Olá, Renan, faltou um pouco de teoria e de estudo da teoria em conjunto
com o note 20200401.nb, que está no site.
Ah, percebemos que definiu o número de Euler aproximadamente no seu note, no mathematica E maiúsculo é o número de Euler, que também pode ser digitado da forma ESCeeESC. A função Exp, que empregou, já faz a exponenciação do número de Euler. Espie no help a respeito do número de Euler, digitação de constantes especiais e exponenciação.
Temos o gráfico dado por
z = Exp[-(x^2 + y^2)]
...podemos definir a função, com colchetes e traços baixo,
g[x_, y_] = Exp[-(x^2 + y^2)];
queremos o plano tangente a este gráfico no ponto
(0, 0, 1).
O vetor normal ao plano tangente, veja a teoria no Edwards e Penney 14.4 ou no correspondente em português (vide lista), é dado por
{D[g[x,y], x], D[g[x,y], y], -1},
devemos avaliar o valor numérico das duas derivadas encontradas trocando x e y por zero nestas expressões, isto é feito (estude o significado de % as várias formas de empregar o comando Replace no help), da seguinte forma no note anexo
n = %/.{x->0, y->0}
Ah, percebemos que definiu o número de Euler aproximadamente no seu note, no mathematica E maiúsculo é o número de Euler, que também pode ser digitado da forma ESCeeESC. A função Exp, que empregou, já faz a exponenciação do número de Euler. Espie no help a respeito do número de Euler, digitação de constantes especiais e exponenciação.
Temos o gráfico dado por
z = Exp[-(x^2 + y^2)]
...podemos definir a função, com colchetes e traços baixo,
g[x_, y_] = Exp[-(x^2 + y^2)];
queremos o plano tangente a este gráfico no ponto
(0, 0, 1).
O vetor normal ao plano tangente, veja a teoria no Edwards e Penney 14.4 ou no correspondente em português (vide lista), é dado por
{D[g[x,y], x], D[g[x,y], y], -1},
devemos avaliar o valor numérico das duas derivadas encontradas trocando x e y por zero nestas expressões, isto é feito (estude o significado de % as várias formas de empregar o comando Replace no help), da seguinte forma no note anexo
n = %/.{x->0, y->0}
...note que tendo um vetor normal
n = {a, b, c}
e um ponto pelo qual o plano passa,
p = {x0, y0, z0},
a equação do plano é dada por
ax + by + cz = d,
onde d é calculado trocando {x,y,z} por {x0,y0,z0} na expressão à esquerda ...assim sendo podemos utilizar o produto escalar (dado por pontinho no soft) e podemos escrever a equação acima como
{a, b, c}.{x, y, z} == {a, b, c}.{x0, y0, z0}
ou
n.{x, y, z} == p,
que é a mesma coisa. Empregamos esta equação, com dois sinais de igual, no ContourPlot3D, para desenhar o plano a partir de sua equação, num domínio pequeno para não atrapalhar o desenho ...e juntamos o gráfico de g ao plano e ao ponto em que ele é tangente com o Show (vide note anexo), colocamos o ponto de tangência também, não colocamos as os conjuntos de nível que colocou, isto não foi pedido, como explicamos abaixo, mas colocamos cortes x e y constantes ...e trechos de retas tangentes a estes, pedidos pela lista ...também empregamos o ContourPlot3D em vez do Plot3D, como no notebook 20100401.nb, que está no site, este comando é melhor em algumas situações.
Segundo pedido da lista, não precisaria desenhar os conjuntos de nível z constante cortando o gráfico, como fez, pedíamos para repetir as ilustrações feitas no texto da lista, que fizemos para o exemplo 4 do Edwards e Penney (vide lista). Mas repare, nestas ilustrações também fazíamos os cortes x constante e y constante com o Mesh, adicionávamos os planos cortantes correspondentes e trechos de retas tangentes a tais cortes. Para isto você tem que ver na teoria do 14.4 que os vetores tangentes às duas retas são
d1 = {1, 0, D[g[x,y],x]},
d2 = {0, 1, D[g[x,y],y]},
assim sendo, tendo o ponto p={0,0,1}, pelos quais as retas passam, suas parametrizações são
p + td1,
p + td2,
escolhemos t pequeno para caber no gráfico, estilos apropriados etc., como no 20100401.nb, que está no site ...sugerimos que estude mais este notebook, a teoria do Edwards e Penney ...e o resumo da lista. Lembramos que na teoria o vetor n é obtido a partir do produto vetorial dos vetores d1 e d2, tangentes aos cortes x e y constantes.
n = {a, b, c}
e um ponto pelo qual o plano passa,
p = {x0, y0, z0},
a equação do plano é dada por
ax + by + cz = d,
onde d é calculado trocando {x,y,z} por {x0,y0,z0} na expressão à esquerda ...assim sendo podemos utilizar o produto escalar (dado por pontinho no soft) e podemos escrever a equação acima como
{a, b, c}.{x, y, z} == {a, b, c}.{x0, y0, z0}
ou
n.{x, y, z} == p,
que é a mesma coisa. Empregamos esta equação, com dois sinais de igual, no ContourPlot3D, para desenhar o plano a partir de sua equação, num domínio pequeno para não atrapalhar o desenho ...e juntamos o gráfico de g ao plano e ao ponto em que ele é tangente com o Show (vide note anexo), colocamos o ponto de tangência também, não colocamos as os conjuntos de nível que colocou, isto não foi pedido, como explicamos abaixo, mas colocamos cortes x e y constantes ...e trechos de retas tangentes a estes, pedidos pela lista ...também empregamos o ContourPlot3D em vez do Plot3D, como no notebook 20100401.nb, que está no site, este comando é melhor em algumas situações.
Segundo pedido da lista, não precisaria desenhar os conjuntos de nível z constante cortando o gráfico, como fez, pedíamos para repetir as ilustrações feitas no texto da lista, que fizemos para o exemplo 4 do Edwards e Penney (vide lista). Mas repare, nestas ilustrações também fazíamos os cortes x constante e y constante com o Mesh, adicionávamos os planos cortantes correspondentes e trechos de retas tangentes a tais cortes. Para isto você tem que ver na teoria do 14.4 que os vetores tangentes às duas retas são
d1 = {1, 0, D[g[x,y],x]},
d2 = {0, 1, D[g[x,y],y]},
assim sendo, tendo o ponto p={0,0,1}, pelos quais as retas passam, suas parametrizações são
p + td1,
p + td2,
escolhemos t pequeno para caber no gráfico, estilos apropriados etc., como no 20100401.nb, que está no site ...sugerimos que estude mais este notebook, a teoria do Edwards e Penney ...e o resumo da lista. Lembramos que na teoria o vetor n é obtido a partir do produto vetorial dos vetores d1 e d2, tangentes aos cortes x e y constantes.
Saudações. Márcio.
