Olá

Olá, Luiz Eduardo, está tudo bem, o vírus não me pegou ainda, ufa! ...e com você, tudo certinho?

Bem, vamos falar um pouco das funções harmônicas. Aliás, antes de resolver o exercício, que verá, é simples, vamos bater um longo papo.

I. Longo papo furado sobre segundas derivadas, aproximação quadrática, hessiana, tipos de pontos críticos e funções harmônicas.

Vamos derivar a função f(x,y) com derivadas parciais, duas vezes, daí temos quatro possibilidades:

i) derivamos em x, depois em x de novo, no mathematica D[D[f[x,y], x], x];

ii) em y, depois em y de novo, D[D[f[x,y], x], x];

iii) em x, depois em y, D[D[f[x,y], x], y];

iv) em y, depois em x, D[D[f[x,y], y], x].

Quando a função não é muito estranha e tem as segundas derivadas parciais contínuas, as duas últimas, que são chamadas de derivadas mistas, são iguais.

Uma matriz, chamada Hessiana, organiza as segundas derivadas, da seguinte forma:

| D[D[f[x,y],x], x] D[D[f[x,y],x], y] |

| D[D[f[x,y],y], x] D[D[f[x,y],y], y] |

Da igualdade das derivadas mistas esta matriz é simétrica e veremos, no EdPen14.9, que aprofundaremos muito na lista 4, que esta matriz ajuda

a classificar os pontos críticos, aqueles pontos em que as primeiras derivadas se anulam ...já falamos deles no pedaço lista 2.5 que enviamos.

Quando temos um ponto crítico as primeiras derivadas e portanto o gradiente, se anulam. Daí a função não tem boa aproximação linear, tem uma aproximação

quadrática ...e da mesma forma que uma matriz simétrica classificava as cônicas, que têm equações quadráticas, em GA, a Hessiana classificará a tal

aproximação quadrática da função e dirá muito sobre o tipo de ponto crítico que temos. Perto de um ponto crítico (x0,y0), onde as derivadas de f(x,y)

se anulam, se os valores numéricos das derivadas são dadas pela hessiana

|a b|

|b c|

então é boa a aproximação f(x,y) ~ f(x0,y0) + (1/2) (a (x-x0)^2 + 2b (x-x0) (y-y0) + c (y-y0)^2).

Da mesma forma que fazíamos em GA, podemos rodar o sistema de eixos, de forma que cada eixo aponte na direção de um autovetor da hessiana, obtendo um

novo sistema, uv, neste novo sistema a reescrevemos f pode f* e vale a aproximação,

f*(u,v) ~ f*(u0,v0) + lambda1 (u-u0)^2 + lambda2 (v-v0)^2 ou o mesmo, que é a aproximação

f*(u,v) - f*(u0,v0) ~ lambda1 (u-u0)^2 + lambda2 (v-v0)^2,

válida para a variação de f* quando mudamos do ponto crítico (u0,v0), para um ponto (u,v) próximo a ele. Os números reais

lambda1 e lambda2 são os autovalores da hessiana e reparem, por causa dos quadrados, na aproximação acima, eles podem

definir o sinal da tal variação da f* do ponto crítico para um ponto próximo.

Quando os autovalores da Hessiana são positivos, f*(u,v) >= f*(u0,v0), temos mínimo local e quando os autovalores são negativos,

f*(u,v) <= f*(u0,v0), temos máximo local, isto lembra o teste da segunda derivada, lá do cálculo I, quando, no ponto crítico (de derivada zero)

a segunda derivada positiva caracterizava mínimo local e a segunda derivada negativa caracterizada máximo local. No caso dos dois autovalores

da Hessiana serem ambos positivos ou ambos negativos (máximo ou mínimo local), os conjuntos de nível, f*(u,v) = k, em torno do ponto crítico

são parecidos com elipses (isto ficará entendido intuitivamente já na lista 2.5, naquele pedaço que mandamos).

Quando os autovalores da Hessiana são não nulos, mas opostos, temos um ponto crítico chamado ponto de sela. Por exemplo, seja lambda1 positivo

e lambda2 negativo. Daí se fixamos v=v0 e andamos na direção u, vemos que f cresce ao afastarmos do ponto crítico. Se fixamos u-u0 e andamos na

direção v, vemos que f decresce. Crescendo numa direção e decrescendo na outra, o gráfico de f lembra uma sela de cavalo, daí vem o nome sela.

A sela não é máximo nem mínimo.

Uma função para qual os autovalores da Hessiana nunca se anulam é chamada de função de Morse ...e daí os pontos críticos são como acima,

máximos locais, mínimos locais, ou selas. Sabe-se que dada uma matriz simétrica, digamos

|a b|

|b c|

...apenas olhando a matriz, tiramos muita informação sobre os autovalores, a soma deles é o traço da matriz,

lambda1 + lambda2 = a + c,

o produto deles é o determinante da matriz,

lambda1 lambda2 = a c - b^2.

Isto ocorre pelo fato de que num sistema de eixos apropriado, o uv acima, a matriz fica diagonal,

| lambda1 0 |

| 0 lambda2 |

...e que nem o traço nem o determinante se alteram pela troca de eixos.

Bem, no caso da Hessiana, formada pelas derivadas parciais, o seu traço é dado pela soma das segundas derivadas não mistas, seu traço é

Lap(f) = D[D[f[x,y],x],x] + D[D[f[x,y],y],

chamado de laplaciano de f. As funções harmônicas são aquelas que tem laplaciano igual a zero ...e da simples conversa acima, vemos que se

f for uma função de Morse seus autovalores, que daí são não nulos, tem que ser opostos ...concluímos que f tem apenas pontos de selas,

não tem máximos nem mínimos locais.

Pode-se mostrar mais do que isso, pode-se mostrar que para as funções harmônicas, mesmo sem admitir que são funções de Morse, não existem

máximos e mínimos locais ...se temos um ponto crítico num ponto interior do seu domínio, este ponto não é nem máximo nem mínimo local, pode

ser sela ou outra coisa. Para uma introdução a estes termos e idéias, espie o pedaço da lista 2.5, que foi enviado ontem (a lista 2.5 fica

pronta até amanhã, espero).

Bem, para entender que basta supor que a função é harmônica, seu laplaciano é zero, para que f não tenha máximo nem mínimo, teremos que andar

mais um pouco no curso e carcterizar o laplaciano de f como o divergente do gradiente de f. O divergente de um campo vetorial

v(x,y) = {p(x,y), q(x,y)}

é dado por div(v) = D[p[x,y],x] + D[q[x,y],y], a soma da derivada da primeira componente em x com a derivada da segunda em y. Mostra-se que

o divergente mede as fontes e sorvedouros de um campo, se pensamos que o campo é o movimento de um fluido ...daí o divergente é positivo onde

brota fluido e o divergente é negativo quando desaparece fluido ...quando o fluido não desaparece nem é criado o divergente é zero. Esta

discussão fica precisa com o teorema de Green, no inicio do cap16 do EdPen.

O gradiente, fala-se já dele na tal 2.5, é um campo vetorial que associamos à função f, dado por

gradf = {D[f[x,y],x], D[f[x,y],y}

sua primeira componente é a derivada de f em x, sua segunda componente é a derivada de f em y. Quando tiramos do divergente do gradiente, temos

div(gradf) = D[D[f[x,y],x],x] + D[D[f[x,y],y] = Lapf,

o divergente do gradiente dá o laplaciano.

Acontece que o tal gradiente aponta, em cada ponto, a direção em que f cresce mais. Assim sendo, se pensamos no gradiente como um fluido,

suas linhas aproximam-se do máximos, entrando neles, como se fossem sorvedouros e assim sendo o laplaciano, divergente do gradiente, tem que

ser negativo nos máximos. Além disso as tais linhas do gradiente afastam-se dos mínimos, afastando-se deles, como se fossem fontes do fluido

e assim sendo o laplaciano, divergente do gradiente, tem que ser positivo nos mínimos.

Nos pontos em que o laplaciano é zero não podem ser máximos nem mínimos locais da função. As funções harmônicas não tem máximos nem mínimos

locais, seus gráficos são pitorescos, bonitos, por isso o nome harmônicas. A equação que afirma que uma função é harmônica,

Lap(f) = D[D[f[x,y],x],x] + D[D[f[x,y],y] = 0

é obedecida em muito fenômenos naturais ...por exemplo, campo escalar cujo gradiente é o fluxo de um fluido, quando o fluido não é criado

nem desaparece; temperatura, cujo gradiente é proporcional ao negativo do fluxo de calor (Lei de Fourier), em regiões longe de

de aquecedores e resfriadores, em que o calor não é criado nem desaparece; potencial elétrico, cujo gradiente é o negativo do campo

elétrico, longe de cargas (as positivas são fontes e as negativas são os sorvedouros do campo).

Bem, chega de papo furado, vamos ao exercício.

II. O tal exercício 69 começa dizendo que z = f(x,y) é harmônica quando soma

D[D[f[x,y],x],x] + D[D[f[x,y],y] = 0

...na notação dele o z, com subíndice xx significa derivar duas vezes z=f(x,y) em

x e o z, com subíndice yy significa derivar z=f(x,y) em y.

Assim sendo, para cada função dada, nos itens (a), (b), (c) e (d); você deve derivar a função dada duas vezes em x, derivar duas vezes

em y, somar estas duas segundas derivadas é ver que é zero, apenas isso!!!! Por exemplo, no item (a) é dada

f1(x,y) = senx senh(pi-y)

...as regras de derivação na trigonometria hiperbólica parecem com as da trigonometria usual, temos (d/dx)senhx=coshx e

(d/dx)coshx=senhx ...se seu cálculo I foi falho e não teve funções hiperbólicas, vai um texto e um notebook para você dar uma

estudada no assunto, que é importante.

Bem, vamos à verificação, derivamos f1 duas vezes em x, na derivada em x o y fica fixo, façamos a primeira

D[f1[x,y], x] = cosx senh(pi-y)

Derivamos novamente em x,

D[D[f1[x,y],x],x] = -senx senh(pi-y) (*).

Vamos derivar f1 duas vezes em y. Façamos a primeira, para derivar em y, x fica fixo,

D[f1[x,y], y] = senx cosh(pi-x) (-1) = -senx cosh(pi-y)

note que o (-1) veio da derivação do argumento pi-x com respeito a x (regra da cadeia). Derivamos de novo em y

D[D[f1[x,y],x],x] = -senx senh(pi-x) (-1) = senx senh(pi-y) (**).

Finalmente, somando (**) com (*) está verificado que

D[D[f1[x,y],x],x] + D[D[f1[x,y],y] = 0,

portanto z=f1[x,y] é harmônica.

Além do material sobre hiperbólicas, vai um note com as contas feitas no soft para os itens

(a) e (b) ...também os gráficos da f1 e da f2.

Ah, uma observação interessante, o Grad, no mathematica, dá uma lista das derivadas parciais,

Grad[f[x,y], {x,y}] = {D[f[x,y],x], D[f[x,y],y]},

no mathematica os comandos entram em listas portanto

Grad[Grad[f[x,y], {x,y}], {x,y}] = {{D[D[f[x,y],x],x], D[D[f[x,y],y]}, {D[D[f[x,y],y],x], D[D[f[x,y],x]}}

e no mathematica, as matrizes são listas de listas onde cada sublista é uma lista, portanto a matriz

|a b|

|b c|

é a lista {{a,b}, {b,c}} e portanto o Grad do Grad dá a Hessiana, matriz 2x2 simétrica, com as quatro

segundas derivadas da f, cujo traço é o Laplaciano.

Saudações. Márcio.