Tanto no 42 do 44 do 12.4, edição de 2007 (em inglês), coloca-se a segunda questão: suponha que você conhece as duas derivadas parciais,
D[f[x,y],x] e D[f[x,y],y], de uma função de duas variáveis f(x,y) será que, a partir deste conhecimento, você descobre a função?
Lembre-se que, no cálculo I, a partir da derivada de uma função de uma variável, você descobria, por integração, a função, a menos de uma constante ...e agora, no cálculo II, será que, conhecendo as duas derivadas parciais, descobrimos a função, que é de duas variáveis?
Bem quem conhece as primeiras derivadas parciais de uma função de duas variáveis, pode derivar novamente e verificar se as derivadas mistas, em ordens trocadas, são iguais, isto é, pode verificar se
D[D[f[x,y],x],y] - D[D[f[x,y]],x] = 0,
segundo a observação (16) esta relação deveria valer para a maioria das funções. Pode-se mostrar que as derivadas parciais mistas são iguais, isto é, tanto faz derivar 'em x e depois em y', quanto derivar 'em y e depois em x'.
O Edwards e Penney menciona este fato, a demonstração da igualdade, quando as duas derivadas são contínuas pode ser estudada num texto de cálculo relativamente fácil, que é o do Geraldo Ávila,
http://www.ime.unicamp.br/~
basta ler até a página 54, que tem a demonstração ...supondo que as segundas derivadas parciais mistas são contínuas, concluímos que as duas possíveis derivadas mistas são iguais. A leitura deste trecho ajuda em geral, pois esta matéria, de limites, continuidades, derivadas etc., está melhor no Ávila que no Edwards e Penney.
Esta é uma condição necessária para que os problemas 42 e 44 exista a função de duas variáveis f(x,y) cujas derivadas parciais foram dadas.
Vejamos no problema 42,
D[f[x,y],x] = 5xy + y^2 (1), portanto
D[D[f[x,y],x],y] = 5x + 2y,
também é dado que
D[f[x,y],y] = 3x^2 + 2xy (2), portanto
D[D[f[x,y],y],x] = 6x.
Assim sendo não se verifica a condição e a resposta ao problema 42 é de que não existe uma função f(x,y) cujas derivadas são dadas por (1) e (2).
Vamos ao problema 44,
D[f[x,y],x] = cosx seny (3), portanto
D[D[f[x,y],x],y] = - senx seny,
também é dado que
D[f[x,y],y] = senx cosy (4), portanto
D[D[f[x,y],y],x] = - senx seny.
Assim sendo se verifica a condição necessária e pode ser que a tal função de duas variáveis exista (mais ao final do curso veremos que esta condição necessária acaba, na maioria das vezes, sendo suficiente). Bem, neste caso o caput com chamada para os exercícios 41 a 44, que o sucedem, pede para tentarmos encontrar a tal f(x,y), vamos tentar.
Sabemos, de (3), que
D[f[x,y],x] = cosx seny
...esta derivada parcial em x é como a derivada do cálculo I, mas feita de forma que y foi considerado um parâmetro, uma constante na expressão. Portanto, integrando, como no cálculo I, em x, temos
f[x,y] = senx seny + C[y] (5)
e veja que agora coloquei uma eventual dependência da constante de integração no parâmetro y, que poderia existir.
Também sabemos, de (4), que
D[f[x,y],y] = senx cosy,
...esta derivada parcial em y é como a derivada do cálculo I, mas feita de forma que x foi considerado um parâmetro, uma constante na expressão. Portanto, integrando, como no cálculo I, em y,
f[x,y] = senx seny + C[x] (6)
e veja que agora coloquei uma eventual dependência da constante de integração no parâmetro x, que poderia existir.
Comparando (5) e (6) vemos que a constante de integração não depende nem de x nem de y e que a função que tem as derivadas dadas por (3) e (4) é
f[x,y] = senx seny + C,
isto é, senx seny a menos de uma constante.
Vamos testar, obtendo (3) e (4)
D[senx seny + C, x] = cosx seny,
D[senx seny + C, y] = senx cosy,
note que C não pode depender de x nem de y para as parciais darem certo.
Há casos em que as expressões (5) e (6) não são tão parecidas, daí temos que levar em conta a dependência eventual das constantes de integração no parâmetro que ficou fixo para compatibilizar os dois resultados para f, análogos a (5) e (6).
Para entender esta observação, repita o exercício para o caso em que são dadas
D[f[x,y],x] = Exp[x] Cos[y] + 2x^2,
D[f[x,y],y] = -Exp[x] Sin[y],
verifique que vale a condição necessária, de igualdade das derivas mistas e encontre a f.
Como disse, mais ao final do curso veremos que o teste inicial feito é mais que necessário, é suficiente para que seja possível encontrar a f cujas derivadas parciais foram dadas.
Ah, algo interessante, as duas derivadas parciais podem ser empregadas para construir um vetor, que varia ponto a ponto, algo assim é visto como um campo vetorial, este campo é chamado de gradiente da função, dado por
Grad[f[x,y], {x,y}] = {D[f[x,y],x], D[f[x,y],y]}
...este problema poderia ser colocado como a questão de que, dado um campo vetorial
v[x,y] = {v1[x,y], v2[x,y]},
existe algum campo escalar f(x,y) cujo gradiente coincide com o campo dado?
Algo interessante, quando o campo v é gradiente do campo escalar f, os conjuntos de nível de f são ortogonais ao campo v e portanto às suas linhas (linhas de um campo são curvas que traçamos de forma que sejam sempre tangentes ao campo, veja note, que trabalha com os dados do problema 44).
Esta questão é muito interessante, pois, como veremos, se v é um
campo de forças agindo como a resultante das forças sobre uma partícula
que obedece à lei de Newton, vale a lei de conservação de energia
E = K + U = constante
onde K é a energia cinética da partícula e U, chamada de energia
potencial associada ao campo de forças, é o negativo da tal f(x,y)
encontrada.
Os campos de forças que podem ser escritos como gradientes de campos
escalares, são chamados de campos conservativos por esta razão, a
energia é conservada, quando a partícula dá uma volta retornando ao
mesmo tempo, sua energia cinética volta ser aquela do início do
movimento, pois U, sendo o negativo de f(x,y), volta a ser a mesma.
Campos de forças com redemoinhos não têm esta característica, pois
escolhendo bem como dar uma volta completa, ganhamos energia com esta
manobra, coisa que seria impossível num campo de forças conservativo.
Mais adiante veremos que a diferença
rotv[x,y] = D[D[v1[x,y],x],y] - D[D[v2[x,y]],x]
...é chamada de rotacional escalar do campo bidimensional
v = {v1[x,y], v2[x,y]},
rotv, veremos serve de medida da densidade de redemoinhos do campo v e a
integral dupla de rotv numa região é o quanto ganha de energia a tal
partícula ao contorná-la no sentido anti-horário, este será o teorema de
Green, visto mais para o final do curso.
Saudações. Márcio.
ps: vai um note com os testes, as integrais e o desenho dos cojuntos de
nível da função encontrada no 44, junto com as linhas do seu campo
gradiente, para que seja vista a ortogonalidade das duas famílias de
curvas.
