(** o mathematica faz algumas integrais impróprias, para digitar o ∞, use ESCinfESC **)

Integrate[Exp[-(x^2)],{x,0,∞}]

(** vamos calcular a integral de 0 até b, para ver aparecer a Error Function Erf, tal resultado pode ser entendido como uma definição da Erf, pois esta integral, que a teoria garante que é uma função de b, que tem derivadas de todas ordens etc., não pode ser expressa com o vocabulário de funções que tínhamos logo antes da definição da tal Erf**)

Integrate[Exp[-(x^2)],{x,0,b}]

Limit[Erf[b],b->∞]

Integrate[((2/(Sqrt[π])))Exp[-(x^2)],{x,0,b}]

(** a escolha é para fazer com que Erf(b) tenha limite 1 no infinito, em baixo PDF é para probability density function **)

PDF[NormalDistribution[μ,σ],x]

Integrate[PDF[NormalDistribution[μ,σ],x],x]

Plot[{Erf[x],Erf'[x]},{x,-2,2}]

Graphics[{{LightGreen,Rectangle[{-1,-1},{1,1}]},{Thick,Blue,Circle[{0,0},1],Circle[{0,0},(Sqrt[2])]}}]