}\\ \textbf{PARTICIPE SEGUNDA DA AVALIA\c{C}\~{A}O DE CURSO E GANHE UM PONTO.} \end{center} \begin{center} \large\textbf{Segunda Provinha de ma211ab, $\text{ps2015}^{\text{\huge{\fbox{RA: \_ \_ \_ \_ \_ \_ }}}}$} \end{center} \begin{quote} \textbf{nome completo, turma:}\\ \textbf{assinatura, rg , cpf , n\'{i}ver e e-mail preferido:}\\ \end{quote} \begin{quote} \textbf{(1)} (4,0 pontos) Os ind\'{i}genas do grupo Ban\'{i}ua, ao que parecem j\'{a} usam o mathematica para \mbox{problemas} de otimiza\c{c}\~{a}o. Num computador, encontrado na regi\~{a}o do Alto Rio Negro, entre Col\^{o}mbia e Venezuela, com muita digita\c{c}\~{a}o no idioma Barauaque, foi encontrado um estudo sobre que dist\^{a}ncia uma flecha deveria percorrer em linha reta para atingir o ponto mais long\'{i}nquo e o ponto mais pr\'{o}ximo de uma lagoa, sendo a flecha lan\c{c}ada de um ponto de partida fixo. Para tanto as seguintes linhas de comando estavam digitadas. \begin{displaymath} \begin{array}{lllllll} h\left[ x\_ \; , y\_ \; \right] \;=\; (x/5)^{2} + (y/4)^{2};\\ \text{a = RegionPlot}\left[ h[x,y] \leq 1 \;,\; \{x , -7 , 7 \} , \{y , -6 , 6 \} \right] ;\\ \text{b = Graphics}\left[\{\text{PointSize[Large]},\text{Red}, \text{Point}\left[\{ 4 , 5 \}\right]\} \right] ;\\ g\left[ x\_ \; , y\_ \; \right] \;=\; (x-4)^{2} + (y-5)^{2} ;\\ \text{c = ContourPlot} [ \sqrt{g[x,y]}, \{x , -7 , 7 \} , \{y , -6 , 6 \} , \text{ContourShading} \to \text{False} , \\ \text{ContourLabels} \to \text{True} , \text{Contours} \to 20 ] \\ \text{Show}\left[\text{a},\text{b},\text{c} \right] \end{array} \end{displaymath} \begin{description} \item[(a)] descreva a lagoa, diga qual o ponto de partida, fa\c{c}a o desenho obtido ap\'{o}s a quinta linha de comando e explique por que motivo o ind\'{i}gena define uma $g[x,y]$ e depois a utiliza dentro de uma raiz quadrada no outro comando \ldots qual o significado desta $g$? \ldots qual a utilidade da $h,$ definida de in\'{i}cio? \end{description} Em seguida o silv\'{i}cola clicou com o mouse sobre o desenho, clicou de novo outro bot\~{a}o no mouse, mexeu com ele e digitou mais duas linhas de comando, que aqui colocamos com as respostas. \begin{displaymath} \begin{array}{llll} \text{Sqrt} \left[ g[3,3.2] \right] \\ 2.05913 \\ \text{Sqrt} \left[ g[-4,-2.3] \right] \\ 10.8301 \end{array} \end{displaymath} \begin{description} \item[(b)] diga que manobras nosso ind\'{i}gena fez com o mouse e por qual motivo, explique o significado das entradas e sa\'{i}das num\'{e}ricas que aparecem nas quatro linhas acima, interprete-as geom\`{e}tricamente face ao desenho que fez no item anterior e ao problema em quest\~{a}o. \end{description} Bom, desconfiado da precis\~{a}o dos resultados, o bravo guerreiro digitou as linhas abaixo e tal sugere que o grande Joseph Louis, que foi at\'{e} senador de Napole\~{a}o, visitou mesmo o norte do Amazonas no final do s\'{e}culo dezoito e ensinou aos ancestrais dos Ban\'{i}uas como utilizar seus famosos multiplicadores. \begin{displaymath} \begin{array}{lll} \text{gradg}\left[ x\_ \; , y\_ \; \right] \;=\; \{ \text{D}[g[x,y],x] , \text{D}[g[x,y],y] \} ; \\ \text{gradh}\left[ x\_ \; , y\_ \; \right] \;=\; \{ \text{D}[h[x,y],x] , \text{D}[h[x,y],y] \} ; \\ \{\text{gradg}[x,y] == \lambda \; \text{gradh}[x,y] \;,\; h[x,y] == 1 \} \end{array} \end{displaymath} \begin{description} \item[(c)] estas tr\^{e}s linhas foram digitadas para montar um sitema de tr\^{e}s equa\c{c}\~{o}es para as inc\'{o}gnitas $x,$ $y$ e $\lambda,$ o resultado da execu\c{c}\~{a}o da terceira linha \'{e} o tal conjunto de tr\^{e}s equa\c{c}\~{o}es que seriam resolvidas no comando seguinte ...escreva as tr\^{e}s equa\c{c}\~{o}es, interprete o seu significado e diga qual seria a utilidade de resolv\^{e}-las. \end{description} Apesar da simplicidade do problema, estas equa\c{c}\~{o}es n\~{a}o s\~{a}o simples de resolver n\~{a}o, ainda bem que os ind\'{i}genas j\'{a} usam computadores, vejamos a solu\c{c}\~{a}o num\'{e}rica. \begin{displaymath} \begin{array}{lllllllll} \text{NSolve}[\%,\{ x,y,\lambda \}] \\ \{ \{ x \to -4.03116 , y \to -2.36639 , \lambda \to 49.8067 \} , \\ \{ x \to 11.6477 - 11.0981 i , y \to -9.31816 - 8.87852 i , \lambda \to 20.5 - 4.28769 i \} , \\ \{ x \to 11.6477 + 11.0981 i , y \to -9.31816 + 8.87852 i , \lambda \to 20.5 - 4.28769 i \} , \\ \{ x \to 2.95799 , y \to 3.22493 , \lambda \to -8.80673 \} \} \\ \text{Sqrt}[g[2.95799,3.22493]] \\ 2.05831 \\ \text{Sqrt}[g[-4;03116,-2.36639]] \\ 10.8979 \end{array} \end{displaymath} \begin{description} \item[(d)] explique o significado dos resultados obtidos, por que motivo aparece aquele $\%$ e que comando \'{e} este, $\text{Sqrt}[\;],$ para que serve. Justifique, pelo problema que se resolve, o porqu\^{e} de aparecerem apenas duas solu\c{c}\~{o}es reais. \end{description} Bom, afastado o medo da imprecis\~{a}o, nosso incans\'{a}vel selvagem resolve, neste ponto, preparar uma anima\c{c}\~{a}o para mostrar no datashow da tribo, digitou mais algumas linhas. \begin{displaymath} \begin{array}{llll} \alpha\left[ t\_ \; \right] = \{ 5\; \text{Cos[t]} , 4\; \text{Sin[t]} \} ; \\ \text{d = ParametricPlot} [ \alpha [t] , \{ t , 0 , 2 \pi \} ] ; \\ \text{Manipulate[Show}[\text{b} , \text{c} , \text{d} , \text{Graphics[Line[} \{ \{ 4 , 5 \} , \alpha[t] \} ] ] , \text{Graphics[} \{ \text{PointSize[Large]} , \\ \text{Red} , \text{Point}[\alpha[t]] \} ]] , \{t , 0 , 2 \pi \}] \end{array} \end{displaymath} \begin{description} \item[(e)] explique como funcionar\'{a} esta anima\c{c}\~{a}o, que tem um bot\~{a}o para fazer variar o par\^{a}metro $t$ e tamb\'{e}m pode faz\^{e}-lo variar automaticamente entre $0$ e $2 \pi.$ \end{description} Olhando a anima\c{c}\~{a}o nosso protagonista teve uma id\'{e}ia, notou que o m\'{a}ximo e o m\'{i}nimo da dist\^{a}ncia teriam \'{e} que ocorrer mesmo na fronteira da lagoa (explique) \ldots e que o problema poderia ter sido resolvido at\'{e} sem os multiplicadores, como um problema de c\'{a}lculo I \dots e desenhou um gr\'{a}fico. \begin{displaymath} \begin{array}{ll} \text{dist}\left[ t\_ \; \right] = g[5 \; \text{Cos}[t] \; , \; 4 \; \text{Sin}[t]] ; \\ \text{Plot}[\{\text{dist}[t] , 0\} \; , \; \{t , 0 , 2\pi\}] \end{array} \end{displaymath} \begin{description} \item[(f)] o uso do termo `dist', para denominar a fun\c{c}\~{a}o, sugere que o Ban\'{i}ua sabia mais algum idioma al\'em do Baruaque, concorda? \ldots levando em conta o problema que est\'{a} sendo resolvido voc\^{e} seria capaz de fazer um esbo\c{c}o prov\'{a}vel do tal gr\'{a}fico? \end{description} Em seguida o nobre selvagem resolveu o problema como se fosse de c\'{a}lculo I, ao que parece ajudando o mathematica, algo belo \dots o ind\'{i}gena preocupando-se em ajudar a m\'{a}quina. Notamos isto pelo procedimento dele, re-escrevendo as equa\c{c}\~{o}es de forma que o programa n\~{a}o teria que lidar com fun\c{c}\~{o}es trigonom\'{e}tricas inversas \ldots note tal inten\c{c}\~{a}o pelas trocas do cosseno e do seno por $u$ e $v$ nas linhas mais abaixo. Note que a primeira linha \'{e} s\'{o} para gerar a equa\c{c}\~{a}o, que nas seguintes ser\'{a} resolvida. \begin{displaymath} \begin{array}{lllllllllllll} \text{D}[g[5 \; \text{Cos}[t] \; , \; 4 \; \text{Sin}[t]] \;,\; t] \;==\; 0 \\ -10 (-4 + 5 \text{Cos}[t]) \text{Sin}[t] + 8 \text{Cos}[t] (-5 + 4 \text{Sin}[t]) \; == \; 0 \\ \% \not \; \textbf{.} \; \{ \text{Cos}[t] \to u \;,\; \text{Sin}[t] \to v \} \\ -10 (-4 + 5u) v + 8 u (-5 + 4v) \; == \; 0 \\ \text{NSolve}[\{ \% \;,\; u^{2} + v^{2} \; == \; 1 \} \;,\; \{u , v\}] \\ \{ \{ u \to 2.32954 + 2.21963 i, v \to -2.32954 + 2.21963 i \} , \\ \{ u \to 2.32954 - 2.21963 i, v \to -2.32954 - 2.21963 i \} , \\ \{ u \to -0.806233, v \to -0.591598 \} , \\ \{ u \to 0.591598, v \to 0.806233 \} \} \\ \text{Sqrt}[g[5 (0.59159), 4 (0.80623)]] \\ 2.05834 \\ \text{Sqrt}[g[5 (-0.80623), 4 (-0.59159)]] \\ 10.8978 \end{array} \end{displaymath} \begin{description} \item[(g)] explique o motivo e o significado dos comandos e respostas acima, inclusive aquele estranha equa\c{c}\~{a}o adicional, $u^{2} + v^{2} \; == \; 1$ \ldots e como foi empregada a estrat\'{e}gia para ajudar a m\'{a}quina, evitando trigonom\'{e}tricas inversas. \end{description} \end{quote} \newpage \ldots \newpage \ldots \newpage \begin{quote} \textbf{(2)} (4,0 pontos) Um estudante estava fazendo, com uso de um computador, uma verifica\c{c}\~{a}o da validade do teorema de Gauss numa regi\~{a}o espacial $R$ atrav\'{e}s de um caso particular. Foram encontradas as seguintes linhas de comando. \begin{displaymath} \begin{array}{llllllllll} w\left[ x\_\;, y\_\;, z\_\; \right] \;=\; \{ x , y , 1 + z^{2} \} ;\\ \text{div}w\left[ x\_\;, y\_\;, z\_\; \right] \;=\; 2 + 2 z ;\\ \text{Integrate}\left[\text{div}w\left[x , y , z \right] , \{z , 0 , 4 - x^{2} - y^{2} \} \right] \\ 24 - 10 x^{2} + x^{4} - 10 y^{2} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4} \\ \text{Factor}[\%] \\ (-6 + x^{2} + y^{2}) (-4 + x^{2} + y^{2}) \\ \% \not \; \textbf{.} (x^{2} + y^{2}) \to r^{2} ; \\ \text{Integrate}\left[\% \ast r , \{r , 0 , 2 \} \right] \\ \frac{56}{3} \\ \text{Integrate}\left[\% , \{\theta , 0 , 2 \pi \} \right] \\ \frac{112 \pi}{3} \end{array} \end{displaymath} \begin{description} \item[(a)] enuncie o teorema da diverg\^{e}ncia de Gauss, \item[(b)] este primeiro conjunto, ao que parece \'{e} para calcular a integral tripla, a terceira linha de comando mostra qual a regi\~{a}o espacial $R$ na qual o estudante fazia a verifica\c{c}\~{a}o do teorema, defina a regi\~{a}o, explique as linhas de comando acima, \item[(c)] a superf\'{i}cie externa \`{a} regi\~{a}o \'{e} dividida em duas partes, uma esp\'{e}cie de tampa de cima e uma esp\'{e}cie de tampa de baixo, $\partial R = S = S_{1} \cup S_{2},$ diga quais estes dois peda\c{c}os de superf\'{i}cie s\~{a}o, descreva-os, diga como devem ser orientados para o c\'{a}lculo do fluxo ao qual faz refer\^{e}ncia do teorema de Gauss. \end{description} Nas pr\'{o}ximas linhas o estudante parametriza e calcula o fluxo do campo vetorial $w$ na tampa de baixo da superf\'{i}cie externa. \begin{displaymath} \begin{array}{llllllllllllll} \alpha 2 \left[ r\_\;, \theta \_\; \right] = \{ r \text{Cos}[\theta] , r \text{Sin}[\theta] , 0 \} \\ \{r \text{Cos}[\theta], r \text{Sin}[\theta], 0 \} \\ \text{vmer2} = \text{D} [\alpha 2 [r, \theta], r] \\ \{ \text{Cos}[\theta] , \text{Sin}[\theta] , 0 \} \\ \text{vpar2} = \text{D} [\alpha 2 [r, \theta], \theta] \\ \{ -r \text{Sin}[\theta], r \text{Cos}[\theta], 0 \} \\ \text{ds2} \left[ r\_\;, \theta \_\; \right] = \text{Simplify}[\text{Cross}[\text{vmer2}, \text{vpar2}]] \\ \{ 0, 0, r \} \\ \text{Simplify}[w[r \text{Cos}[\theta] , r \text{Sin}[\theta] , 0 ] \bullet \text{ds2}[r , \theta]] \\ r \\ \text{Integrate}[\%, \{ r, 0, 2 \}] \\ 2 \\ \text{Integrate}[\%, \{ \theta, 0, 2 \pi \}] \\ 4 \pi \end{array} \end{displaymath} \end{quote} \newpage \begin{quote} \begin{description} \item[(d)] o fluxo calculado na tampa de baixo est\'{a} entrando e coincidiu, como era de se esperar, com a \'{a}rea da tampa de baixo, explique e justifique esta afirma\c{c}\~{a}o, face aos valores que o campo $w$ assume ao longo da tampa de baixo, \item[(e)] explique as linhas de comando que definem vmer2, vpar2 e ds2 a partir da parametriza\c{c}\~{a}o $\alpha 2$ da tampa de baixo, diga para qu\^{e} e por qual motivo foram definidas estas quantidades vetoriais e qual \'{e} o seu significado, \item[(f)] a tampa de cima tem parametriza\c{c}\~{a}o muito semelhante \`{a} da tampa de baixo, encontre tal parametriza\c{c}\~{a}o \ldots e repita os passos acima, escrevendo os comandos e resultados que levam ao fluxo na tampa de cima, verifique ent\~{a}o o teorema de Gauss, \item[(g)] escreva, com o uso do $\text{ParametricPlot3D}[\;],$ o comando que produziria a superf\'{i}cie externa $S$ e o resultado de sua execu\c{c}\~{a}o. \end{description} \end{quote} \newpage \ldots \newpage \begin{center} \fbox{\includegraphics[height=4in]{redemo.eps}} \end{center} \begin{quote} \textbf{(3)} (2,0 pontos) Nesta quest\~{a}o responda aos itens. \begin{description} \item[(a)] Uma das integrais de linha que empregamos \'{e} aquela que serve para calcular o trabalho que um campo de for\c{c}as $w[x,y] = P[x,y] i + Q[x,y] j$ exerce sobre uma part\'{i}ula movimentando-se segundo $\alpha[t] = x[t] i + y[t] j$ no dom\'{i}nio do campo e sofrendo sua a\c{c}\~{a}o \dots defina-a e explique o seu significado. \item[(b)] Fale em geral sobre campos conservativos e potenciais. \item[(c)] Diga se o campo acima \'{e} conservativo ou n\~{a}o e explique sua resposta. \item[(d)] Caso algu\'{e}m dissesse que o campo acima tem rotacional zero, voc\^{e} mudaria sua resposta ao item anterior? \end{description} \newpage \ldots \end{quote} \end{document}