esta é para discutir a segunda provinha
...ao lado em pdf (107KB) com seu latex (14KB),
o pdf ficou mais gordinho por causa do diagrama, né?

obs: tem curiosidade de aprender o latex?   ...   




        



(1) (4,0 pontos) Os indígenas do grupo Baníua, ao que parecem já usam o mathematica para problemas de otimização. Num computador, encontrado na região do Alto Rio Negro, entre Colômbia e Venezuela, com muita digitação no idioma Barauaque, foi encontrado um estudo sobre que distância uma flecha deveria percorrer em linha reta para atingir o ponto mais longínquo e o ponto mais próximo de uma lagoa, sendo a flecha lançada de um ponto de partida fixo. Para tanto as seguintes linhas de comando estavam digitadas.

h[x_ , y_ ] = (x/5)2 + (y/4)2;
a = RegionPlot[h[x,y] £ 1, {x,-7,7}, {y,-6,6}] ;
b = Graphics[{PointSize[Large] , Red , Point[{4,5}]}] ;
g[x_ , y_ ] = (x - 4)2 + (y - 5)2;
c = ContourPlot[√g[x,y], {x,-7,7}, {y,-6,6}, ContourShading → False,
ContourLabels → True, Contours → 20] ;
Show[a , b , c]
  1. descreva a lagoa, diga qual o ponto de partida, faça o desenho obtido após a quinta linha de comando e explique por que motivo o indígena define uma g[x,y] e depois a utiliza dentro de uma raiz quadrada no outro comando ...qual o significado desta g? ...qual a utilidade da h definida de início?

Em seguida o silvícola clicou com o mouse sobre o desenho, clicou de novo outro botão no mouse, mexeu com ele e digitou mais duas linhas de comando, que aqui colocamos com as respostas.

Sqrt[g[3 , 3.2]]
2.05913
Sqrt[g[-4 , -2.3]]
10.8301
  1. diga que manobras nosso indígena fez com o mouse e por qual motivo, explique o significado das entradas e saídas numéricas que aparecem nas quatro linhas acima, interprete-as geometricamente face ao desenho que fez no item anterior e ao problema em questão.

Bom, desconfiado da precisão dos resultados, o bravo guerreiro digitou as linhas abaixo e tal sugere que o grande Joseph Louis, que foi até senador de Napoleão, visitou mesmo o norte do Amazonas no final do século dezoito e ensinou aos ancestrais dos Baníuas como utilizar seus famosos multiplicadores.

gradg[x_ , y_ ] = {D[g[x,y] , x] , D[g[x,y] , y]} ;
gradh[x_ , y_ ] = {D[h[x,y] , x] , D[h[x,y] , y]} ;
{ gradg[x,y] == λ gradh[x,y] , h[x,y] == 1 }
  1. estas três linhas foram digitadas para montar um sitema de três equações para as incógnitas x, y e λ, o resultado da execução da terceira linha é o tal conjunto de três equações que seriam resolvidas no comando seguinte ...escreva as três equações, interprete o seu significado e diga qual seria a utilidade de resolvê-las.

Apesar da simplicidade do problema, estas equações não são simples de resolver não, ainda bem que os indígenas já usam computadores, vejamos a solução numérica.

NSolve[ % , {x , y , λ}]
{ { x → -4.03116 , y → -2.36639 , λ → 49.8067 } ,
{ x → 11.6477 - 11.0981 i , y → -9.31816 - 8.87852 i , λ → 20.5 - 4.28769 i } ,
{ x → 11.6477 + 11.0981 i , y → -9.31816 + 8.87852 i , λ → 20.5 - 4.28769 i } ,
{ x → 2.95799 , y → 3.22493 , λ → -8.80673 } }
Sqrt[g[2.95799 , 3.22493]]
2.05831
Sqrt[g[-4.03116 , -2.36639]]
10.8979
  1. explique o significado dos resultados obtidos, por que motivo aparece aquele % e que comando é este, Sqrt[ ], para que serve. Justifique, pelo problema que se resolve, o porquê de aparecerem apenas duas soluções reais.

Bom, afastado o medo da imprecisão, nosso incansável selvagem resolve, neste ponto, preparar uma animação para mostrar no datashow da tribo, digitou mais algumas linhas.

α[t_ ] = {5 Cos[t] , 4 Sin[t]} ;
d = ParametricPlot[α[t] , {t , 0 , 2π}] ;
Manipulate[Show[b , c , d , Graphics[Line[{{4 , 5} , α[t]}]] ,
Graphics[{PointSize[Large] , Red , Point}[α[t]]}]] , {t , 0 , 2π}]
  1. explique como funcionará esta animação, que tem um botão para fazer variar o parâmetro t e também pode fazê-lo variar automaticamente entre 0 e 2π.

Olhando a animação nosso protagonista teve uma idéia, notou que o máximo e o mínimo da distância teriam é que ocorrer mesmo na fronteira da lagoa (explique) ...e que o problema poderia ter sido resolvido até sem os multiplicadores, como um problema de cálculo I ...e desenhou um gráfico.

dist[t_ ] = g[5 Cos[t] , 4 Sin[t]] ;
Plot[{dist[t] , 0} , {t , 0 , 2π}]
  1. o uso do termo “dist”, para denominar a função, sugere que o Baníua sabia mais algum idioma além do Baruaque, concorda? ...levando em conta o problema que está sendo resolvido você seria capaz de fazer um esboço provável do tal gráfico?

Em seguida o nobre selvagem resolveu o problema como se fosse de cálculo I, ao que parece ajudando o mathematica, algo belo ...o indígena preocupando-se em ajudar a máquina. Notamos isto pelo procedimento dele, re-escrevendo as equações de forma que o programa não teria que lidar com funções trigonométricas inversas ...note tal intenção pelas trocas do cosseno e do seno por u e v nas linhas mais abaixo. Note que a primeira linha é só para gerar a equação, que nas seguintes será resolvida.

D[g[5 Cos[t] , 4 Sin[t]] , t] == 0
-10 (-4 + 5 Cos[t]) Sin[t] + 8 Cos[t] (-5 + 4 Sin[t]) == 0
% /. {Cos[t] → u , Sin[t] → v}
-10 (-4 + 5u) v + 8 u (-5 + 4v) == 0
NSolve[{% , u2 + v2 == 1} , {u , v}]
{{u → 2.32954 + 2.21963 i, v → -2.32954 + 2.21963 i} ,
{u → 2.32954 - 2.21963 i, v → -2.32954 - 2.21963 i} ,
{u → -0.806233, v → -0.591598} ,
{u → 0.591598, v → 0.806233}}
Sqrt[g[5 (0.59159) , 4 (0.80623)]]
2.05834
Sqrt[g[5(-0.80623) , 4(-0.59159)]]
10.8978
  1. explique o motivo e o significado dos comandos e respostas acima, inclusive aquele estranha equação adicional, u2 + v2 == 1 ...e como foi empregada a estratégia para ajudar a máquina, evitando trigonométricas inversas.

solução:

(a) Quando empregamos os comandos ContourPlot[ ] e RegionPlot[ ] para resolver problemas de otimização no mathematica, a estratégia é desenhar as curvas de nível da função a ser otimizada com o primeiro deles e a região à qual estão restritas as variáveis com o segundo deles ...finalmente nós superpomos estes dois desenhos com o Show[ ] para obter o ponto de máximo ou mínimo.

Tendo isto em mente, reconhecemos a função a ser otimizada nas linhas quatro e cinco, g[x,y] = (x - 4)2 + (y - 5)2 é o quadrado da distância de um ponto genérico (x , y) ao ponto de partida, (4 , 5), que fica bem determinado. A estratégia de otimizar o quadrado da distância é para não carregar-se a raiz quadrada em eventuais cálculos, pois otimizando-se o quadrado da distância, otimiza-se a distância. Por conta disto é que g aparece dentro da raiz quadrada no comando ContourPlot[ ], para que os conjuntos de nível sejam rotulados com a distância que queremos otimizar. Note que os conjuntos de nível tanto de g quanto os de sua raiz são os mesmos e correspondem a circunferências centradas no ponto de partida (4 , 5).

Bom, à função h[x,y] resta o papel de função auxiliar. A lagoa serve como uma restrição às variáveis x e y, pois queremos encontrar os pontos da lagoa mais próximo e mais distante do ponto de partida. Como h[x,y] = (x/5)2 + (y/4)2 e a região de restrição as variáveis, na segunda linha, no RegionPlot[ ], é dada por h[x,y] £ 1 , vemos que a lagoa é uma elipse com semi-eixo maior horizontal e igual a cinco ...e semi-eixo menor vertical e igual a quatro.

No desenho veremos a lagoa superposta com as circunferências centradas no ponto (4,5).

(b) Pelo que foi descrito, o indígena clicou no desenho produzido pelo mathematica, depois clicou com o direito, escolheu “get coordinates” e pegou as coordenadas dos pontos da lagoa onde ocorrem o mínimo e o máximo da distância ao ponto de partida. Note que estes pontos ocorrem em pontos de tangência de conjuntos de nível da distância, √g, com a fronteira da lagoa, que é a curva elipse, dada por h = 1. As coordenadas aproximadas obtidas pelo mouse foram (3 , 3.2) e (-4 , -2.3) ...nosso indígena calculou a raiz quadrada de g em cada um deles e viu que o conjuntos de nível tangentes à elipse são √g ~ 2.05913 e √g ~ 10.8301 correspondentes aos valores mínimo e máximo da distância.

(c) Bom com o intuito de obter uma maior precisão, o indígena resolveu usar o método dos multiplicadores de Lagrante. Para tanto deve escrever a equação vetorial de Lagrange, gradg[x,y] = λ gradh[x,y], que pode ser entendida como o alinhamento dos gradientes de g e h, que ocorrre no ponto de tangência de um conjunto de nível de g (são os mesmos que os conjuntos de √g) e a elipse vinculante que serve de fronteira para a lagoa e é dada por h = 1. A equação de Lagrange é vetorial e corresponde a duas equações escalares ∂g/∂x = λ ∂h/∂x, ou 2(x - 4) = λ 2(x/5) ...e ∂g/∂y = λ ∂h/∂y, ou 2(y - 5) = λ 2(y/4) ...a estas duas juntamos h[x,y] = (x/5)2 + (y/4)2 = 1 e temos um sistema não linear de três equações para x, y e para o multiplicador de Lagrange λ, visto como uma terceira variável. Resolvendo as equações acha-se os pontos de tangência, como vêm de equações, teremos mais precisão do que simplesmente estimá-los com o mouse. Nota-se, pelos resultados, que a precisão do mouse foi razoável.

(d) Nas linhas em que se resolve as equações após as termos montado, o % refere-se ao resultado da execução anterior como sempre no mathematica e Sqrt[ ] é para tirar a raiz quadrada, pois, para simplificar equações, trabalhamos com g[x,y], que é a distância quadrada. Notamos que o problema de menor e maior distância a lagoa tem obviamente duas soluções para uma lagoa elíptica, um ponto de mínimo e outro de máximo. Qualquer ponto crítico, mínimo ou sela ou máximo do ponto restrito à fronteira h=1 da lagoa, seria encontrado pela equação de Lagrange, pois temos uma curva suave, sem bicos ...e no caso, como era de se esperar, tais ocorrem quando a radial vinda do ponto de partida cruza a elipse ortogonalmente e isto ocorre apenas duas vezes, isto é natural, dado o problema.

(e) Como comentamos muitas vezes, a elipse de semi-eixo horizontal 5 e semi-eixo vertical 4 é vista como uma deformação da circunferência trigonométrica ou unitária, pois a equação u2 + v2 = 1 equivale à equação (x/5)2 + (y/4)2 =1 face à transformação x = 5u e y = 4v entre os espaços uv e xy. Comentamos até que este ponto de vista justifica a fórmula de área da elipse, dada por π vezes o produto dos semi-eixos (no caso 20π), que também permite definir coordenadas elípticas e até parametrizar a elipse facilmente.

No caso o indígena pega parametrização natural da circunferência trigonométrica, u = Cos[t], v = Sin[t] e a transforma na parametrização α[t] = 5 Cos[t]i + 4 Sin[t]j , da elipse que serve de fronteira para a lagoa. Com esta parametrização e o Manipulate[ ], ele coloca um ponto móvel sobre a elipse e uma linha móvel entre este ponto e o ponto de partida, t é o parâmetro do comando ...à medida que t vai de 0 a 2π o ponto percorre a elipse e a linha mostra sua distância ao ponto de partida. A linha e a elipse serão ortogonais no mínimo e no máximo, pois aí a normal da elipse, dada pelo gradiente de h, ficará alinhada com gradiente de g, e este, 2(x-4)i + 2(y-1) fica alinhado com a tal linha ligando os pontos, que é trecho de uma radial partindo do ponto (4 , 5), ...isto sempre acontece quando procuramos mínimos da distância.

Bom o termo “dist” lembra a palavra usada para distância para várias linguas latinas, português inclusive, mas vejam o indígena o empregou para o quadrado da distância, né? Quanto ao esboço do gráfico, notamos que para t = 0 estamos no vértice direito horizontal da elipse, dado por (5 , 0) ...sua distância quadrada ao ponto (4 , 5) é 26 ...como o ponto gira no sentido anti-horário quando t aumenta, logo depois chegamos no mínimo da distância quadrada, ~4, a partir daí a distância aumenta e um pouco mais adiante, em t = π/2, a parametrização α[t] encontra o vértice de topo do eixo vertical, (0 , 4) onde a distância quadrada dá 17. Depois chega, com o aumento e t até π, a outro vértice na equerda do semi-eixo horizontal, (-5 , 0) onde a distância quadrada dá 106 ...e logo depois chega-se ao máximo da distância quadrada ~117. Continuando a aumentar o t, quando este chega a 3π/2, α[t] está no vértice de baixo no eixo vertical, no ponto (0 , -4) quando a distância quadrada é 97 ...e quando t = 2π a distância quadrada volta a ser 26. Vejamos no mathematica.

Bom, vejamos também o da raiz quadrada de g, que é a distância,

(g) O indígena percebeu que o ponto de máximo e mínimo, estando na fronteira, basta estudá-lo ao longo da curva elipse. Note que a hipótese de que o mínimo estaria no interior da lagoa , isto levaria a contradição, bastaria puxá-lo na direção do ponto de partida até chegar à fronteira para achar um de menor distância ...se fizessemos a hipótese de que o máximo estivesse no interior da lagoa, também teríamos contradição, para tanto bastaria afastá-lo, pela radial do ponto de partida até a fronteira para achar um ponto mais distante.

Notamos que o gradiente de g não se anula na lagoa, sendo dado por gradg[x,y] = 2(x-4)i + 2(y-5)j, anula-se apenas no ponto de partida, (4 , 5) ...assim sendo, na região da lagoa, as linhas do gradiente, que são as radiais que vem do ponto de partida, são sempre transversais aos conjuntos de nível e ao movermos ao longo delas, pela regra da cadeia vetorial, vemos g sempre aumentar ou sempre diminuir, dependendo se vamos a favor o contra o gradiente.

Estando os pontos extremos na fronteira, o estudo dos valores de g ao longo da fronteira, que é a curva elipse levaria aos tais extremos ...note que dá para escrever estes valores como uma função de uma variável apenas, compondo g com α[t] temos g[α[t]] = g[5 Cos[t] , 4 Sin[t]] e o ponto dado pela parametrização percorre toda a fronteira da lagoa quando t vai de zero a 2π. Aliás podemos tomar t assumindo qualquer valor real, pois α[t] é função periódica e não foge da elipse. Melhor assim, pensamos que t Î IR e não precisamos trabalhar no intervalo [0 , 2π], nem se preocupar com os pontos extremos deste intervalo, procuramos nossos máximos e mínimos apenas nos pontos em que a derivada é zero, fica mais fácil. Escrevendo que tal derivada é zero, chega-se à equação

-10 (-4 + 5 Cos[t]) Sin[t] + 8 Cos[t] (-5 + 4 Sin[t]) = 0

...como vimos na segunda linha do bloco de comandos. Como já comentamos várias vezes, neste tipo de situação, pedir para o computador “encontar o t” não é boa estratégia, a máquina enfrentará trigonométricas inversas ...e não queremos o valor de t nos extremos, queremos os valores de x , y, g e √g. Assim o indígena trocou Cos[t] por u e Sin[t] por v, adicionou a equação u2 + v2 para garantir que a máquina vai encontrar um par de números que podem ser cosseno e seno da alguma coisa, né? Os dois pares de respostas reais levaram aos pontos extremos, como esperado.

        ...para pegar o notebook desta questão clique com o direito ao lado.

critérios de correção e observações:

meio ponto por item mais meio ponto pelo conjunto.


(2) (4,0 pontos) Um estudante estava fazendo, com uso de um computador, uma verificação da validade do teorema de Gauss numa região espacial R através de um caso particular. Foram encontradas as seguintes linhas de comando.

w[x_ , y_ , z_ ] = {x , y , 1 + z2} ;
divw[x_ , y_ , z_ ] = 2 + 2 z ;
Integrate[divw[x , y , z] , {z , 0 , 4 - x2 - y2}]
24 - 10 x2 + x4 - 10 y2 + 2 x2 y2 + y4
Factor[%]
(-6 + x2 + y2) (-4 + x2 + y2)
% /. (x2 + y2) → r2 ;
Integrate[ % * r , {r , 0 , 2}]
56/3
Integrate[% , {θ , 0 , 2π}]
112 π/3
  1. enuncie o teorema da divergência de Gauss,
  2. este primeiro conjunto, ao que parece é para calcular a integral tripla, a terceira linha de comando mostra qual a região espacial R na qual o estudante fazia a verificação do teorema, defina a região, explique as linhas de comando acima,
  3. a superfície externa à região é dividida em duas partes, uma espécie de tampa de cima e uma espécie de tampa de baixo, R = S = S1 È S2 , diga quais estes dois pedaços de superfície são, descreva-os, diga como devem ser orientados para o cálculo do fluxo ao qual faz referência do teorema de Gauss.

Nas próximas linhas o estudante parametriza e calcula o fluxo do campo vetorial w na tampa de baixo da superfície externa.

α2[r_ , θ_ ] = {r Cos[θ] , r Sin[θ] , 0}
{r Cos[θ] , r Sin[θ] , 0 }
vmer2 = D[α2[r, θ], r]
{Cos[θ] , Sin[θ] , 0}
vpar2 = D[α2[r, θ], θ]
{-r Sin[θ] , r Cos[θ] , 0 }
ds2[r_ , θ_ ] = Simplify[Cross[vmer2 , vpar2]]
{0, 0, r}
Simplify[w[r Cos[θ] , r Sin[θ] , 0] • ds2[r , θ]]
r
Integrate[% , {r, 0, 2}]
2
Integrate[% , {θ , 0, 2π}]
  1. o fluxo calculado na tampa de baixo está entrando e coincidiu, como era de se esperar, com a área da tampa de baixo, explique e justifique esta afirmação, face aos valores que o campo w assume ao longo da tampa de baixo,
  2. explique as linhas de comando que definem vmer2, vpar2 e ds2 a partir da parametrização α2 da tampa de baixo, diga para quê e por qual motivo foram definidas estas quantidades vetoriais e qual é o seu significado,
  3. a tampa de cima tem parametrização muito semelhante à da tampa de baixo, encontre tal parametrização ...e repita os passos acima, escrevendo os comandos e resultados que levam ao fluxo na tampa de cima, verifique então o teorema de Gauss,
  4. escreva, com o uso do ParametricPlot3D[ ], o comando que produziria a superfície externa S e o resultado de sua execução.

obs: esta questão, na prova, tinha um erro de sinal   ...   

solução:

(a) O teorema da divergência de Gauss diz que o fluxo de um campo vetorial, digamos w, saindo de uma superfície fechada S coincide com a integral tripla do divergente deste campo, digamos divw, na região espacial R contida por S, que lhe serve de fronteira ...usa-se escrever S = ∂R nesta situação ...em matemática mais avançada a fronteira pode ser vista como uma espécie de derivada da região que contém. Note que para o fluxo calculado pela integral de superfície coincidir com a integral tripla do divergente, tal fluxo deve ser o fluxo total saindo da superfície fechada S ...deve-se orientar tal superfície de forma que o vetor normal que aparece no elemento vetorial de área esteja saindo, isto é, indo para o lado oposto ao da região contida.

(b) Vemos, pela terceira linha, que o estudante está iniciando a integral tripla por Fubinni ...e que a região é aquela contida entre um parabolóide que fica por cima, dado por z = 4 - x2 - y2 (que lembra uma corcova de camelo do Magrebe, para ajudar quem estudou a solução da p1, né?) ...e o plano xy, dado por z = 0, que fica por baixo.

Usamos o Plot3D[ ], repare que ele aceita dois gráficos, z = 4 - x2 - y2 e z = 0, com mesmo domínio, as duas funções são para tanto colocadas entre chaves ...note que fizemos uma restrição de domínio, que passa a ser o círculo de raio 2, sombra da região de interesse no plano xy ...e por coincidência sua tampa de baixo.

Note que o parabolóide de boca para baixo encontra o plano xy ao longo da circunferência de raio 2 dada por x2 + y2 = 4 e z = 0 ...assim sendo, a sombra da região tridimensional no plano xy será o círculo de raio 2, dado por x2 + y2£ 2 , é neste círculo que deve ser feita a integral dupla que segue à integração em z da linha 3. Das primeiras duas linhas concluímos que o campo vetorial é w[x,y,z] = xi + yj + (1 - z2)k e seu divergente é o campo escalar divw[x,y,z] = 2 - 2z, integrando na integral tripla a que se refere o teorema de Gauss. Nas linhas seguintes à primeira integral, em z, o estudante faz uma troca para polares para fazer a integral no círculo de raio 2.

Primeiro faz o computador fatorar, para aparecer a dependência esperada em x2 + y2 ...dizemos esperada, pois a primeira integral foi feita entre zero e quatro menos esta expressão, assim sendo deve ser possível escrever o resultado da primeira integral em função de x2 + y2 ...não apareceu por conta da forma que o computador fez a integral ...e o idígena usou com sucesso o Factor[ ] na esperança de explicitar esta dependência, que sugere e simplifica a mudança para coordenadas polares. Em seguida procede a troca desta soma de quadrados por r2, algo natural nas polares, em seguida multiplica o integrando pelo jacobiano r, fator de expansão ou contração do elemento de área neste sistema de coordenadas ...e faz as duas integrais, com r de zero a dois e θ de zero a 2π, obtendo o resultado 112π/3. Esta é a integral tripla do divergente do campo na região.

(c) A região R, como descrevemos acima, é fechada por uma superfície externa com duas tampas, seja S1 a tampa de cima, um parabolóide de boca para baixo, dado pelo gráfico de z = 4 - x2 y2 acima do plano xy, mais precisamente acima do círculo contido neste plano, dado por x2 + y2£ 2 , ...a superfície que serve de tampa de baixo, S2 , é este próprio círculo, onde a coordenada z é sempre nula. Note que para o teorema de Gauss o fluxo deve estar saindo da superfície R = S = S1 È S2 , assim sendo, para ter o sinal certo, o fluxo saindo pela tampa de baixo deveria ter a normal para baixo, o fluxo saindo da tampa de cima deveria ter a normal para cima.

(d) Pensemos em coordenadas cartesianas mesmo, vejamos que para qualquer região do plano xy, vista como superfície espacial parametrizada, tomando x e y como parâmetros nesta ordem, que o fluxo de w seria mesmo igual à área da região. O campo vetorial é dado por w[x,y,z] = xi + yj + (1+z2)k , quando z = 0, no plano xy, temos w[x,y,0] = xi + yj + 1k, que seria o campo ao longo de uma região no plano xy, escrito em função de x e y, vistos como parâmetros. Nesta região plana, parametrizada por x e y, a parametrização vetorial seria β[x,y] = xi + yj + 0k e a velocidade de quem segue o meridiano y = constante seria vmer = ∂β/∂x = 1i + 0j + 0k , enquanto que a velocidade de quem segue um paralelo x = constante seria vpar = ∂β/∂y = 0i + 1j + 0k ...fazendo o produto vetorial chegaríamos ao resultado natural de elemento de área no plano xy é ds = dxdy k, isto até é normalmente assumido intuitivamente nesta situação. Assim sendo o elemento de fluxo de w, dado por w[x,y,0] • (dxdy k) = dxdy, o elemento de fluxo coincide com o elemento escalar de área na região ...tal ocorreu, pois o elemento vetorial de área apontava na direção z ...e a terceira componente de w no plano xy é igual a um. A integral dupla em xy que daria o fluxo total também dá a área da região.

O fluxo está entrando pois o elemento de área da parametrização que usamos está para cima, será dado por rdrdθ k, analogamente ao dxdy k das cartesianas ...mas mesmo sem ver nosso elemento de área, percebemos que se o fluxo é positivo, está entrando, pois a terceira componente de w, na tampa de baixo, é positiva.

(e) No caso trabalha-se numa região plana, que era um círculo de raio 2, vista como superfície parametrizada no espaço, mas emprega-se coordenadas polares, isto é, colocamos x = r Cos[θ] , y = r Sin[θ] e z = 0 , com r entre 0 e 2, θ entre 0 e 2π. Temos a parametrização vetorial que foi chamada de α2[r , θ] = r Cos[θ] i + r Sin[θ] j + 0k . Como em toda parametrização de superfície, aparece a idéia de fixar um parâmetro e deixar o outro variável ...assim é que associamos uma parametrização a duas famílias de curvas sobre a supefície parametrizada, que chamamos de paralelos e meridianos. No caso os paralelos, se tomamos r constante, seriam circunferências onde o θ é o parâmetro livre, entre 0 e 2π ...os meridianos seriam as radiais, daí r, entre 0 e 2, é o parâmetro livre.

Cada par de meridianos, espaçados por Δθ, junto com cada par de par de paralelos, espaçados por Δr, formam um pequeno trecho de setor, um elemento de área na superfície parametrizada, que corresponde à imagem de um quadradinho ΔrΔθ no espaço dos parâmetros.

entre os dois paralelos temos um trecho de meridiano que pode ser aproximado em primeira ordem em Δr pelo vetor ∂α2/∂r Δr que corresponde a velocidade vezes o deslocamento para que percorre o meridiano usando o parâmetro r como se fosse o tempo ...entre os dois meridianos temos um trecho de paralelo, analogamente dado em primeira ordem pelo vetor ∂α2/∂θ Δθ ...estas idéias sugerem que se defina o elemento direrencial vetorial de área como o produto vetorial dos dois elementos diferenciais vetoriais de linha, ds2[r,θ] = ∂α2/∂r × ∂α2/∂θ drdθ ,  este elemento acaba por ficar ortogonal à superfície ...e sua área corresponde à área do paralelogramo definido pelos dois elementos de linha ...da mesma forma que estes elementos de linha são usados em integrais de linha, empregamos o elemento de área para as integrais na superfície.

No caso particular da tampa de baixo, a partir da sua parametrização α2[r,θ] = rCos[θ]i + rSin[θ]j + 0k, o aluno calcula as velocidades no meridiano e no paralelo, vmer2 = ∂α2/∂r = Cos[θ]i + Sin[θ]j + 0k , vpar2 = ∂α2/∂θ = -rSin[θ]i + rCos[θ]j + 0k ...e o elemento de área, ds2 = vmer2 × vpar2 drdθ = (0i + 0j + rk) drdθ ...bom, não se escreve o dr e o dθ no computador ...o elemento diferencial de área que lá aparece como {0,0,r} = r k , é de fato ds2 = r drdθ k. Como o campo, w[x,y,z] = xi + yj + (1 + z2)k , expresso nesta parametrização em polares é dado por w[rCos[θ] , rSin[θ] , 0] = rCos[θ]i + rSin[θ]j + 1k , seu produto escalar com o elemento vetorial de área dá rdrdθ , coincidindo com o elemento de escalar de área das polares, este elemento, integrado com r de zero a dois, θ de zero a 2π, teria que dar 4π, a área de um círculo de raio 2.

(f) Da tampa debaixo para a de cima, muda apenas a coordenada z, que em vez de zero passa a ser z = 4 - r2 = 4 - x2 - y2 , a parametrização será agora α1[r,θ] = r Cos[θ] i + r Sin[θ] j + (4 - r2) k, os paralelos serão circunferências, então r é constante e α1 parametriza com o θ, que fica livre, circunferências de raio r, levantadas numa altura de z = 4 - r2 , os meridianos serão parábolas onde θ é fixo e r é variável.

Calculamos as velocidades de quem anda pelos paralelos e meridianos e seu produto vetorial, vmer1 = ∂α1/∂r = Cos[θ]i + Sin[θ]j -2r k, vpar1 = ∂α1/∂θ = -r Sin[θ]i + r Cos[θ]j + 0 k,

ds1[r,θ] = Cross[vmer1 , vpar1] = ...

...=  det
i j k
Cos[θ] Sin[θ] -2r
-r Sin[θ] r Cos[θ] 0

...2r2 Cos[θ]i + 2r2 Sin[θ] + r k.

O campo vetorial w[x,y,z] = xi + yj + (1 + z2)k , ao longo desta parametrização, é dado por w[r Cos[θ] , r Sin[θ], 4 - r2] = rCos[θ]i + rSin[θ]j + (1 + (4 - r2)2) k. Seu produto escalar pelo elemento de área dá o elemento de fluxo, (2r3 + r (1 + (4 - r2)2)) drdθ.

Como a terceira componente do elemento de área é igual a r, vemos que o fluxo calculado está saindo. Seu valor é

002 (2r3 + r (1 + (4 - r2)2)) drdθ  =
=  ∫002 (17r - 6r3 + r5) drdθ
=  ∫0 [17r2/2 - 6r4/4 + r6/6]02
=  2π { 17 (22/2) - 6 (24/4) + 26/6 } = 124π/3.

Deste fluxo saindo, tirando os 4π = 12π/3 entrando na tampa de baixo, obtemos 112π/3 , como era esperado pelo teorema de Gauss.

(g) Para fazer o desenho basta o ParametricPlot3D[ ] que aceita duas parametrizações entre chaves, quando conseguimos escrevê-las desta forma, com mesmos parâmetros,

Note a diferença de proporções entre esta figura e aquela desenhada logo no começo da solução com o Plot3D[ ], que deforma, forçando a golden ratio.

        ...para pegar o notebook desta questão clique com o direito ao lado.

critérios de correção e observações:

meio ponto por item mais meio ponto pelo conjunto


(3) (2,0 pontos) Nesta questão responda aos itens.

  1. Uma das integrais de linha que empregamos é aquela que serve para calcular o trabalho que um campo de forças w[x,y] = P[x,y] i + Q[x,y] j exerce sobre uma partíula movimentando-se segundo α[t] = x[t] i + y[t] j no domínio do campo e sofrendo sua ação ...defina-a e explique o seu significado.
  2. Fale em geral sobre campos conservativos e potenciais.
  3. Diga se o campo acima é conservativo ou não e explique sua resposta.
  4. Caso alguém dissesse que o campo acima tem rotacional zero, você mudaria sua resposta ao item anterior?

solução:

(a) Nos cálculos de trabalho, o movimento da partícula, ou caminho, é uma curva suave por partes. Entendemos o termo suave por partes como sendo uma curva que corresponde a uma união de trechos, são estes trechos, ou partes, é que são suaves. Isto significa que cada trecho é a imagem de uma parametrização bem comportada (...se quiser saber o significado de bem comportada clique...    ...ou deixe para depois)

...As parametrizações dão uma orientação a cada trecho, definindo ponto inicial e final de cada um. Os trechos formadores do caminho devem formar uma seqüência finita, de forma que o ponto final de um coincida com o inicial do seguinte e assim por diante. O ponto final do último trecho é o ponto final do caminho e o ponto inicial do primeiro trecho é o ponto inicial do caminho. Os caminhos têm uma orientação, que é do ponto inicial para o final ...não dependem apenas dos pontos que formam a seqüência de trechos, mas do sentido que são percorridos, pois é, os tais caminhos são ditos orientados. A junção de dois caminhos orientados, quando o ponto final de um coincide com o inicial do outro, dá outro caminho orientado.

A integral de um campo num caminho deste tipo é feita em cada trecho da curva, depois os resultados são somados.

O campo de forças é uma função vetorial pelo menos contínua num aberto que contém o caminho, dada por w[x,y] = P[x,y] i + Q[x,y] j e a definição da tal integral de linha é inspirada no fato de que o trabalho sobre uma partícula na qual a força faz efeito é dado pelo produto escalar da força F pelo deslocamento Δr da partícula ...quando a partícula se move com uma certa velocidade, podemos escrever F.Δr = F.(Δr/Δt) Δt . Então o produto escalar da força pela velocidade, F.v , com v = (Δr/Δt) é a potência transmitida pelo campo à partícula durante o movimento, o quantum de energia por tempo entregue ou tirado dela. Esta idéia inspira a definição de integral de caminho definindo-a para um trecho parametrizado por

ab w[α[t]] • α'[t] dt .

Com as restrições que fizemos às parametrizações de trechos, mostra-se que diferentes parametrizações de um trecho levam a uma mesma integral no trecho (...se quiser saber um esboço da demonstração clique...    ...ou deixe para depois).

Assim a integral de linha não depende da forma que escolhemos para percorrer o trecho desde que o façamos no mesmo sentido ...mas podemos ir mais rápida ou lentamente sem alterar o quantum recebido de energia. Esta idéia casa com a idéia de que ao longo do caminho, o trabalho total será dado pela soma de termos da forma Fj • Δrj, onde o caminho foi dividido numa seqüência de micro-deslocamentos Δrj.

Para a integral no caminho inteiro, usa-se os símbolos clássicos

Γ w • dr

Γ w • t ds

Γ P dx + Q dy

...que não dão a aparência de que a integral poderia depender das parametrizações dos trechos do caminho. O símbolo Γ significa o caminho todo, nestes os símbolos dr = t ds = dxi + dyj (t é unitário e tangente à curva) representariam um elemento vetorial de linha ao longo do caminho equivalente a v dt = α'[t] dt em cada trecho parametrizado. Na hora de fazer a integral trocamos em cada trecho dx por x'[t]dt, dy por y'[t]dt, P por P[x[t],y[t]] e assim por diante ...as definições dão todas na mesma (algumas vezes o parâmetro t é o próprio x ...ou o próprio y ...e destes casos particulares, às vezes tomados como gerais, causam algumas confusões).

(b) Campo conservativo é um campo vetorial contínuo w[x,y] = P[x,y]i + Q[x,y]j definido num domínio aberto, tal que, se dados dois pontos, P1 e P2, no seu domínio ...para qualquer caminho partindo de P1 e chegando a P2, a integral de linha tem o mesmo valor. Do ponto de vista da partícula, isto significa que a energia recebida do ou perdida para o campo só depende dos pontos inicial e final do caminho percorrido. Neste sentido dizemos que campo conservativo é um campo cuja integral é independente do caminho (só depende dos pontos final e inicial).

Notamos que dado um caminho Γ, que vai de P1 até P2, o seu reverso, que volta de P2 a P1 pelos mesmos trechos, também é um caminho e o denotamos por -Γ. A parametrização de cada trecho do caminho original pode ser revertida e o resultado de cada integral, em cada trecho, troca de sinal (...se quiser ver a prova deste fato clique...    ...ou deixe para depois).

Revertendo a orientação do caminho, a integral troca de sinal e isto é natural se pensamos que o trabalho total será dado pela soma de termos da forma Fj • Δrj, a reversão do caminho reverte o sentido dos vários micro-deslocamentos Δrj.

Por consequência desta discussão, se temos dois caminhos, digamos Γ1 e Γ2, indo de P1 até P2, isto é o mesmo que pensarmos que temos um caminho fechado que corresponde a Γ1È(-Γ2) , isto é, Γ1 seguido da reversão -Γ2 de Γ2, que vem de P2 para P1. Por conta desta manobra ...e refletindo um pouco, podemos dizer que campo conservativo é aquele cuja integral de linha é nula em todo caminho fechado, isto é, nula num caminho que tem ponto final e inicial coincidentes, ...tal é completamente equivalente a dizer que a integral independe do caminho.

Até agora temos a equivalência de dois conceitos que podem definir campo conservativo dentro da classe muito ampla de campos vetoriais contínuos em abertos ...a integral independe do caminho ou a integral em todo caminho fechado é nula ...é possível, em certas situações não tão gerais, formular estes dois conceitos em mais duas formas equivalentes, vejamos a tabela de implicações abaixo.

a integral de linha

independe do caminho
1



2
a integral de linha é nula

em todo caminho fechado
3   ↑   ↓   4     ↑   6
 
o campo é um gradiente
 
  →  
5
 
o campo é irrotacional
 

As implicações 1 e 2, como vimos acima, são diretas e temos assim, em situações muito gerais, a equivalência dos dois conceitos, independência do caminho ou integral nula em caminhos fechados, por estes conceitos equivalentes é que definimos campos conservativos ...já as outras duas formas equivalentes ...são equivalentes também, mas dependem de certas hipóteses sobre o domínio no qual o campo vetorial está definido ...e às vezes sobre o próprio campo, como veremos no que segue.

A implicação 3 vale em condições muito amplas. O campo vetorial w[x,y] = P[x,y] i + Q[x,y]j que trabalhamos é contínuo ...façamos a hipótese de que existe um potencial para ele, isto é, existe um campo escalar φ[x,y] tal que gradφ = w, isto é ∂φ/∂x = P e ∂φ/∂y = Q. Note que daí o potencial tem derivadas contínuas, é um pouco mais que diferenciável. Como a classe de parametrizações que admitimos é bem comportada, em cada trecho, pela regra da cadeia vetorial temos que

d/dt (φ(α[t])) = gradφ(α[t]) • α'[t]

Assim sendo, pelo teorema fundamental do cálculo obtemos que a integral independe do caminho, pois

ab w[α[t]] • α'[t] dt =
= ∫ab gradφ[α[t]] • α'[t] dt
= ∫ab d/dt (φ(α[t])) dt
= φ(α[b]) - φ(α(a))

=  φ(Pf) - φ(Pi)  .

Então a integral independe do caminho, pois só depende dos valores de φ nos pontos inicial e final do caminho ...a prova, feita para cada trecho suave, pode ser estendida a todo o caminho, né? Note que a prova da implicação 3 tem um escório, isto é, a demonstração tem uma conseqüência adicional, além de estabeler a implicação ...ela dá a forma como calculamos a integral de linha, pela variação de φ entre ponto final e inicial.

Na física definimos o potencial com sinal trocado (    ...ou deixe para depois).

A implicação 4 precisa que o domínio de w, até agora suposto ser um aberto ...também seja conexo por caminhos, isto é, dados dois pontos deste aberto, é possível uni-los usando um caminho, no sentido que definimos acima, totalmente contido no tal domínio aberto. Assim sendo, partindo da hipótese de que a integral independe do caminho, usamos o escório comentado acima como musa inspiradora e escolhemos no domínio um ponto Q onde o potencial é zero, φ(Q) = 0 ...dado um outro ponto P no domínio de w, escolhemos um caminho Γ(Q→P), tendo Q como ponto inicial e P como final. Daí definimos φ(P) como sendo o resultado da integral de linha de w neste caminho que vai de Q até P. Fica bem definida a função φ no mesmo domínio do campo vetorial, pois a integral independe do caminho, né?

A escolha do zero de potencial é imaterial, pois se adicionamos uma constante a um campo escalar, seu gradiente, dado por derivadas parciais, não muda. Ademais, se temos dois campos escalares, digamos φ1 e φ2, que têm o mesmo gradiente, as derivadas parciais destes dois campos devem coincidir. Do fato de que ∂(φ1 - φ2)/∂x = 0 , ∂(φ1 - φ2)/∂z = 0 , num aberto conexo, pode-se concluir que esta diferença é constante ...então, neste contexto, dois potenciais produzem o mesmo gradiente se e somente se diferem por uma constante. Este grau de liberdade pode ser empregado para escolher que num certo ponto o potencial seja zero.

Bom, resta mostrar que o potencial assim definido, pelas integrais de linha, tem de fato a propriedade de que o campo é o seu gradiente, note que mostrando isto, o tal potencial construído será uma função com derivadas contínuas, pois assumimos que w é contínuo.

Para fazer esta prova, primeiro notamos que pela definição a partir do zero de potencial, φ terá a propriedade de que se calcularmos a integral de w entre dois pontos, digamos P1 e P2, a integral de w em caminho indo de P1 até P2 é dada por φ(P2) - φ(P1).

Para ver que isto é verdade, tomamos um caminho Γ1 que vai do ponto de potencial zero, Q, até P1 ...e um caminho Γ2 que vai de Q até P2. Consideremos o caminho composto, Γ1È(-Γ2) , a integral de linha neste caminho composto dá φ(P1) - φ(P2). Esta fórmula vale para qualquer caminho ligando os dois pontos, pois, por hipótese, a integral independe do caminho ...e este fato implica que w é o gradiente de φ (para entender...     ...ou deixe para depois).

Quanto à implicação 5 , entendemos que o rotacional de w[x,y] = P[x,y] i + Q[x,y] j é dado por (∂Q/∂x - ∂P/∂y) k e que w é irrotacional quando ∂Q/∂x = ∂P/∂y . Assim sendo, para demonstrá-la, basta assumirmos que as primeiras derivadas de w sejam contínuas, isto é, que ∂Q/∂x e ∂P/∂y sejam funções contínuas ...se então gradφ = w, isto é, ∂φ/∂x = P e ∂φ/∂y = Q ...a função φ tem segundas derivadas contínuas e para ela podemos trocar a ordem da segunda derivada, assim,

∂Q/∂x = ∂2φ/∂x∂y = ∂2φ/∂y∂x = ∂P/∂y ,

w é irrotacional, a implicação 5 mostra que esta é uma condição necessária para que w seja conservativo.

A implicação 6 daria tornaria a hipótese de rotacional zero também suficiente para o campo conservativo ...mas para tanto devemos assumir, além de que w tenha derivada contínuas, que seu domínio seja simplesmente conexo. Esta é a hipótese de que o domínio não tem furos, ou que cada caminho fechado Γ pode ser visto como a fronteira de uma região R. Ora, com esta hipótese mostramos, pelo teorema de Green, que para qualquer caminho fechado,

Γ w • dr = ∫Γ P dx + Q dy =
= ∫∫R ( ∂Q/∂x - ∂P/∂y ) dxdy = 0,

pois sendo w irrotacional ∂Q/∂x = ∂P/∂y ...e sendo nula a integral de w em qualquer caminho fechado, este campo é conservativo. Entretanto ...por exemplo, basta tirar um pontinho do IR2, que este domínio deixa de ser simplesmente conexo ...e aparece lá o campo

b   =   -y i + x j
x2 + y2

...este corresponde ao campo magnético de um fio infinito com corrente elétrica subindo, ao longo do eixo z, vejam suas linhas,

...este campo obviamente é não conservativo, com este redemoinho enorme, né? ...basta circulá-lo numa curva fechada que ganhamos energia ...quem vai pela direita ganha mais do que quem vai pela esquerda do redemoinho etc...

O malvado e cruel campo b[x,y] = Q[x,y] i + P[x,y] j onde P[x,y] = -y/(x2 + y2) , Q[x,y] = x/(x2 + y2) , tem rotacional zero, veja como a jacobiana de b é simétrica,

Jb[x,y]   =  
∂P/∂x ∂P/∂y
∂Q/∂x ∂Q/∂y
  =  
2 x y
(x2 + y2)2
   (-x2 + y2)
(x2 + y2)2
(-x2 + y2)
(x2 + y2)2
   - 2 x y
(x2 + y2)2

...isto é, o campo é irrotacional, ∂Q/∂x = ∂P/∂y ...dando um contra-exemplo para a implicação ...na realidade o rotacional do campo na magnetostática é a densidade de corrente, que estaria toda concentrada no eixo z, que passa pela origem onde o campo não está definido. O rotacional está lá escondido na singularidade da origem. Num modelo mais realista, com um fio de corrente não tão fino, a densidade de corrente não iria para infinito na origem, assumiria valores finitos num fio grosso, que no plano apareceria como um rotacional não nulo em todo um círculo, né?

Este campo é por demais macabro, notem que o traço da Jacobiana é nulo ...e portanto o divergente ∂P/∂x + ∂Q/∂y também é nulo, além de irrotacional, este campo é solenoidal, um campo que tem divergente e rotacional nulos. Neste domínio específico, IR2 menos a origem, pode-se mostrar, que um campo irrotacional genérico sempre pode ser escrito da forma w[x,y] = gradφ + λ b[x,y] , onde λ é um número real ...isto é como a soma de um campo realmente conservativo mais um número real vezes este campo macabro b. Veja que a parte que fura a implicação, isto é, a parte não conservativa do campo irrotacional, neste domínio, é sempre proporcional ao campo b ...tenho certeza que no curso coordenado o campo b foi proibido. Este tal campo b tem caráter único neste domínio, o IR2 furado na origem, por vários motivos ...é um dissidente!

Esta origem, fora do domínio, é que o torna não mais simplesmente conexo. Note que para caminhos fechados, mas que não envolvam a origem, a integral de b dá zero por conta do teorema de Green. Pode-se mostrar que num caminho fechado que envolva a origem, sem tocar nela, a integral de linha deste campo é igual a 2π( n+ - n- ) , 2π vezes a diferença entre o número de voltas anti-horárias e o número de voltas horárias em torno da origem (chamado de winding number do caminho com relação à origem).

Veja a integral de b no limaçon deslocado, que dá duas voltas na origem, como dá 4π, coitado do mathematica, apanha mas faz a conta.

Um resultado mais forte do que este, é que a integral deste campo, num caminho qualquer, fechado ou não, que não toca a origem, coincide com o ângulo varrido no sentido anti-horário por um segmento ligando a origem a um hipotético carrinho, percorrendo os vários trechos do caminho, segundo suas várias parametrizações (para ver a prova...     ...ou deixe para depois).

(c) O campo cujo diagrama foi apresentado no caput da questão não é conservativo, pois tem redemoinhos, ganhamos ou perdermos energia dependendo de como escolhemos caminhos entre pontos iniciais e finais ...também podemos seguir uma linha de campo fechada, existem várias ...e ganhar energia num caminho fechado ...o campo decisivamente não é conservativo.

(d) Bom ...se fofoqueiros (como existe esta praga) dissesem que o campo é irrotacional, isto não derrubaria o argumento acima ...que se aplica a uma classe muito mais ampla de campos, campo conservativo é aquele cuja integral independe do caminho ...e como vimos no item (b), isto nem sempre equivale a rotacional zero. No caso do exercício, o campo usado foi w = Sin[x] Cos[y] i + Cos[x] Sin[y] j , cujo rotacional é - 2 Sin[x] Sin[y], não sendo identicamente nulo. Mas dá para construir um campo com linhas parecidas que tem rotacional nulo ...para tanto basta deslocar o campo b para quatro centros diferentes ...e trocar alguns sinais para acertar sentidos ...e depois somar os quatro campos, que estarão definidos num domínio que tem 4 furos, os pontos (±5 ,±5) , vejamos

...bom, até que ficou parecido.

        ...para pegar o notebook desta questão clique com o direito ao lado.

critérios de correção e observações:

meio ponto por item


Abraços. Márcio.